高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册__——空间向量与立体几何单元测试卷3

1、试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 4 4页试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册空间向量与立体几何一、单选题1已知正方体各棱长均为，为上靠近的三等分点，则直线与直线所成异面夹角的余弦值为（）ABCD2若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（）A30B45C60D903如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD4在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no）.如图，在鳖臑中，平面，分别为，的中点，则异面直线与所成

2、角的余弦值为（）ABCD05已知，若，则实数的值为（）A B C D 6在空间直角坐标系中，点到点O的距离为（）ABCD二、多选题7如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（）AB向量与所成角的余弦值为C平面的一个法向量是D点D到直线的距离为8在棱长为1的正方体中，分别是棱，上的点，则下列结论正确的是（）A当时，若，则B当是棱的中点时，异面直线与所成角的余弦值为C直线与平面所成角的正弦值是D若平面，则与的长度之和为1第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，且，则CD的长等于

3、_.10已知直线过点，且是直线的一个方向向量，则_.11空间四边形ABCD中，AD与BC成角，则异面直线AB与CD所成角的大小为_.12如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量_（用表示）四、解答题13如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，.(1)求证：平面BDEF；(2)求二面角的余弦值.14已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，且，判断直线l与平面的位置关系是平行还是垂直(1)，；(2)，15如图，三棱锥中，面与面互相垂直，且求：(1)所在直线和平面所成角的大小；(2)所在直线与直线所成角的大小；(3)二面角的余弦值16已知O为坐标原点，是四面体，直线与直线平行，并且与坐标平

4、面相交于点D，求点D的坐标答案第 = page 11 11页，共 = sectionpages 11 11页答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页参考答案：1B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来求异面直线所成的角即可【详解】如图，建立空间直角坐标系，,0,，,2,，,0,，,，,，,2,，所以直线与直线所成异面夹角的余弦值为，故选：B2C【解析】【分析】直接由公式，计算两直线的方向向量的夹角，进而得出直线与所成角的大小【详解】因为，所以，所以，所以直线与所成角的大小为故选：C3A【解析】【分析】根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选

5、项的式子变形，即可判断.【详解】A：，故A正确；B：，故B错误；C：，故C错误；D：，故D错误；故选：A4A【解析】【分析】以B点为原点建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】由题意得，为直角三角形，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，.设异面直线与所成角为，则.故选：A.5C【解析】【分析】根据，可知，再根据空间向量数量积的坐标运算，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，所以.故选：C.6D【解析】【分析】利用空间两点间的距离公式直接求得答案.【详解】点到点O的距离 ，故选：D7BCD【解析】【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用

6、数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.【详解】，所以，所以，故，A错误；，B正确；设，则，而，所以平面的一个法向量是，C正确；，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.故选：BCD8BD【解析】【分析】根据空间向量运算可判断A；建立空间直角坐标系，根据直线夹角的向量公式即可判断B；根据线面夹角的向量公式即可判断C；若平面，只需，利用坐标运算即可判断D【详解】对于选项A，所以，所以A错误；对于选项B，以，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系当是棱的中点时，所以B正确；对于选项C，易知是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值为，故C错误；对于选项

7、D，设，则，又，.由于，故若平面，只需，所以，D正确故选：BD.94【解析】【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知，由，得，又，所以，即.故答案为：4.10【解析】【分析】由题得，解方程组即得解.【详解】解：由题得，因为是直线的一个方向向量，所以，所以，所以.故答案为：11【解析】【分析】由空间向量的运算得出，进而由余弦定理得出，最后由向量法得出异面直线AB与CD所成角的大小.【详解】，不妨设，则设异面直线AB与CD所成角为，则，.故答案为：12【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解

8、】由向量的减法及加法运算可得，故答案为：13(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）设AC交BD于点O，连接FO，证明，根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）连接DF，证明平面ABCD，以OA，OB，OF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：设AC交BD于点O，连接FO，四边形ABCD为菱形，O为AC中点，又，又，平面BDEF，平面BDEF，平面BDEF；(2)解：如图，连接DF，四边形BDEF为菱形，为等边三角形，又O为BD中点，又，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，分别以OA，OB，OF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，又

9、为等边三角形，点，设平面BCF的一个法量，则，令，得，平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，所以平面AFC，则即为平面AFC的一个法向量，又二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为.14(1)平行(2)垂直【解析】【分析】（1）由直线方向向量与平面的法向量垂直，得线面平行；（2）由直线方向向量与平面的法向量平行，得线面垂直(1)，又，所以(2)，即，所以15(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小.（2）利用向量法求得直线与直线所成角的大小.（3）利用向量法求得二面角的余弦值.(1)依题意，平面平面，.以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，