计算---单利与复利11

1、 复利与年金tt+n一、货币时间价值的概念v不同时点的同量货币资金的价值是不一样的，今天的1元钱不等于明天的1元钱。前一期的货币资金比后一期同量的货币资金价值更高，这就是货币的时间价值。v由于货币时间价值的存在，人们在金融活动中必然要进行货币资金价值的跨期比较，这就需要借助于利率将不同时点的货币资金放在一个时点来比较。v不同时点货币资金的价值比较一般通过现值和终值的计算来实现。第一节第一节 货币的时间价值货币的时间价值v不论是实物商品资金运动，还是金融商品资金运动，都可以观察到货币增值的现象。v 老王准备给儿子存钱供他以后上大学老王准备给儿子存钱供他以后上大学费用，假如现在上大学的费用是费用，

2、假如现在上大学的费用是6 6万元，万元，并且假定三年以后，也就是老王的儿子并且假定三年以后，也就是老王的儿子上大学时该费用不变，那么现在的老王上大学时该费用不变，那么现在的老王需要存入多少钱呢需要存入多少钱呢? ?v 答案：肯定是少于答案：肯定是少于6 6万元的。因为老万元的。因为老王可以把钱存入银行，这样可以得到三王可以把钱存入银行，这样可以得到三年的利息，所以现在存入少于年的利息，所以现在存入少于6 6万元的款万元的款项，三年后连本带利，就可以支付儿子项，三年后连本带利，就可以支付儿子上学的费用。上学的费用。时间就是金钱时间就是金钱v分期支付动画 先生，一次性支付房先生，一次性支付房款，可

3、获房价优惠款，可获房价优惠一、货币时间价值一、货币时间价值v货币时间价值是不是就是银行的利货币时间价值是不是就是银行的利息呢？息呢？v银行的利息银行的利息是货币时间价值的体现，是货币时间价值的体现，但是货币时间价值并不仅仅体现为但是货币时间价值并不仅仅体现为银行的利息。银行的利息。v货币时间价值运用意义1 1、不同时点的资金不能直接加减乘除或直接、不同时点的资金不能直接加减乘除或直接比较。比较。2 2、必须将不同时点的资金换算为同一时点的、必须将不同时点的资金换算为同一时点的资金价值才能加减乘除或比较。资金价值才能加减乘除或比较。v2 2）绝对数形式：利息）绝对数形式：利息v 相对数形式：利息

4、率（货币的时间价值相对数形式：利息率（货币的时间价值与本金的比率）与本金的比率）v 3)3)货币的时间价值往往指随着时间的推货币的时间价值往往指随着时间的推移，货币能够增值。移，货币能够增值。v但并不是所有的货币都可以增值，只有货但并不是所有的货币都可以增值，只有货币被作为资金使用，并与劳动要素相结合币被作为资金使用，并与劳动要素相结合的条件下，才能使货币增值。的条件下，才能使货币增值。第二节 单利和复利v（一）（一） 单利单利v单利：以本金为基础计算的利息单利：以本金为基础计算的利息vI = P x i x nI = P x i x nvI I 表示获取或支付的利息；表示获取或支付的利息；v

5、i i 表示支付或承担的利息率；表示支付或承担的利息率；vP P表示本金，即款项目前的价值表示本金，即款项目前的价值- -现值；现值；vn n 表示交易涉及的年数或期数表示交易涉及的年数或期数第二节 单利和复利v（一）（一） 单利单利v单利：以本金为基础计算的利息单利：以本金为基础计算的利息vI = P x i x nI = P x i x nvI I 表示获取或支付的利息；表示获取或支付的利息；vi i 表示支付或承担的利息率；表示支付或承担的利息率；vP P表示本金，即款项目前的价值表示本金，即款项目前的价值- -现值；现值；vn n 表示交易涉及的年数或期数表示交易涉及的年数或期数v 例

