高一数学竞赛课讲义练习多项式的因式分解含答案

1、A5.多项式的因式分解一、基础知识多项式的因式分解及唯一性定理：数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式那么必有并且适当排列因式的次序后有其中是一些非零常数. 多项式的标准分解式：数域上多项式,其中是的首项系数,是不同的首项系数为1的不可约多项式,而是正整数.多项式的根：对任意多项式,如果则称为的根.代数基本定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.这个定理首先是由高斯于1797年首先证明的,由于当时代数学研究的主要对象为多项式理论,这个定理是关于多项式理论的非常有用、非常基本的结论,因而被命名成代数基本定理,它有多个证明,都

2、很复杂,并且或多或少地用到微积分等其他领域的结论,这里就不证明了.显然我们可以利用代数基本定理得到每个次数大于1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式.因此在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项式,于是多项式的因式分解定理在复数域上可以叙述成复系数多项式因式分解定理：每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此复系数多项式具有标准分解式：其中是不同的复数,是正整数.标准分解式说明每个次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).实系数多项式因式分解定理：每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因

3、式的乘积.因此实系数多项式具有标准分解式：其中全是实数,是正整数,并且是不可约的,也就是适合条件 二、典型例题与基本方法1.证明：中次多项式在数域中的根不可能多于个,重根按重数计算.2(多项式恒等定理)如果多项式的次数都不超过而它们对个不同的数有相同的值,即证明：3.求所有多项式使得对任意的有4.如果是一个次多项式,且对有,求.5.设复变量多项式其中系数若证明：存在实数使得且B5.练习 姓名： 1.如果是实系数多项式的复根,证明：的共轭复数也是的根.2.证明：实系数奇数次多项式必有一实数根.3.已知多项式满足且求A5.多项式的因式分解一、基础知识多项式的因式分解及唯一性定理：数域上每一个次数的

4、多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式那么必有并且适当排列因式的次序后有其中是一些非零常数. 证明：先证明分解式的存在性,我们对的次数作数学归纳.因为一次多项式都是不可约的,所以时结论成立.设假设结论对于次数低于的多项式成立,如果是不可约多项式,则结论成立,不妨设不是不可约的,即有其中的次数都低于,由归纳假设都可以分解成数域上一些不可约多项式的乘积.把的分解式合起来就得到的一个分解式.由归纳法原理,结论普遍成立.再证唯一性,设可以分解成不可约多项式的乘积如果还有另一个分解式其中都是不可约多项式,于是我们对作归纳法,当是不可约多项式,于是且现在设不

5、可约因式的个数为时唯一性已证.因为所以因此必能除尽其中的一个,不妨设因为也是不可约多项式,所以有于是中消去得.由归纳假设有即并且适当排列次序之后有这就证明了分解的唯一性.多项式的标准分解式：数域上多项式,其中是的首项系数,是不同的首项系数为1的不可约多项式,而是正整数.多项式的根：对任意多项式,如果则称为的根.代数基本定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.这个定理首先是由高斯于1797年首先证明的,由于当时代数学研究的主要对象为多项式理论,这个定理是关于多项式理论的非常有用、非常基本的结论,因而被命名成代数基本定理,它有多个证明,都很复杂,并且或多或少地用到微积分等其他领域的结论,这里

6、就不证明了.显然我们可以利用代数基本定理得到每个次数大于1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式.因此在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项式,于是多项式的因式分解定理在复数域上可以叙述成复系数多项式因式分解定理：每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此复系数多项式具有标准分解式：其中是不同的复数,是正整数.标准分解式说明每个次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).实系数多项式因式分解定理：每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.因此实系数多项式具有标准分解式：其中全是实数

7、,是正整数,并且是不可约的,也就是适合条件 证明：定理对一次多项式显然成立.假设定理对次数的多项式成立,设是次实系数多项式,由代数基本定理,有一复根如果是实数,那么其中是次实系数多项式.如果不是实数,那么也是的根且于是显然是一实系数二次不可约多项式.从而是次实系数多项式.由归纳假设,或可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积,因此也可以如此分解.二、典型例题与基本方法1.证明：中次多项式在数域中的根不可能多于个,重根按重数计算.证明：对零多项式结论成立.设是一个次数的多项式,把分解成不可约多项式的乘积若存在注意到是不可约多项式,于是不能分解成两个次数低于的两个多项式的乘积,于是自然不能分解出一次

8、多项式,所以对任意的由余数定理知道所以的根只能是的分解式中的一次不可约因式,于是在数域中根的个数等于分解式中一次因式的个数,这个一次因式的个数显然不超过所以中次多项式在数域中的根不可能多于个.2(多项式恒等定理)如果多项式的次数都不超过而它们对个不同的数有相同的值,即证明：证明：由条件这就是说,多项式有个不同的根.如果那么是一个次数不超过的多项式,于是它不可能有个根.因此3.求所有多项式使得对任意的有解：分别令得即多项式有根所以多项式必有因式所以于是于是所以由多项式恒等定理知道所以4.如果是一个次多项式,且对有,求.解：因为对有,所以令因为是一个次多项式,于是是一个次数不超过的多项式,且有个根.由多项式的因式分解定理知道因为是一个次数不超过的多项式所以于是所以从而令则故所以所以5.设复变量多项式其中系数若证明：存在实数使得且证明：设多项式的根是则因为所以于是注意到对任意的实数所以若均为实数,则矛盾.所以一定存在某些的根不是实数,且因为多项式是实系数多项式,其非实数的复数根成对出现,所以设则且 所以B5.练习 姓名： 1.如果是实系数多项式的复根,证明：的共轭复数也是的根.证明：设其中都是实数.因为是的复根,所以即于是这就是说所以也是的根.2.证