电子测量第二章2-2

1、第二章 测量误差与数据处理随机误差指对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预测的方式无规则变化的误差。2.4 随机误差分析一、定义R反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度。P P( (x x) ) x x0 0二、随机误差性质对称性对称性绝对值相等的正误差与负绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；误差出现的次数相等； 单峰性单峰性绝对值小的误差比绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；大的误差出现次数多； 有界性有界性绝对值很大的误差出现的绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；机会极少，不会超出一定的界限； 抵偿性抵偿性当测量次数趋于无穷大，当测量次

2、数趋于无穷大，随机误差的平均值将趋于零。随机误差的平均值将趋于零。 服从服从正态分布正态分布，具有以下，具有以下4 4个特性个特性： nxxxx,321由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。定义n个测得值(随机变量)的算术平均值算术平均值为niixnx11n)1(lim1niinxxnEAxxiii式中 分别表示绝对误差和随机误差。iix、AxnAnxnAxnnniininiiniinii11111111)(11n)(nAEx 由于随机误差的抵偿性：0)1(lim1niinn 综合以上所述：AEx即测得值的数学期望等于被测量实际值A. 110niixnxEA2211( )()niixxx

3、n 方差方差是用来描述随机变量可能值对期望的是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。分散的特征值。 2211( )()niixxxn数学表达式：数学表达式： 对于正态分布的xi ，其概率密度函数为：222)(21)(xExex22221)(ei 图 的正态分布曲线 ixi 图 的正态分布曲线x x ( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 2零示法零示法 当检流计当检流计GG中中 I=0I=0 212RRREUUx待测待测标准标准U U U Ux xE Ex xR R1 1R2R2G G图图 零示法测电压零示法测电压 GG只要示零精度高只要示零精度高 sxxssxxxsx由

4、于 ，所以 ，又由于 ，所以sssxssxx条件条件：当待测量与标准量接近时：当待测量与标准量接近时 BX BABX BA 被测电池电压被测电池电压 x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V测量误差由下式可求得：测量误差由下式可求得： BAAABBxx=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2% 可见，可见，采用微差法测量，测量误差主要决定于采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，标准量的误差， 而测试仪表误差的影响被大大削弱。而测试仪表误差的影响被大大削弱。待测待测标准标准（

5、固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V图图 微差法测量微差法测量本例说明本例说明，用误差为用误差为5的电压表进行测量，可得的电压表进行测量，可得0.2%的测量精确度。的测量精确度。替代法（置换法）替代法（置换法） 直流电桥平衡条件直流电桥平衡条件当当 R RX XR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 将将 R RS SR R2 2=R=R1 1R R3 3 G=0 G=0 则则 R RX X=R=RS S 步骤：步骤：1.1.调调R R3 3，使，使G=0G=0，R R3 3不动；不动； 2.2.调调R RS S，使，使G=0G=0，R RX X=R=

6、RS SR RS S为标准为标准电阻箱电阻箱可调可读可调可读R Rx xGGR RS SR R3 3R R1 1R R2 2E E 图图 替代法测电阻替代法测电阻 标准可调标准可调可读电阻可读电阻231/RRRRx 由于 都有误差，若利用它们的标称值来计算Rx，则Rx也带有误差，即321RRR、)/()(223311RRRRRRRRxx223311RRRRRRRRxx 为了消除上述误差，现用可变标准电阻s代替R，并在保持 不变的情形下通过调节使电桥重新平衡，因而得到 321RRR、)/()(223311RRRRRRRRssssxxRRRR 可见测量误差可见测量误差R ，仅决定于标准电阻的误差，

7、仅决定于标准电阻的误差Rs，而与而与 的误差无关。的误差无关。 321RRR、总结：总结： 只要零示器的只要零示器的灵敏度灵敏度足够高，测量的准足够高，测量的准确度基本上等于标准量的准确度，而与零示器确度基本上等于标准量的准确度，而与零示器的准确度无关，从而的准确度无关，从而可消除由于测量仪器刻度可消除由于测量仪器刻度不准所带来的系统误差。不准所带来的系统误差。 2智能仪器中系统误差的消除智能仪器中系统误差的消除 在智能仪器中，可利用微处理器的计算控制功能，消弱或消除仪器的系统误差。 直流零位校准 首先测量输入端短路时的输入端直流短路时的输出电压，将测得的数据存贮到校准数据存贮器中，而后进行实

