第十章数字信号的最佳接收

1、2022-6-261通信原理第第10章章 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收2022-6-262数字信号的最佳接收在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程中噪声的在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。本章要讨论的最佳存在是影响通信性能的两个主要因素。本章要讨论的最佳接收，就是研究在噪声干扰中如何有效地检测出信号。接收，就是研究在噪声干扰中如何有效地检测出信号。所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最佳标准也所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最佳标准也称最佳准则。因此，最佳接收是一个相对的概念，在某种称最佳准则。因此，最佳接收是一个相对的

2、概念，在某种准则下的最佳系统，在另外一个准则下就不一定是最佳的。准则下的最佳系统，在另外一个准则下就不一定是最佳的。在数字通信中，最常采用的最佳准则是在差错概率最小准在数字通信中，最常采用的最佳准则是在差错概率最小准则和输出信噪比最大准则。下面我们分别讨论在这两种准则和输出信噪比最大准则。下面我们分别讨论在这两种准则下的最佳接收问题。则下的最佳接收问题。2022-6-26310.1数字信号的统计特性假设：通信系统中的噪声是均值为假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为其单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为；并设发送的二进制码元为“0”和和“

3、1”，其发送概率分别为，其发送概率分别为P(0)和和P(1)，则有，则有P(0) + P(1) = 1若此通信系统的基带截止频率小于若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。设在一个码元持续时间设在一个码元持续时间Ts内以内以2fH的速率抽样，共得到的速率抽样，共得到k个抽样值：，则有个抽样值：，则有k 2fHTs。2022-6-264数字信号的统计特性由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故由于每个噪声电压

4、抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为其一维概率密度可以写为式中，式中， n 噪声的标准偏差；噪声的标准偏差； n2 噪声的方差，即噪声平均功率；噪声的方差，即噪声平均功率； i 1，2，k。设接收噪声电压设接收噪声电压n(t)的的k个抽样值的个抽样值的k维联合概率密度函维联合概率密度函数为数为 222exp21)(nininnf),(21kknnnf2022-6-265数字信号的统计特性高斯噪声通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯噪声通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之

5、间是互不相关、互相独立的。这样，此相关、互相独立的。这样，此k 维联合概率密度函数可以维联合概率密度函数可以表示为表示为当当k 很大时，在一个码元持续时间很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功内接收的噪声平均功率可以表示为：率可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(12022-6-266数字信号的统计特性利用上式关系，并注意到利用上式关系，并注意到 式中

6、式中 n0 噪声单边功率谱密度噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中式中: n = (n1, n2, , nk) k 维矢量，表示一个码元维矢量，表示一个码元内噪声的内噪声的k个抽样值。个抽样值。需要注意，需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。无关。n是是一个一个k维矢量，它可以看作是维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。维空间中的一个点。 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21

7、)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn nkiisHTsnTfdttnTs120221)(12022-6-267数字信号的统计特性在码元持续时间在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度、噪声单边功率谱密度n0和抽样数和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间仅决定于该码元期间内噪声的能量：内噪声的能量：由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。

8、而另一些则无错。sTdttn02)(sTkndttnnf020)(1exp21)(n2022-6-268数字信号的统计特性设接收电压设接收电压r(t)为信号电压为信号电压s(t)和噪声电压和噪声电压n(t)之和之和:r(t) = s(t) + n(t)则在发送码元确定之后，接收电压则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2，但是均，但是均值变为值变为s(t)。所以，当发送码元。所以，当发送码元“0”的信号波形为的信号波形为s0(t)时，时，接收电压接收电压r(t)的的k维联合概率密

9、度函数为维联合概率密度函数为式中式中: r = s + n k 维矢量，表示一个码元内接收电压的维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；个抽样值； s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。个抽样值。dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r似然函数似然函数2022-6-269数字信号的统计特性同理，当发送码元同理，当发送码元“1“的信号波形为的信号波形为s1(t)时，接收电压时，接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为以上三式中的以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间维联合概率密度函数不是时间t的函

