高等数学基础形成性作业及答案1-4

1、 PAGE 15高等数学基础形考作业 1：第 1 章 函 数第 2 章 极限与连续（一） 单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A. f (x) ( x )2 ， g (x) xB. f (x) x2， g (x) xx 2 1C. f (x) ln x3 ， g(x) 3ln xD.f (x) x 1， g(x) x 1设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（C）对称A. 坐标原点B.C. y 轴D.下列函数中为奇函数是（B）x 轴y xy ln(1 x 2 )B. y x cos xa x a xC. y 2D.y ln(1 x)下列

2、函数中为基本初等函数是（C）A. y x 1B. y x 1 ,x 02y xy 1 ,x 0下列极限存计算不正确的是（D）x2lim 1x x 2 2lim ln(1 x) 0 x0lim sin x 0D. lim x sin 1 0 xxxx当 x 0 时，变量（C）是无穷小量sin x1x1xx sinD. ln(x 2)x若函数 f (x) 在点 x 满足（A），则 f (x) 在点 x 连续。00A. lim f (x) f (xx x00)B. f (x) 在点 x0的某个邻域内有定义C. lim f (x) f (x )D. lim f (x) lim f (x)x x00（二

3、）填空题x x0 x x0 x 2 9函数 f (x) ln(1 x)x 3的定义域是3,已知函数 f (x 1) x 2 x ，则 f (x) x2-x11 lim(1 ) x e 2 x2x1若函数 f (x) (1 x) x x k ,x 1 ,x 0,x 0 ，在 x 0 处连续，则 k ex 0函数 y 的间断点是 x 0 sin x ,x 0若 lim f (x) A ，则当 x xx x00（三）计算题设函数求： f (2) , f (0) , f (1) 时， f (x) A 称为 x x 时的无穷小量。 0e x ,x 0f (x) x ,x 0解： f 2 2 ， f 0

4、0 ， f 1 e1 e2x 1求函数 y lg 的定义域x2x 1 2x 1 0 x1DAROhE解： y lg 有意义，要求解得x 或x 0 xx 02x 0 x | x 0或x 1 则定义域为2在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：BC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底CD2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得OA2 OE2R2 h2AE 则上底 2AE 2 R2 h2R2 h2R2 h2h 故 S 2 2R 2lim sin 3xx0求sin 2x h R s

5、in3 x 3xsin3 xlim sin3 x lim3x lim3x 31 3 3 解： x0 sin 2xx0 sin 2x sin 2x2 122x0求 limx1x 2 1 sin(x 1) 2x 2x2xlimx2 1 lim (x 1)(x 1) limx 1 11 2解：x1sin( x 1)x1sin( x 1)x1sin( x 1)1x 1求lim tan 3xx0 x解：lim tan 3x lim sin3 x 1 lim sin3 x 1 3 1 1 3 31 x 2 1x0 xx0 xcos3 xlimx03xcos3 x1求1 x2 1x0limsin x( 1

6、x2 1)sin x lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1) limx2解：x0sin xx0( 1 x2 1)sin xx0 x 1 limx0 (x1 x21)sin x x0 0 11 1x 3求lim() x x111x1(1)x(1) x 1x 1xxxxe1解： lim( ) lim(3 ) lim3 lim e 4x x 3x 1x (1)xx1 xe3xx(1 x )3 33 求lim x 2 6x 8x4 x 2 5x 4x2 6x 8x 4x 2x 24 22解： lim lim lim x4 x2 5x 4x4 x 4x 1x4 x 14 13设函数讨论 f (x)

7、 的连续性。(x 2)2 ,x 1f (x) x , 1 x 1x 1 ,x 1解：分别对分段点 x 1,x 1 处讨论连续性（1）lim f x lim x 1x1lim fx1xx1limx1x 1 11 0所以 lim f x lim f x ，即 f x在 x 1 处不连续x1x1（2）lim f x lim x 22 1 22 1x1lim fx1 xx1 lim x 1x1f 1 1所以 lim f x lim f x f 1即 f x在 x 1 处连续x1x1由（1）（2）得 f x在除点 x 1 外均连续高等数学基础作业 2 答案：（一）单项选择题第 3 章 导数与微分设 f

8、(0) 0且极限limf (x)存在，则lim f (x) （C）x0 xx0 xA. f (0)B. f (0)C. f ( x)D. 0 cvx设 f (x) 在 x 可导，则lim0h0f (x0 2h) f (x )02h （D）A. 2 f (x )B. f (x )00C. 2 f (x )D. f (x )00f (1 x) f (1)设 f (x) e x ，则 limx0 x11 （A）A. eB. 2eC.2 eD. 4 e设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 99) ，则 f (0) （D）A. 99B. 99C. 99!D. 99!下列结论中正确的是（C）A. 若