8、际测量，并将测得值与调出的直流零电压数值相减，从而得到测量结果。这种方法在数字这种方法在数字电压表中得到广泛应用。电压表中得到广泛应用。xUsU图5 运放的自动校准原理( )ixxGx3 ( )ixxxixxa( )akx在有限次测量的情况下：在有限次测量的情况下： 1、全部测量值的算术平均值是最可靠的测量结果。、全部测量值的算术平均值是最可靠的测量结果。 2、标准差、标准差 3、平均值的标准差：、平均值的标准差： 4、数据的表述：、数据的表述：211()1niixxn( )/xn3 ( )xxxn系统误差分析1、求平均值无法消除系统误差2、系统误差判断的方法3、消除系统误差的方法校准、比对的

9、方法校准、比对的方法剩余误差观察的方法剩余误差观察的方法公式判断的方法公式判断的方法从产生的根源上消除从产生的根源上消除典型技术典型技术智能仪器自校准智能仪器自校准零示法零示法微差法微差法替代法替代法ixinixnx11xxii01nii 列出列出 ，按贝塞尔公式计算标准偏差，按贝塞尔公式计算标准偏差(实际实际上是标准偏差上是标准偏差 的最佳估计值的最佳估计值 )：2ivniin12113i3i( )/xn3 ( )Axx表1Vx30.205i4434. 01112niin3302. 13i335. 1i65.206ix21.205 x重新计算各残差重新计算各残差 列于表中。列于表中。重新计算

10、标准差重新计算标准差i27. 014112nii81. 03ii( )/ 150.27/ 150.07xVxxx2 . 02 .2053图6 的变化情况i1 1 有效数字有效数字 定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位误差的那位存疑数存疑数为止的所有各位数字。为止的所有各位数字。 例例1 1 用用10v10v指针式电压表测得指针式电压表测得 U= 5. 6 U= 5. 6 4 4 V V 三位有效数字三位有效数字 例例2 0.0039K=3.9 2 0.0039K=3.9 两位有效数字两位有效数字6

11、 6 5 5例例3 0.026m 3 0.026m 两位有效数字两位有效数字 0.0260m 0.0260m 三位有效数字三位有效数字存疑数还有一种含义，存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位它可能发生末位的半个单位( (0.50.5个单位个单位) )变化。变化。例如例如: : 5.645.640.005 0.005 5.6455.645 5.635 5.635 绝对误差不超过末位单位数字的一半 有效数字具有以下特点：有效数字具有以下特点： （1）位于数字中间和末位的）位于数字中间和末位的0都是有效数字，而位于第一都是有效数字，而位于第一非零数字前面的非零数字前面的0，都不是有效数字。，

12、都不是有效数字。 （2）有效数字的末位数字是）有效数字的末位数字是0时，不能随意删除，上例中时，不能随意删除，上例中的的1.80 mA和和1.8 mA中的有效数字是不一样的，前者是三位，中的有效数字是不一样的，前者是三位，后者是两位，绝对误差相差后者是两位，绝对误差相差10倍。倍。 （3）有效数字不能因使用的单位变化而改变，上例中）有效数字不能因使用的单位变化而改变，上例中3.02 V和和3020 mV两个数值，前者是三位有效数字，后者是两个数值，前者是三位有效数字，后者是四位有效数字。因此要保持有效数字不变，后者必须写成四位有效数字。因此要保持有效数字不变，后者必须写成3.02103 mV，

13、这时它的有效数字是三位。，这时它的有效数字是三位。 【注意】：需要注意的是，在测量结果中，最末一位有效【注意】：需要注意的是，在测量结果中，最末一位有效数字取到哪一位，是由测量精度来决定的，即最末一位有效数数字取到哪一位，是由测量精度来决定的，即最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的。字应与测量精度是同一量级的。 2 2 数字的舍入（修约）规则数字的舍入（修约）规则未使尾数为偶数，不便于除尽未使尾数为偶数，不便于除尽 经典的经典的“四舍五入四舍五入”的缺点：的缺点： 规则规则 小于小于5 5舍舍 大于大于5 5入入 等于等于5 5取偶取偶 5 5后有数，舍后有数，舍5 5入入1 1 5 5后