10、数，并的函数，并且是一个标量，而且是一个标量，而r 仍是仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。维空间中的一个点，是一个矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r似然函数似然函数2022-6-261010.2 数字信号的最佳接收在数字通信系统中，最直观最合理的准则是在数字通信系统中，最直观最合理的准则是“最小差错概率最小差错概率”产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。判决规则判决规则 设在一个二进制通信系统中发送码元设

11、在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为的概率为P(1)，发送码元发送码元“0”的概率为的概率为P(0)，则总误码率，则总误码率Pe等于等于式中式中 Pe1 = P(0/1) 发送发送“1”时，收到时，收到“0”的条件概率；的条件概率； Pe0 = P(1/0) 发送发送“0”时，收到时，收到“1”的条件概率；的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。上面这两个条件概率称为错误转移概率。01)0() 1 (eeePPPPP2022-6-2611数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以

12、用一个以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元决，判定它是发送码元“0”，还是，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和和f1(r)的曲的曲线画在下图中（在图中把线画在下图中（在图中把r 当作当作1维矢量画出。）：维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域可以将此空间划分为两个区域A0和和A1，其边界是，其边界是r0 ，并将并将判决规则规定为：判决规则规定为： 若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区

13、域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)2022-6-2612数字信号最佳接收显然，区域显然，区域A0和区域和区域A1是两个是两个互不相容的区域。当这两个区互不相容的区域。当这两个区域的边界域的边界r0 确定后，错误概率确定后，错误概率也随之确定了。也随之确定了。这样，总误码率可以写为这样，总误码率可以写为式中，式中，P(A0/1)表示发送表示发送“1”时，矢量落在区域时，矢量落在区域A0的条件概的条件概率；率；P(A1/0)表示发送表示发送“0”时，时， 矢量落在区域矢量落在区域A1的条件概率；的

14、条件概率；这两个条件概率可以写为：这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r2022-6-2613数字信号最佳接收将上两式代入将上两式代入得到得到参考上图可知，上式可以写为参考上图可知，上式可以写为可以看出，系统总的误码率与先验概率、似然函数及划分可以看出，系统总的误码率与先验概率、似然函数及划分点点r0 有关，在先验概率和似然函数一定

15、的情况下，系统总有关，在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率的误码率Pe是划分点的函数。不同的是划分点的函数。不同的r0 将有不同的将有不同的Pe，我，我们希望选择一点划分点使误码率达到最小，这个划分点称们希望选择一点划分点使误码率达到最小，这个划分点称为最佳划分点。为最佳划分点。)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr r2022-6-2614数字信号最佳接收为了求出使为了求出使Pe最小的判决分界点最小的判决分界点r0 ，

16、将上式对，将上式对r0 求导求导 并令导函数等于并令导函数等于0，求出最佳分界点求出最佳分界点r0的条件：的条件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr r2022-6-2615数字信号最佳接收即即:当先验概率相等时，即当先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，时，f0(r0) = f1(r0)，所，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值

17、上。值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域落在区域A0应判为收应判为收到的是到的是“0”的判决准则，这时有：的判决准则，这时有：若若 则判为则判为“0” ；反之，若反之，若则判为则判为“1” 。0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)2022-6-2616数字信号最佳接收在发送在发送“0”和发送和发送“1”的先验概率相等时，上两

18、式的条件简的先验概率相等时，上两式的条件简化为：化为：这个判决准则常称为这个判决准则常称为最大似然准则最大似然准则。其物理概念是，接收到。其物理概念是，接收到的波形的波形y中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。理论上的误码率最小值。 若若f0(r) f1(r)，则判为，则判为“0” 若若f0(r) f1(r)，则判为，则判为“1” 111)() 1 ()()0() 1 ()()0(1)1 ()0/()0()1/(1)1 (10011

