高等数学 反函数求导数的全解 对大一的新生完全有用

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv则山东农业大学 高等数学 主讲

2、人： 苏本堂此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂(2)vuvuvu )(证证: : 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxu推论推论: )() 1uC )()2wv

3、uuC wvuwvuwvu( C为常数 )0( ( )( ( )( ) ( )limhu xu v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解 例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2f 例2 yex (sin xcos x) 求y 2excos x 解 y(ex)(sin xcos x)e x (sin xcos x) e x(sin xcos x)e x(cos x sin x) (

4、uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求导法则xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 例4 ysec x 求y xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinsec x tan x 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续

5、性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11则山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为yarctan x是xtan y的反函数 所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11s

6、ec1)(tan1)(arctanxyyyx 类似地有 211)cotarc(xx 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为yarcsin x是xsin y的反函数 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 类似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf 反函数的求导法则:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂在点 x 可导, lim0 xx

7、uxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导.复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy则山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.山东农业大学 高

8、等数学 主讲人： 苏本堂 解 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 10 212sinxxy 求dxdy 例7 解 函数212sinxxy是由 ysin u 212xxu复合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例例8. 求下列导

9、数:(1) () ;(2) () .xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例 13ylncos(e x) 求dxdy 例9解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeeexexx1cos11sin2 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 14xey1sin 求dxdy 例10 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxd

10、yxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcot

11、csc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 导数的四则运算法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvu(vu2vvuvu( C为常数 )0( v4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.反函数求导法则 1( )fx1( )fy山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例11. 求解解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx

12、1y 所以1212x)2( x112xx例例12.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例13. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例14. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx

13、(111412x21xx1112x21xx(2121xx221x21x231)2(1xxx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例15. 若)(uf 存在 , 求(lncos )fx的导数.xfdd( lncos)fx(lncos ) x lncos( )uxf u这两个记号含义不同练习练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中( lncos)fx1(cos )cosxxtan(lncos )xfx解解: :)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂思考与练习思考与练习1. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby(2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或(xabyababxln山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂3. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xx