14、无数或为零时后无数或为零时5 5前是奇数，舍前是奇数，舍5 5入入1 1 5 5前是偶数，舍前是偶数，舍5 5不进不进 17.99518.0017.99518.00 14.985014.9814.985014.983.624563.62456测量中用：测量中用：四舍六入五凑偶法则四舍六入五凑偶法则取取4 4位有效数字位有效数字3.6253.62512.4363.740.6925.3217.70123.122.6 测量误差的合成与分配iniiyxxf1ln（误差传递公式误差传递公式）2.6.1、测量误差的合成、测量误差的合成总合误差分项误差的传递系数局部误差2.6 测量误差的合成与分配1njjj

15、fyxx 绝对误差传递公式绝对误差传递公式1nyjjjylnfxyx 相对误差传递公式相对误差传递公式12(,.)nyf x xxy y与与x x是和、差关系，则先求绝对误差是和、差关系，则先求绝对误差y y与与x x是积、商、乘方、开方关系，则先求相对误差是积、商、乘方、开方关系，则先求相对误差1niiifyxx 【例【例2-8】 用间接测量法测电阻消耗的功率。若电阻、电用间接测量法测电阻消耗的功率。若电阻、电压和电流测量的相对误差分别为压和电流测量的相对误差分别为R/R、U/U、I/I，试求功率的相对误差为多少？，试求功率的相对误差为多少？ 解法解法1： 求功率求功率P的绝对误差的绝对误差

16、再求再求P的相对误差的相对误差 解法解法2：UIIUUUPIIPPUIPUIUIUIIUPPUUUIIIUIxxfPPiniiP)ln(ln)ln(lnln1UIUUII 【例【例2-9】 已知函数已知函数 求求y的误差。的误差。 解：解：由于由于故故，03321xxxxy iiiyxxfyy31ln321321lnlnlnlnlnxxxxxxf333222111lnlnlnxxxxxxxxxy332211xxxxxx321考虑最大影响，取各项的绝度值计算，则考虑最大影响，取各项的绝度值计算，则y的相对误差为的相对误差为)(321y 2误差的合成误差的合成 （1）确定性系统误差的合成）确定性系

17、统误差的合成 对于误差的大小及符号均已确定的系统误差，可以直接对于误差的大小及符号均已确定的系统误差，可以直接由误差传递公式进行合成。由于由误差传递公式进行合成。由于 ，当随机误差，当随机误差 不计时，不计时， 。则。则iniinnxxfxxfxxfxxfy12211iiixiiixnnxfxfxfy2211jmjjyxf1jmjjyyxfy1ln 【例【例2-10】 有有5个个800 的电阻串联，若各电阻的系统误差的电阻串联，若各电阻的系统误差分别为分别为1 = -4 ，2 = 5 ，3 = -3 ，4 = 6 ，2 = 4 ，求总电阻的相对误差，求总电阻的相对误差R。 解：解：543211

18、jmjjRRRR846354总电阻总电阻总电阻的相对误差总电阻的相对误差R为为400054321RRRRRR%2 . 0%10040008%100RRR （2）系统不确定度的合成）系统不确定度的合成 系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度，用系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度，用y m表示；相对系统不确定度用表示；相对系统不确定度用y m表示。例如测量仪器的基本表示。例如测量仪器的基本误差、工作误差等都属此类。误差、工作误差等都属此类。不确定度愈小，测量结果的质量愈高，愈接近真值，可信程度不确定度愈小，测量结果的质量愈高，愈接近真值，可信程度愈高。愈高。系统不确定度可用下面两种方法计算。系统不确定度可用下面两种方法计算。 绝对值合成法（代数合成法）绝对值合成法（代数合成法）njjjyxf1mmnjjjyxf1mmln一般情况下（积函数）一般情况下（积函数）)21mny （ 【例【例2-11】 用用 和和 的电阻串联，的电阻串联，求总电阻的误差范围（系统不确定度）。求总电阻的误差范围（系统不确定度）。 解：解： %101001R%54002R10%)10100(m120%)5400(m2得：得：30)(m2m1mmRy 【例【例2-11】 用用HFJ8型超高频晶体管毫伏表型超高频晶体管毫伏表3 V量程测量程测一个一个20 MHz的的1.5