19、1AAAedfPfPPdfPdfPAPPAPPPr rr rr rr rr rr rr r2022-6-2617在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性的不同可在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性的不同可以分为两大类，一类是确知信号，另一类是随参信号。以分为两大类，一类是确知信号，另一类是随参信号。n确知信号，一个信号出现后，它的所有参数确知信号，一个信号出现后，它的所有参数(如幅度、如幅度、频率、相位、到达时刻等频率、相位、到达时刻等)都是确知的。如数字信号通都是确知的。如数字信号通过恒参信道达到接收机输入端的信号。过恒参信道达到接收机输入端的信号。n随参信号，根据信号中随机参量的不

20、同又可细分为随机随参信号，根据信号中随机参量的不同又可细分为随机相位信号、随机振幅信号和随机振幅随机相位信号相位信号、随机振幅信号和随机振幅随机相位信号(起起伏信号伏信号)。10.3 确知数字信号的最佳接收机2022-6-261810.3 确知数字信号的最佳接收机设达到接收机输入端的两个确知信号分别为设达到接收机输入端的两个确知信号分别为so(t)和和s1(t)，它，它们的持续时间为（们的持续时间为（0，Ts），且有相等的能量，即），且有相等的能量，即判决准则判决准则当发送码元为当发送码元为“0”，波形为，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为时，接收电压的概率密度为当发送码元为当发送码元为

21、“1”，波形为，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为时，接收电压的概率密度为dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r ssTTdttsEdttsEE02110200)()()0() 1 (10r rr rffPP判为判为“0”判为判为“1”)()()0() 1 (10r rr rffPP2022-6-2619确知数字信号的最佳接收机若若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；若；若 则判为发送码元是则判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到若将上两式的两端分别取对数，得到若则判为发

22、送码元是则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是；反之则判为发送码元是s1(t)。由于。由于已经假设两个码元的能量相同，即已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。所以上式还可以进一步简化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(2022-6-2620确知数字信号

23、的最佳接收机若若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是；反之，则判为发送码元是s1(t)。式中式中W0和和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。可以看作是由先验概率决定的加权因子。ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 2022-6-2621最佳接收机ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比较判决比较判决积分器积分器积分器积分器按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：这种最佳接

24、收机的结构是按比较观察波形这种最佳接收机的结构是按比较观察波形y(t)与与s0(t)和和s1(t)的相关性而构成的，称为相关接收机。其中相乘器与积分器的相关性而构成的，称为相关接收机。其中相乘器与积分器构成相关器。构成相关器。2022-6-2622r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器积分器积分器比较判决比较判决t = Ts最佳接收机若此二进制信号的先验概率相等，则上式若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成最佳接收机的原理方框图也可以简化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)(

25、)()()(2022-6-2623最佳接收机由上述讨论不难推出由上述讨论不难推出M进制通信系统的最佳接收机结构进制通信系统的最佳接收机结构 上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。所以常称这种算法为相关接收法。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 积分器积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比比较较判判决决积分器积分器积分器积分器2022-6-262410.4 确知数字信号最佳接收机的误码率若上述条件成立，则判为发送码元是若上述条件

26、成立，则判为发送码元是s0(t)；在发送码元是；在发送码元是s1(t)时，将发生错误判决，将时，将发生错误判决，将r (t) = s1(t) +n (t)代入代入ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1ln ssTTdttstsPPndttststn00201001)()(21) 1 (0ln2)()(a a只要求出随机变量只要求出随机变量的概率密度函数，即可计算出上述的的概率密度函数，即可计算出上述的值。高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量。所以值。高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量。所以是一个高斯随机变量。是一个高斯随机变量

27、。P（）2022-6-2625系统总的误码率系统总的误码率10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率axdxeaPP222211/0bxdxebPP222210/1 sTdttstsPPna020102110ln2 sTdttstsnD0201022 bxaxedxePdxePP222222210211 sTdttstsPPnb021002101ln22022-6-2626在在0和和1等概的条件下等概的条件下10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率dxePcxe22221式中式中Tdttstsc0210)()(21上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误上式表明，当先验概率相等时，对于