6、例1 11 1某人将某人将10001000元存入银行，约定元存入银行，约定存存1414个月后取出。结果个月后取出。结果2121个月后才取出。个月后才取出。假定银行存款年利率为假定银行存款年利率为10%10%。求：单利、复利情况下利息分别是多少？求：单利、复利情况下利息分别是多少？(二)复利v复利：根据本金和前期利息之和计算的利息，俗称复利：根据本金和前期利息之和计算的利息，俗称“利滚利利滚利”。v上例：年初存入上例：年初存入10001000元，第二年年底到期，年利率元，第二年年底到期，年利率10%10%，按复利计算：，按复利计算：v第一年利息第一年利息I1 = 1000 x10% = 100I

7、1 = 1000 x10% = 100元元v第二年利息第二年利息I2 = I2 = （1000+1001000+100）x10% = 110 x10% = 110元元v到期利息到期利息I = I1+I2 = 210I = I1+I2 = 210元元（一）复利终值v复利终值是利用复利计算的一笔投资在未来某个时间获得的本利和。比如：本金10万，利率5%，每年复利一次，10年后本利和达到16.3万v计算公式：复利终值=初始本金复利终值系数FVnPV（1i）n 式中的FVn为终值，PV为初始本金，(1+i)为复利因子，（1i）n为复利终值系数。FV与利率i、期限n和本金PV呈正向变化关系。v可以利用E

8、XCEL或专用财务计算器计算，也可以查表计算。终值系数随时间和利率变化而加速变化0.02.04.06.08.010.012.014.0147101316192%4%6%8%10%12%14%年份终值系数v按照复利计息的利息计算式为：v考虑计息次数，终值计算式为v如果名义利率为年利率，一年计息m次，则实际年利率为：v案例7.1：一笔20万元的存款，年利率6%，期限10年，按年计息v按月计息：v实际年利率：(1)1nnFVPVPVi1mnniFVPVm11miEFFm10200000 (1 0.06)358169.54nFV 12 100.062000001363879.3512nFV120.06

9、116.168%12EFF v案例：2年后的1万元，按10%的年贴现率计算，现值为v查表的贴现系数为 0.857339v按季计息,现值为21100008573.39(1 0.1)PV 4 21100008207.471 0.025PV时间、利率与终值和现值间的关系FVIF时间时间110500PVIF00时间时间1051 n终值S=P+I=P（1+i）n=P 复利终值系数0P PS=？n顺向求终顺向求终n 现值P=S /（1+i）n=S 复利现值系数P=？nS反向求现反向求现0实际利率v 例如：某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？ v实际利率v 例如

10、：某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？ v5000/750=6.667 或 750*m=5000 v查年金现值表，期数为10，利率i=8%时，系数为6.710；i=9%，系数为6.418。说明利率在8-9%之间，设为x% vv 8%6.710 vx%6.667 v9%6.418 v（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71） v计算得出 x=8.147。v【例题单选题】某公司向银行借入23000元，借款期为9年，每年的还本付息额为4600元,则借款利率为（ ）v A.16.53% B.13.72% C.17.6

11、8% D.18.25%v v【例题单选题】某公司向银行借入23000元，借款期为9年，每年的还本付息额为4600元,则借款利率为（ ）v A.16.53% B.13.72% C.17.68% D.18.25%v ，P=23000，A=4600，N=9 23000=4600（P/A，i，9）v（P/A，i，9）=5v利率 系数 v12% 5.3282 v r 5v14% 4.9464vB(r-12%)/(14%-12%)= (5- 5.3282)/(4.9464-5.3282)第三节第三节 年金年金一、系列现金流v系列现金流是指基于某一事件，在未来一定时期不断发生的现金流。如贷款分期偿还、存本取

12、息存款，债券分期付息，股票每年分红、保险金缴纳、领取养老金。v计算式为每笔现金流的现值、终值之和其中，Ct 为未来 t 期的现金流。v不规则的现金流计算较麻烦，定期等额的现金流相对简化，也较常用。这种现金流称为年金。也分终值和现值11(1)ntttPVCi1(1)nn tttFViC 等额收付款项发生在每期期末等额收付款项发生在每期期初 多期以后开始等额收付款项无限期等额收付款项 普通年金 即时年金 递延年金 永续年金年金的计算原理v年金的终值年金终值系数等额现金流v年金的现值年金现值系数等额现金流年金的计算原理1、普通（期末）年金的终值与现值012nnans111年金的计算原理普通年金现值系

