--指数函数及其性质

1、2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质 某种细胞分裂时，由个分裂成个，个分某种细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个，裂成个，一个细胞分裂次，得到的细胞的，一个细胞分裂次，得到的细胞的个数与的函数关系式是：个数与的函数关系式是： . .2)xyxN(实例实例1 1 庄子庄子逍遥游逍遥游记载：一尺之椎，日取其记载：一尺之椎，日取其半，万世不竭半，万世不竭. .意思是一尺长的木棒，一天截取一意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长时间也截取不完半，很长时间也截取不完. .这样的一个木棒截取这样的一个木棒截取x x次，剩余长度次，剩余长度y y与与x x的关系是的关系是 . 12x

2、y （ ）实例实例2 2截取截取次数次数木棰木棰剩余剩余1次次2次次3次次4次次x次次尺21尺41尺81尺161尺x)21()()21(*Nxyx1.1.理解指数函数的概念理解指数函数的概念 ； （重点）重点）2.2.掌握指数函数的图象和性质掌握指数函数的图象和性质 ； （重点、难点）重点、难点）3.3.培养学生实际应用函数的能力；培养学生实际应用函数的能力； 形如形如y=2y=2x x， 的函数是指数函数的函数是指数函数. .那么，指那么，指数函数是怎样定义的呢？数函数是怎样定义的呢？12xy （ ） 一般地，函数一般地，函数_（a a，且，且aa）叫做指数函）叫做指数函数，其中数，其中x

3、x是自变量，函数的定义域是是自变量，函数的定义域是_._.探究点探究点1 1 指数函数的概念指数函数的概念y=ay=ax xR R思考思考1 1：在指数函数在指数函数y=ay=ax x中，为什么要规定中，为什么要规定a0,a0,且且a1a1呢？呢？提示：提示：若若a=0a=0，若若a a0 0，比如，比如y=(-4)y=(-4)x x，这时对于，这时对于x= (nNx= (nN* *) )在在实数范围内函数值无意义实数范围内函数值无意义. .若若a=1,y=1a=1,y=1x x=1=1是一个常量，因此对它就没有研究的必是一个常量，因此对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定要，为

4、了避免上述各种情况，所以规定a a0 0且且a1.a1.xxx 0a0 x 0a当 时，恒等于，当 时，无意义12n思考思考2 2：要确定函数要确定函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)的解析式，的解析式，关键需要确定哪个量？关键需要确定哪个量？提示：提示：要确定函数要确定函数y=ay=ax x(a0(a0，且，且a1)a1)的解析式，的解析式，关键需要确定底数关键需要确定底数a a的值的值. .21yx（ ）；23xy （ ）；34xy （ ）；(4)3;xy 21(5).xyx. .（2 2）例例1 1 下列函数中是指数函数的函数序号是下列函数中是指数函数的函数序号是注意三

5、点注意三点：（1 1）底数：大于）底数：大于0 0且不等于且不等于1 1的常数；的常数；（2 2）指数：自变量）指数：自变量x x；（3 3）幂系数为）幂系数为1.1.1xya 系数为系数为1 1底数为正数且不为底数为正数且不为1 1自变量仅有自变量仅有这一种形式这一种形式例例2 2 已知指数函数已知指数函数 f(x)=af(x)=ax x(a0,(a0,且且a a1)1) 的图象的图象经过点经过点(3,)(3,)，求，求f(0)f(0)，f(1)f(1)，f(-3)f(-3)的值的值. .解：解：指数函数的图象经过点指数函数的图象经过点(3,)(3,)，有，有f(3)=f(3)=，即即 a

6、a3 3= = 解得解得于是于是13a x3f x 所以所以101331(0)1,(1),( 3)fff用描点法作出下列两组函数的图象，用描点法作出下列两组函数的图象，然后写出其一些性质：然后写出其一些性质：. .如何来研究指数函数的性质呢？如何来研究指数函数的性质呢？12xy ()探究点探究点2 2 指数函数的图象指数函数的图象x x-2-2-1.5-1.5-1-1-0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2y=2x x0.250.250.350.350.50.50.710.711 11.411.412 22.832.834 42xy 011xy011xy12xy12（）