28、给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别码率仅和两种信号码元波形的差别s0(t)-s1(t)的能量有的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，关，而与波形本身无关。差别越大，c值越小，误码率值越小，误码率Pe也也越小。先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时越小。先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码而言，先验概率相等是最坏的情况。的误码率。就误码而言，先验概率相等是最坏的情况。2022-6-2627在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别，我们用码元的相关系数区别，我们用码元的相关系数 来定量描述

29、码元区别：来定量描述码元区别：10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsTTTT式中式中TdttsE0200)(TdttsE0211)(当当s0(t) = s1(t)时，时， 1，为最大值；，为最大值；当当s0(t) = -s1(t)时，时， -1，为最小值。，为最小值。2022-6-2628当当E E0 0 = E = E1 1 = E = Eb b时，有时，有10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率bTEdttsts010)()()1 ()()(210210bTEdttstsc及及代入代入dxeP

30、cxe22221dxedxePbExcxe)1(2222222121得出得出化简后，得化简后，得002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe2022-6-2629上式是一个非常重要的上式是一个非常重要的理论公式理论公式，它给出了理论上二进制等，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。由上式可以看出：由上式可以看出：n误码率和噪声功率无直接关系，和噪声功率谱密度误码率和噪声功率无直接关系，和噪声功率谱密度n n0 0有关有关n误码率和信号波形无直接关系，和误码率和信号波形无直接关系，和E Eb b及相关系数及相关系

31、数 有关；有关；n由互补误差函数的性质，为了得到最小的误码率由互补误差函数的性质，为了得到最小的误码率P Pe e，就要，就要使使E Eb b(1- (1- )/2n)/2n0 0最大化，当信号能量最大化，当信号能量E Eb b和噪声功率谱密度和噪声功率谱密度n n0 0一定时，误码率一定时，误码率P Pe e就是互相关系数就是互相关系数 的函数。的函数。n互相关系数互相关系数 愈小，误码率也愈小。愈小，误码率也愈小。 的取值范围为的取值范围为 -1 -1 1 110.4 确知数字信号最佳接收机的误码率002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe2022-6-2630当当

32、= 1= 1时时，误码率最大。这时的误码率，误码率最大。这时的误码率P Pe e = 1 / 2 = 1 / 2。当当 = -1= -1时，误码率最小。这时时，误码率最小。这时10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率0021121nEerfcnEerfPbbe2PSK当当 = 0= 0时时，为正交信号，这时，为正交信号，这时002212121nEerfcnEerfPbbe2FSK当当E E0 0 = 0 = 0，E E1 1 = E = Eb b时时Tdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe2ASK2022-6-263110.4 确知数字信号最佳接收机的误码率2

33、ASK2ASK信号的性能比信号的性能比2FSK2FSK信号差信号差3dB3dB，而，而2FSK2FSK信号又比信号又比2PSK2PSK信信号差号差3dB3dB。nssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (实际相当于实际相当于接收信号噪接收信号噪声功率比声功率比在第五章数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道，在第五章数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道，双极性信号的误码率低于单极性信号，其原因之一就是双双极性信号的误码率低于单极性信号，其原因之一就是双极性信号之间的互相关系数极性信号之间的互相关系数 =-1=-1，而单极性信号之间的互，而单极性信号之间的互相关系数相关系数 =0

34、=0。2022-6-263210.5 随相数字信号的最佳接收假设：假设：n 2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；n通信系统中存在带限白色高斯噪声；通信系统中存在带限白色高斯噪声；n接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。因此，可以将此信号表示为：因此，可以将此信号表示为：及将此信号随机相位的概率密度表示为：及将此信号随机相位的概率密度表示为：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他处, 020,2/1)(00f其他处, 020,2/1)(11f2022-6-2633随相数字信

35、号的最佳接收判决条件：由于已假设码元能量相等，故有判决条件：由于已假设码元能量相等，故有在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，按照下式条件作判决：按照下式条件作判决：若接收矢量若接收矢量r使使f1(r) f0(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“0”，若接收矢量若接收矢量r使使f0(r) f1(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“1”。现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的f0(r)和和f1(r)分别可以表示为：分别可以表示为：上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，就可以得出最终