13、数nna321)1 (n=in1=普通年金终值系数普通年金终值系数nnnias)1 ( nnii)1 (1iin1)1 (v 案例.3：一个人准备退休后每年年末领取3万元退休金，用于日常消费支付，准备领20年，假定期间的年投资报酬率为5%，问他需要在退休时积累多大一笔退休金？（报酬率5%，20期的年金现值系数为12.4622）nAPVa C2011 1 (1 5%)300005%nCi12.462230000373866v案例7.4：一个投资者每年末存10000元入其银行帐户，按5%计息，10年本利和累计额为多少？（报酬率5%，10期的年金终值系数为12.5779）10(1)1(1 5%)11

14、00005%niCinAFVsC12.5779 100001257792、即时（期初）年金的终值与现值v名义利率i与贴现率d的关系案例7.5：存款100元，1年后得110元，名义利率i=10%贴现率为10/110=9.09%，相当于面额100万元还有一年到期的票据拿到银行贴现，银行按8%的利率贴现，企业支付的名义利率为多少？11idvi 1did10%9.09%110%d 8%8.696%1 8%i 800008.696%100000080000i v案例6：一个人借了住房贷款，每月初要定期定额还款2928.8元，年贷款利率固定为6%，15年还清。问最初贷款金额为多少？（利率为0.5%，179

15、期的年金现值系数为118.09623）v查表：期数减1的系数加1nAPVaC18011 1 (1 0.005)2938.83500001 1 (1 0.005)nCd119.09623 2938.8350000APV diiasnnnn1)1()1( v案例7：一个投资者每年初存10000元入其银行帐户，按5%计息，20年本利和累计额为多少？（报酬率5%，21期的年金终值系数为35.7193）v查表：期数加1的系数减1(1)1nniAFVsCCd20(1 5%)1100003471931 1 (1 5%)34.7193 100003471933、永续年金的现值v这是一种存续期无限长的年金，如永

16、续国债、优先股，理论上其终值无限大，无从计算。现值公式为：v如一优先股每年可获得固定股息0.2元，当折现率为10%时，优先股的价值为11nvPPVCCii10.220.1v普通年金终值计算:年金计算年金计算012 nAAA+A*(1+i) n-1+A*(1+i) n-2A*(1+i) 0v案例3：公司准备进行一投资项目，在未来3年每年末投资200万元，若企业的资金成本为5%，问项目的投资总额是多少?0 1 2 3200 200 200？解：项目的投资总额S=A普通年金终值系数 =2003.153 =630.6万元 所以：项目的投资总额是630.6万元 注：查一元年金终值系数表知， 5%、3期年

17、金终值 系数为 ：3.153 v案例4：某公司在5年后必须偿还债务1500万元，因此从今年开始每年必须准备等额款项存入银行，若银行存款利率为4%，每年复利一次，问该公司每年准备300万元是否能够还债?年金计算年金计算0 1 2 5A A . A1500 解：S=A普通年金终值系数 每年准备款项为 A=S/普通年金终值系数 =1500/5.416 =276.96万元 因为：276.96小于300 所以：该公司每年准备的款项能够还债 注：查一元年金终值系数表知， 4%、5期年金终值系数为5.416 v普通年金现值计算:年金计算年金计算012 nAAA+A/(1+i) n+A/(1+i) 2A/(1

18、+i) 300 300 300v 年金终值的几何涵义-10010203040投资期间年金终值每期金额每期金额每期金额每期金额不变每期不能中断投资期间(贷款期间)每期金额年金现值年金终值的几何涵义1. 完全地弄懂问题2. 判断这是一个现值问题还是一个终值问题3. 画一条时间轴4. 标示出代表时间的箭头，并标出现金流 5. 决定问题的类型：单利、复利、 年金问题、 混合现金流6. 用财务计算器解决问题 （可选择） 解决货币时间价值问题所要解决货币时间价值问题所要 遵循的步骤遵循的步骤可可 想收到以下现金，若按10%贴现，则现值是多少？ 混合现金流举例混合现金流举例 0 1 2 3 4 1.分成不同