7、xy x x-2-2-1.5-1.5-1-1-0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 24 42.832.832 21.411.411 10.710.710.50.50.350.350.250.250.0370.110.3313927y=3-x279310.330.110.037y=3x3210-1-2-3x(2) (2) 与与 的图象的图象. . 列表：列表：3xy 1( )3xy 图象图象3xy011xy13xy关于关于y y轴对称轴对称3xy2xy 011xy12xy13xy关于关于y y轴对称轴对称011xy12xy13xy2xy 3xy 011xyxy0101xyy=a

8、x (0a1)xy01xya(01)a01xya(1)a xy 图象共同特征：图象共同特征：（1 1）图象可向左、右两方无限伸展）图象可向左、右两方无限伸展（3 3）都经过坐标为（）都经过坐标为（0 0，1 1）的点）的点（2 2）图象都在）图象都在x x轴上方轴上方图象自左至右逐渐上升图象自左至右逐渐上升图象自左至右逐渐下降图象自左至右逐渐下降（2 2）在R R上是减函数（1 1）过定点（0 0，1 1），即x=0 x=0时，y=1y=1 性质（0 0，+） 值域R R定义域图象a1a10a10a1探究点探究点3 3 指数函数的性质指数函数的性质（2 2）在R R上是增函数 01xya(1)

9、a xyxy01xya指数函数图象和性质的巧记指数函数图象和性质的巧记(1)(1)指数函数图象的巧记方法指数函数图象的巧记方法: :一定二近三单调一定二近三单调, ,两类单调正相反两类单调正相反. .(2)(2)指数函数性质的巧记方法指数函数性质的巧记方法: :非奇非偶是单调非奇非偶是单调, ,性质不同因为性质不同因为a,a,分清是分清是(0,1),(0,1),还是还是(1,+),(1,+),依依靠图象记性质靠图象记性质. .【提升总结提升总结】 2.530.10.20.33.11 1.7,1.7 ; 2 0.8, 0.8;3 1.7, 0.9.例例3.3.比较下列各题中两个值的大小比较下列各

10、题中两个值的大小解：解：(1)(1)根据函数根据函数y=1.7y=1.7x x的性质，的性质，1.71.72.52.51.71.73 3。(2)(2)根据函数根据函数y=0.8y=0.8x x的性质，的性质，0.80.8-0.1-0.10.81.71.70 0=1=1，根据函数根据函数y=0.9y=0.9x x的性质，的性质，0.90.93.13.10.90.90.93.13.1根据指数根据指数函数的性函数的性质质014（ ）3514（ ）230 19. 00 19.用用“”或或“”填空：填空：5643（ ）043（ ）745 06. 05 06.【变式练习变式练习】 2. 2. 函数函数 是

11、指数函数是指数函数, ,则则a a=_.=_.1.1.下列以下列以x x为自变量的函数中为自变量的函数中, ,是指数函数的是是指数函数的是( )( )2.( 4).2 4.(01)xxxxA yB yC yD yaaa 且2(31)xyaaaB B3 33.3.若函数若函数y=2y=2|1-x|1-x|+m+m的图象与的图象与x x轴有公共点，则轴有公共点，则m m的取的取值范围是值范围是( )( )A.m-1 B.-1mA.m-1 B.-1m0 0C.m1 C.m1 D.0D.0m1m1解析：解析：|1-x|0,2|1-x|0,2|1-x|1-x|1.1.y=2y=2|1-x|1-x|+m1

12、+m,+m1+m,要使函数要使函数y=2y=2|1-x|1-x|+m+m的图象与的图象与x x轴有公共点，轴有公共点，则则1+m01+m0即即m-1.m-1.A A解：解：, ,大于大于且且, ,大于小于大于小于且且结论：当结论：当a11时时, ,图象越靠近图象越靠近轴，底数越大轴，底数越大; ;当当00a11时时, ,图象越靠近图象越靠近轴，底数越小轴，底数越小. .4.4.如图, ,指数函数:A. :A. y= =ax x B. B.y= =bx x C. C.y= =cx x D. D. y= =dx x的图象, ,则a, ,b, ,c, ,d与1 1的大小关系是_._. xyBDCAO一般地，函