数值分析学课件：Lec1 绪论

1、数值分析(Numerical Analysis)数值分析导读出现的背景简短的历史2对数值计算的需要每个人知道当科学家和工程师需要数学问题的数值答案的时候,他们就转向计算机。 然而，存在着很大的关于这一个过程的误解。数值力量是特别巨大的。 人们时常认为，当伽利略等定下了一项原则，对每件事物一定要进行测量，从那时起科技革命就开始起动了。数值测量导致了用数学方法表达物理定律。精细的测量导致精确的定律, 进而导致较好的技术和更精确的测量。 那种离开数值数学而获得某种物理科学的进步，或获得某种意义重大的工程产品发展的时代，早已过去了。3在这一个故事中，计算机确实扮演一个角色,不过，它们的角色是什么却存在

2、一个误会。 许多人想像，由科学家和数学家产生公式,然后,藉着将数值插入进这些公式之内,计算机就制造出必需的结果。实际情况完全不是这样。 真的进行的是执行运算法则的一个更为有趣程序。 在大部分的情形下，照着公式做这件工作甚至无法完成，大多数的数学问题不能够靠一个有限步操作的序列来解决。相反的是快速算法则很快地收敛于精密到三或十位，甚至一百位的数值近似答案。对于科学或工程应用来说, 这样一个答案可能和精确答案一样有用。4可以举例说明正确和近似解的复杂性。假如我们有一个四次多项式,p(z)= c0+ c1z+ c2z2+ c3z3+c4z4;而另外有一个五次多项式,q(z)= d0+ d1z+ d2

3、z2+ d3z3+d4z4+d5z5:广为人知的是：p的根可由显式(由Ferrari在大约 1540 年发现)求得, 但是q的根却没有这样的公式(Ruffini和Abel在250年之后; 证明了它的无解性)。5因此,哲学上会意义到，p 和 q 的求根问题是完全不同的。然而在实际应用中它们却难于区别。 如果一位科学家或一个数学家想要知道一个多项式的根, 他将会转向一部计算机而且在小于几毫秒的时间内得到16位数值精度的答案。 计算机使用了一个解析公式吗? 在q的情况，答案肯定为不，但p怎么样?也许是,也许不。大部份的时间，使用者既不知道也不关心,一百个数学家中也许找不到一个能凭记忆写下求p的根的公

4、式。6这里再举出另外三个例子，就像对于p的求根那样，它们是能用初等运算求解的。(1) 线性方程组: 解含n个未知数的n个一次方程组。(2) 线性规划: 在m 个线性约束下，将含n个变量的一次函数减到最小。(3) 旅行售货员问题: 找到在 n 城市之间的最短旅游路线。而下面的五个例题, 则像对于q求根那样,通常是不能够用初等运算求解的。(4) 求 n x n 矩阵的特征值。(5) 求多变量函数的最小值。(6) 计算积分。(7) 解常微分方程(ODE问题) 。(8) 解偏微分方程(PDE) 。7我们能否得出结论 (1)-(3) 在实际中将会比(4)-(8)容易 ? 完全不是！如果 n 是数百或数千

5、，问题 (3) 通常是非常难解的。 问题 (6)和(7) 通常相当容易,至少如果积分是一维的。 问题 (1)和(4) 几乎完全有相同的难度:当n很小的时候（例如 100）比较容易,而当 n大的时候,（例如1000000）就很难。事实上, 在问题 (1)-(3)中, 当n和m很大的时候，人们一般不去求精确的解，而使用近似的(但却是快速的!)解法。数值分析是研究连续问题运算法则的数学, 这意味着命题包含实变量或复变量。8简短的历史在整个世纪中,领先的数学家已经参与了科学应用, 而且在许多情况下，这已经导致今天的仍然在使用的算法的发现。高斯就是一个杰出的例子。在许多其他的贡献中, 他在最小二乘数据拟

