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文档简介
1、山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv则山东农业大学 高等数学 主讲
2、人: 苏本堂此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂(2)vuvuvu )(证证: : 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxu推论推论: )() 1uC )()2wv
3、uuC wvuwvuwvu( C为常数 )0( ( )( ( )( ) ( )limhu xu v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解 例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2f 例2 yex (sin xcos x) 求y 2excos x 解 y(ex)(sin xcos x)e x (sin xcos x) e x(sin xcos x)e x(cos x sin x) (
4、uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求导法则xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 例4 ysec x 求y xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinsec x tan x 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续
5、性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11则山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为yarctan x是xtan y的反函数 所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11s
6、ec1)(tan1)(arctanxyyyx 类似地有 211)cotarc(xx 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为yarcsin x是xsin y的反函数 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 类似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf 反函数的求导法则:山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂在点 x 可导, lim0 xx
7、uxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导.复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)((当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy则山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广:此法则可推广到多个中间变量的情形.山东农业大学 高
8、等数学 主讲人: 苏本堂 解 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 10 212sinxxy 求dxdy 例7 解 函数212sinxxy是由 ysin u 212xxu复合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例例8. 求下列导
9、数:(1) () ;(2) () .xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例 13ylncos(e x) 求dxdy 例9解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeeexexx1cos11sin2 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 14xey1sin 求dxdy 例10 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxd
10、yxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcot
11、csc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂2. 导数的四则运算法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvu(vu2vvuvu( C为常数 )0( v4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.反函数求导法则 1( )fx1( )fy山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例例11. 求解解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx
12、1y 所以1212x)2( x112xx例例12.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例例13. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例例14. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx
13、(111412x21xx1112x21xx(2121xx221x21x231)2(1xxx山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂例例15. 若)(uf 存在 , 求(lncos )fx的导数.xfdd( lncos)fx(lncos ) x lncos( )uxf u这两个记号含义不同练习练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中( lncos)fx1(cos )cosxxtan(lncos )xfx解解: :)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂思考与练习思考与练习1. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂2. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby(2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或(xabyababxln山东农业大学 高等数学 主讲人: 苏本堂3. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xx
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