36、上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，就可以得出最终的判决条件的判决条件.ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r2022-6-2634随相数字信号的最佳接收最终的判决条件：最终的判决条件： 若接收矢量若接收矢量r 使使M12 M02，则判为发送码元是，则判为发送码元是“0”， 若接收矢量若接收矢量r 使使M02 M12，则判为发送码元是，则判为发送码元是“1”。其中：其中：按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于下按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于下图中。

37、图中。 ,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(2022-6-2635随相信号最佳接收机最佳接收机的结构最佳接收机的结构相关器相关器平平 方方cos 0t相相 加加相关器相关器平平 方方sin 0t相关器相关器平平 方方cos 1t相相 加加相关器相关器平平 方方sin 1t比比 较较r(t)Y0X1Y1X02022-6-2636起伏信号：包络随机起伏、相位随机变化的信号起伏信号：包络随机起伏、相位随机变化的信号设：信号设：信号 2FSK2FSK调制、等能量、等先验概率、

38、调制、等能量、等先验概率、 相位的概率密度服从均匀分布；相位的概率密度服从均匀分布；噪声噪声 带限高斯白噪声带限高斯白噪声信号表达式信号表达式10.6 起伏数字信号的最佳接收)cos(),()cos(),(111111000000tAVtstAVtsA0和和A1服从同一瑞利分布服从同一瑞利分布2 , 1, 0,2exp)(222iAAAAfisisii 0和和 1的概率密度服从均匀分布：的概率密度服从均匀分布：2 , 1,20,2/ 1)(ifii222siAE均方值均方值2022-6-2637判决规则：同前判决规则：同前 若接收矢量若接收矢量r r使使f f1 1(r) f(r) f(r)

39、f0 0(r)(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“1”1”。10.6 起伏数字信号的最佳接收现在现在 20000000000),/()()()(ddVVffVffrr r 20111111011),/()()()(ddVVffVffrr r误码率计算结果误码率计算结果)/(210nEPe式中，式中，E为接收码元的统计平均能量为接收码元的统计平均能量2022-6-2638衰落对衰落对2FSK2FSK信号误码率的影响：信号误码率的影响：由图可见，由图可见， 当误码率等于当误码率等于1010-2-2时，衰落使性能下降约时，衰落使性能下降约10dB10dB；当误码率等于当误码率等于1010-3-3

40、时，下降约时，下降约20dB20dB。即，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。即，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。10.6 起伏数字信号的最佳接收2022-6-2639相干相干2ASK信号信号非相干非相干2ASK信号信号相干相干2FSK信号信号非相干非相干2FSK信号信号相干相干2PSK信号信号差分相干差分相干2DPSK信号信号同步检测同步检测2DPSK信号信号10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21

41、nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb实际接收机的实际接收机的Pe最佳接收机的最佳接收机的Pe2022-6-2640两种结构形式的接收机误码率表示式具有相同的数学形式，两种结构形式的接收机误码率表示式具有相同的数学形式，实际接收机的信噪比实际接收机的信噪比 r=S/N与最佳接收机中的能量噪声与最佳接收机中的能量噪声功率谱密度之比功率谱密度之比Eb/n0相对应。我们来分析相对应。我们来分析r与与Eb/n0之间之间的关系。的关系。我们知道，实际接收机输入端总是有一个带通滤波器，其我们知道，实际接收机输入端总是有一个带通滤波器，

42、其作用主要有两个：一是使输入信号顺利通过；二是使噪声作用主要有两个：一是使输入信号顺利通过；二是使噪声尽可能少的通过，以减少噪声对信号检测的影响。信噪比尽可能少的通过，以减少噪声对信号检测的影响。信噪比r=S/N是指带通滤波器输出端的信噪比。是指带通滤波器输出端的信噪比。设噪声为高斯白噪声，单边功率谱密度为设噪声为高斯白噪声，单边功率谱密度为n0，带通滤波器，带通滤波器的等效矩形带宽为的等效矩形带宽为B，则带通滤波器输出端的信噪比为，则带通滤波器输出端的信噪比为10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较BnSNSr0r与带通滤波器与带通滤波器带宽带宽B有关有关2022-6-2641对于最佳接收