19、的时，分别计算单个现金流量 的现值；2. 解决混合现金流，采用组合的方法将问 题分成 年金组合问题、单个现金流组合 问题；并求每组问题的现值。 如何解答如何解答? ? 每年一次计息期条件下每年一次计息期条件下 0 1 2 3 4 10%不同计息期条件下不同计息期条件下(#1)(#1) 0 1 2 3 4 10%600(PVIFA10%,2) = 600(1.736) = 1,041.60400(PVIFA10%,2)(PVIF10%,2) = 400(1.736)(0.826) = 573.57100 (PVIF10%,5) = 100 (0.621) = 62.10 不同计息期条件下不同计息

20、期条件下(#2)(#2) 0 1 2 3 4 等于等于 0 1 2 0 1 2 3 4 5一般公式: FVn= (1 + i/m)mn n:年数 m:一年中计息的次数 i: 年利率 FVn,m: n年后的终值 :现金流的现值 复利的计息频率复利的计息频率可可 有 元想进行为期2年的投资，年利率为12%.每年一次计息 FV2 = (1+ .12/1)(1)(2) = 半年一次计息 FV2 = (1+ .12/2)(2)(2) = 频率对现金流的影响频率对现金流的影响按季度计息 FV2= (1+ .12/4)(4)(2) = 按月计息 FV2= (1+ .12/12)(12)(2) = 按日计息

21、FV2= (1+.12/365)(365)(2) = 频率对现金流的影响频率对现金流的影响1.计算每期偿付金额.2.确定t时期内的利率. (在 t-1时点的贷款额) x (i% / m)3.计算本金偿付额。(第2步的偿付利率)4.计算期末偿还金额。( 3步的本金偿付额)5.重复第2步骤。 贷款分期偿付的步骤贷款分期偿付的步骤可可 从银行取得了10,000元的贷款，复合年利率为12%，分5年等额偿还。第一步 : 计算每期偿付金额 = R (PVIFA i%,n) = R (PVIFA 12%,5) = R (3.605) = / 3.605 = 偿还贷款举例偿还贷款举例年末年末偿还金额偿还金额利

22、息利息本金本金贷款余额贷款余额0- 10,0001 2,774 1,200 1,5748,42622,7741,0111,7636,66332,7748001,9744,68942,7745632,2112,47852,7752972,4780 13,871 3,871 10,000由于小数计算差异，最后一次偿付稍高于前期偿付。 偿还贷款举例偿还贷款举例利息率或贴现率的计算在已知终值、现值和计息期数（或贴现期数），可以求出利息率（或贴现在已知终值、现值和计息期数（或贴现期数），可以求出利息率（或贴现率）。率）。计算步骤：计算换算系数计算步骤：计算换算系数-复利终值系数、复利现值系数复利终值系数

23、、复利现值系数 年金终值系数、年金现值系数年金终值系数、年金现值系数 根据换算系数和相关的系数表求利息率或贴现率。查表无法根据换算系数和相关的系数表求利息率或贴现率。查表无法得到准得到准 确数字时，可以用插值法（确数字时，可以用插值法（interpolation）来求。）来求。 与计算利息率或贴现率原理相同，也可以计算计息期数与计算利息率或贴现率原理相同，也可以计算计息期数n。净现值（净现值（net present value，NPV） NPV是指投资项目寿命周期内各年现金流量按一定的贴现率贴现后与初始投资额的差。计算公式为 NCFt NPV=C0- （t=1，2，3，n） （1+r）t 内部收益率（内部收益率（internal rate of return，IRR） IRR就是投资项目的净现值为0的贴现率，计算公式为 NCFt -投资成本=0 （t=1，2，3，n） （1+IRR）tIRR的计算方法查年金现值系数表，有必要可以使用插值法求出IRR。内部收益率（内部收益率（internal rate of return，IRR）决策规则：IRR大于企业所要求的最底报酬率（handle rate，即净现