9、 f (x) 在点 x 有极限，则在点 x 可导 B. 若 f (x) 在点 x 连续，则在点 x 可导0000C. 若 f (x) 在点 x 可导，则在点 x 有极限 D. 若 f (x) 在点 x 有极限，则在点 x 连续0000（二）填空题x 2 sin 1 ,x 0设函数f (x) 0 ,xx 0，则 f (0) 0d f (ln x)2 ln x5设 f (e x ) e2 x 5e x ，则d x。 xx曲线 f (x) 1在(1, 2) 处的切线斜率是 k 。x12曲线 f (x) sin x 在( 2 , 1) 处的切线方程是 y 1。设 y x 2 x ，则 y 2x 2 x

10、 (1 ln x)设 y x ln x ，则y 1x 。（三）计算题求下列函数的导数 y ： y (x3)e xx 3xx 3331解: y xex xex (x 2 3)ex x 2 ex2 y cot x x 2 ln x解：y cot x x 2 ln x x 2 ln x csc2 x x 2x ln x y x 2ln xx 2解： y ln x x 2 ln 2 xln x 2x ln x xln 2 xcos x 2x y x3 解： y cos x 2xx3 cos x 2x x3 x3 2 x(sin x 2x ln 2) 3(cos x 2x )x4ln x x 2 y s

11、in x1sin x( 2x) (ln x x 2 ) cos x解： y ln x x 2sin x ln x x 2sin xx y x 4 sin x ln xsin 2 xsin 2 xy x 4 sin x ln x sin xln x 4x3 sin x cos x ln x解：xsin x x 2 y 3x 解： y sin x x23x sin x x2 3x 3x 2 3x (cos x 2x) (sin x x2 )3x ln 3 32 x y e x tan x ln x解： y ex tan x extan xln xex1 ex tan x cos2 xx求下列函数的

12、导数 y ： y e x 1 11解： y e x e xx 2 e x2 x2 y lncos x解： y 1 sin x sin x tan xcos xcos y x x x 7 71解： y x 8 x 88 y sin 2 x解： y 2 sin xsin x 2 sin x cos x 2 sin 2x y sin x2解：y cos x2 2x 2x cos xy cose x2ye sinx2解：ex2 2xex2 sin ex2？ y sin n x cos nx解：y sin n x cos nx sin n xcos nx n sin n1 x cos x cos nx

13、n sin n x sin(nx)y 5sin x解： y 5sin x ln 5 cos x ln 5cos x5sin xy ecos xy ecos x sin x sin xecos x解：在下列方程中， y y( x) 是由方程确定的函数，求 y ： y cos x e2 yy s i nx解： ycos x y sin x 2e2 y yy c o sx 2e2 y y cos y ln xy sin y.yln x cos y. 1y c o sy解：2x sin y x 2yxx(1 s i ny l nx)解：2x cos y.y 2 sin y 2 yx x 2 yy(2x

14、 cos y x 2 ) 2 yx 2sin yy 2xy 2 y s i nyy 2y 2y 22xy 2 c o sy x 2 y x ln yy y 1y y解：yy 1 ln x e y y 2解：1 e yy 2 yyy x1x(2 y e y ) y 2 1 e x sin yex s i ny解： 2 yy ex cos y.y sin y.exy 2 y ex c o sy e y e x y 3x解： e y y ex 3y 2 yy ee y y 5x 2 y 3y 2解： y 5x ln 5 y2 y ln 2y 5x l n5 1 2 y l n2求下列函数的微分d y

15、 ：（注： dy ydx ） y cot x csc xy csc2 x csc x cot xdy ( 1cos x )dx解：ln xcos 2 xsin 2 x y sin x解： y 1 sin x ln x cos x xdy 1 sin x ln x cos xxdx y sin 2 xsin 2 xsin 2 x解： y 2sin x cos xdy 2sin x cos xdx y tan e x解： y sec2 ex exdy sec2 ex3 ex dx ex3 sec2 ex dx2求下列函数的二阶导数：y y 1 x 1xy 1 1 x 3 1 x 3解：22 y 3

16、x2224解： y 3x ln 3y ln 3 3x ln 3 ln2 3 3x y ln x 解 ： y 1xy 1x 2 y x sin x解：y sin x x cos xy cos x cos x x sin x 2 cos x x sin x（四）证明题设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f ( x) 是偶函数 证：因为 f(x)是奇函数 所以 f (x) f (x)两边导数得： f (x)(1) f (x) f (x) f (x)所以 f ( x) 是偶函数。高等数学基础形考作业 3 答案：（一）单项选择题f (x)第 4 章 导数的应用 (a , b)f ( ) f (b) f

17、 (a)若函数满足条件（D），则存在，使得b aA. 在(a , b) 内连续B. 在(a , b) 内可导C. 在(a , b) 内连续且可导D. 在a , b内连续，在(a , b) 内可导函数 f (x) x 2 4x 1 的单调增加区间是（D ）A. ( , 2)B. (1, 1)C. (2 , )D. (2 , )函数 y x 2 4x 5 在区间(6 , 6) 内满足（A ）A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升函数 f (x) 满足 f (x) 0 的点，一定是 f (x) 的（C ）A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点设 f (