6、合(1795)、线性方程组求解(1809)、和数值积分(1814)方面,都推动了决定性的进步。他在发明快速傅立叶变换 (1805)方面也一样, 虽然后者直到1965年Cooley和Tukey 把它再发现后，才变成广为人知。9大约在1900年左右,在数学家的研究活动中，数值分析开始变得不大活跃。因为技术上的理由，当时数学的进步主要集中在严格性的问题上。举例来说, 二十世纪初期数学家的许多结果要用新的关于无穷大的严格方法来论证，这些命题和数值计算相去甚远。一代人过去了,在1940年代发明了计算机。从这时刻开始，数值数学爆炸了。 但是主要地在专家手中。涌现了很多新的杂志，如Mathematics o

7、f Computation (1943)和Numerische Mathematik (1959)。这一革命与硬件交互映辉,但是它包括的却是与硬件没有多大关系的数学和算法。从1950年代起的半世纪中,计算机的速度加快了大约 109,但是某些问题闻名的最好运算法也加快了那么多。两者组合后速度的增加几乎难以置信。10半世纪来,数值分析已经发展成数学中最大的分支之一,数以千计跨越多种科学和工程学科的研究人员在数十个数学杂志和应用杂志中发表了文章。 由于过去几十年的中这些人的努力,由于强有力的计算机, 我们已经达到这个水平，即大部份物理学遇到的古典数学问题能被数值方法以高的准确性解决。使这成为可能的大

8、部份的算法是1950 以后发明的。数值分析是建立在一个坚强的基础上的: 那就是数学中近似值理论。这个领域包含插值的古典问题,级数展开和与牛顿，傅立叶、高斯有关的调和分析和其它;半经典多项式问题和与 Chebyshev 和伯恩斯坦等的名字相关的有理数的极大极小近似值问题，以及样条函数、径向基函数和小波。 我们没有篇幅来讨论这些主题，但是在几乎数值分析的每个领域中，迟早总要涉及到近似值理论。11数值分析Numerical Analysis计算的目的不在于数据，而在于洞察事物。 理查德哈明The purpose of computing is insight，not numbers. Richard

9、W.HammingHamming（1915-1998），美国工程院院士，数学家，专长是数值方法、编码与信息论、统计学和数字滤波器等。 曾长期在贝尔实验室计算机科学部工作。因发明纠错码而获得1968年度(第三届)的图灵奖。12一、数值分析的概念、地位和特点 数值分析是研究各种数学问题的数值方法的设计、分析有关的数学理论和具体实现的一门学科。实际上就是介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。 属于数学的一个分支，这门课程又称为(数值)计算方法、科学与工程计算等。1. 数值分析的概念13数值分析输入复杂问题或运算 计算机近似解利用计算机高速的简单运算去实现各种复杂的功能14 科学计算 的核心内容

10、是以现代化的计算机及数学软件（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学模型为基础进行数值模拟研究。现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算2. 数值分析的地位促使一些边缘学科的相继出现：计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等15实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序设计编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明 在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出

11、正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。 16总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点： (1) 数值分析面向计算机，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科； (2) 数值分析这门课程即要讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是数值结果；(3) 数值分析有可靠的理论分析和数值实验，专门研究数学问题的数值解法，要对算法进行误差分析。3. 数值分析的特点17二、数值分析的研究内容和研究方法插值法线性方程组的数值解法 非线性方程组的数值解法数值积分与数值微分常微分方程的数值解法 函数逼近矩阵特征值计算 方程求根研究内容18研究方法:1. 数值方法的特点（基本思想）2. 如何评价数值

12、方法的好坏（评价标准） 近似, 递推性(迭代), 离散化, 外推法 本课程的基本目的，是使大家通过学习，初步建立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念和主要方法，为进一步深入学习打下基础。误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量和自适应性19考试评分：平时成绩占总成绩的30% 期末考试占总成绩的70%，闭卷考试。三、基本要求作业要求： 会不定期地布置课后作业20数值计算中的误差分析初步 误差来源 误差分析的重要性 误差的基本概念误差来源实际问题数学模型计算模型计算模型误差观测误差（数据误差）方法误差（截断误差）舍入误差不予讨论所要研究的数值分析只研究用数值方法求解数学模型时产生的误差22截断误差当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差（或方法误差）。23截断误差当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差（或方法误差）。yxbaO24舍入误差有了求解数学问题的计算公式以后，用计算机做数值计算时，由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差。25误差分析的重要性26误差分析的重要性27误差分析的重要性两种算法的计算结果如下