18、x) 在(a , b) 内有连续的二阶导数， x (a , b) ，若 f (x) 满足（ C ），则 f (x) 在 x 取到极小值00A. f (x ) 0 , f (x ) 0B. f (x ) 0 , f (x ) 00000C. f (x ) 0 , f (x ) 0D. f (x ) 0 , f (x ) 00000设 f (x) 在(a , b) 内有连续的二阶导数，且 f (x) 0 , f (x) 0 ，则 f (x) 在此区间内是（ A ）A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题设 f (x) 在(a , b) 内

19、可导， x (a , b) ，且当x x 时 f (x) 0 ，当x x 时 f (x) 0 ，则x 是 f (x) 的0000极小值点若函数 f (x) 在点 x 可导，且 x 是 f (x) 的极值点，则 f (x ) 0000函数 y ln(1 x 2 ) 的单调减少区间是(,0) 函数 f (x) e x2的单调增加区间是(0,)若函数 f (x) 在a , b 内恒有 f (x) 0 ，则 f (x) 在a , b 上的最大值是 f (a) 函数 f (x) 2 5x 3x3 的拐点是0,2（三）计算题求函数 y (x 1) (x 5)2 的单调区间和极值解：令 y x 52 (x

20、1) 2 (x 5) 3(x 5)(x 1)X(,1)1(1,5)5(5,) 驻点x 1, x 5y+00+y上升极大值32下降极小值 0上升列表：极大值： f (1) 32极小值： f (5) 0 xyy（0,1）+10（1,3）上升极大值 2下降求函数 y x2 2x 3 在区间0 , 3 内的极值点，并求最大值和最小值 解：令： y 2x 2 0 x 1(驻点） ，列表：y x2 2x 3 x 12 2f (0) 3f (3) 6f (1) 2 极值点：f 1 2 最大值f (3) 6 最小值f (1) 2求曲线 y 2 2x 上的点，使其到点 A(2 , 0) 的距离最短解： 设p(x

21、, y)是y 2 2x上的点，d 为 p 到 A 点的距离，则：(x 2)2 y 2d 令d (x 2)2 2x2(x 2) 22 (x 2)2 2xx 1(x 2)2 2x2 0 x 1 y y 2 2x上点(1,2)或1，-2 到点A(2,0)的距离最短。圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积V R 2 h (L2 h2 )h令： V h(2h) L2 h2 L2 3h2 0 L 3h3h L323R L当h 3 , R 3L时其体积最大。23一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最

22、小？解：设园柱体半径为 R，高为 h，则体积V R 2hS表面积 2Rh 2R2 2 VR 2R2令： S 2VR 2 4R 0 V R3 R h V3 234V2V3 234V答：当 R h 时表面积最大。欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为 x，高为 h。则：62.5 x 2 h h 62.5x 2250侧面积为： S x 2 4xh x 2 x250令 S 2x 0 x 2 x3 125 x 5答：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时用料最省。（四）证明题当 x 0 时，证明不等式 x ln(1 x)证：在区间1,1 x上对函数

23、f x ln x应用拉格朗日定理，有ln1 x ln1 1 x1 1 x,故 1 1其中，于是由上式可得x ln(1 x)当 x 0 时，证明不等式e x x 1 证： 设f (x) ex (x 1)f (x) ex 1 0(当x 0时）当x 0时, f (x)单调上升且f (0) 0 f (x) 0,即ex (x 1)高等数学基础形考作业 4 答案：（一）单项选择题f (x)第 5 章 不定积分第 6 章 定积分及其应用1f (x) 若的一个原函数是，则x（D）ln x1x 212xD. x 3下列等式成立的是（D）A f (x)dx f (x)B. df (x) f (x) C.d f (

24、x)dx f (x)ddx f (x)dx f (x)若 f (x) cos x ，则 f (x)dx （B）A. sin x cB. cos x c sin x cD. cos x cd dx x 2 f (x 3 )dx （B）f (x3 )B. x 2 f (x3 )11C. 3 f (x)D.f (x3 )3x1若 f (x)dx F (x) c ，则f ( x )dx （B）A. F ( x ) cB. 2F ( x ) cxC. F (2 x ) cD.1 F ( x ) c下列无穷限积分收敛的是（D） 1A. 1dxB. x0ex dx1 dx1xdx11x 2（二）填空题函数 f (x) 的不定积分是 f (x)dx 。若函数 F (x) 与G(x) 是同一函数的原函数，则 F (x) 与G(x) 之间有关系式 F (x) G(x) c(常数）。 d e x2dx e x2。 (tan x)dx tan x c