43、系统，接收机前端没有带通滤波器，其输入对于最佳接收系统，接收机前端没有带通滤波器，其输入端信号能量与噪声功率谱密度之比为端信号能量与噪声功率谱密度之比为 S为信号平均功率，为信号平均功率，T为码元时间宽度。为码元时间宽度。对系统性能的比较最终可归结为对实际接收机带通滤波器对系统性能的比较最终可归结为对实际接收机带通滤波器带宽带宽B与码元时间宽度与码元时间宽度T的比较。的比较。1/T是基带数字信号的重复频率，对于是基带数字信号的重复频率，对于2PSK等数字调制信等数字调制信号，号， 1/T的宽度等于的宽度等于2PSK信号频谱主瓣宽度的一半。若信号频谱主瓣宽度的一半。若选择带通滤波器的带宽选择带通

44、滤波器的带宽B1/T，则必然会使信号产生严重，则必然会使信号产生严重的失真。这表明，为使信号顺利通过，带通滤波器的带宽的失真。这表明，为使信号顺利通过，带通滤波器的带宽必须满足必须满足B 1/T。在此情况下，实际接收机性能比最佳。在此情况下，实际接收机性能比最佳接收机差。接收机差。10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较TnSnSTnEb/10002022-6-264210.8 数字信号的匹配滤波接收法在数字通信系统中，滤波器是重要部件之一，作用有两个在数字通信系统中，滤波器是重要部件之一，作用有两个方面，第一使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二抑方面，第一使滤波器输出有用信号成分尽可能强

45、；第二抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。噪声对信号判决的影响。通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：n一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；滤波器；n另一种使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，另一种使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。由此而导出的最佳线性滤

46、波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。2022-6-264310.8 数字信号的匹配滤波接收法抽样判决器输出数据正确与否，只取决于抽样时刻信号抽样判决器输出数据正确与否，只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。信噪比越的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小。当选择滤波器传输特性使大，错误判决的概率就越小。当选择滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，就为输出信噪比最大的最佳输出信噪比达到最大值时，就为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。线性滤波器。假设条件：假设条件：n接收滤波器

47、的传输函数为接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为，冲激响应为h(t)，滤，滤波器输入码元波器输入码元s(t)的持续时间为的持续时间为Ts，信号和噪声之和，信号和噪声之和r(t)为为式中，式中，s(t) 信号码元，信号码元， n(t) 高斯白噪声；高斯白噪声；n并设信号码元并设信号码元s(t)的频谱密度函数为的频谱密度函数为S(f)，噪声，噪声n(t)的双边功率谱密度为的双边功率谱密度为Pn(f) = n0/2，n0为噪声单边功为噪声单边功率谱密度。率谱密度。sTttntstr0),()()(2022-6-2644输出电压假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波假定滤波器是线性的，

48、根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压出电压y(t)中也包含相应的输出信号中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声和输出噪声no(t)两部分，即两部分，即式中式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(2022-6-2645输出功率输出噪声功率输出噪声功率由由这时的输出噪声功率这时的输出噪声功率No等于等于输出信噪比输出信噪比在抽样时刻在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为)()()()()(*)(2fPfHfPf

49、HfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0在输入信号给定的情况下，输出信噪比只与传输函数有关在输入信号给定的情况下，输出信噪比只与传输函数有关2022-6-2646匹配滤波器的传输特性利用施瓦兹不等式求利用施瓦兹不等式求 r0的最大值的最大值若若其中其中k为任意常数，则上式的等号成立。为任意常数，则上式的等号成立。将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令则有则有式中式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf0

50、221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdffSE2)(帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理2022-6-2647匹配滤波器而且当而且当时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式表明，上式表明，H(f)就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外），故称它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外），故称此滤波器为匹配滤波器。此滤波器为匹配滤波器。 02)(*)(ftjefkSfH2022-6-

51、2648匹配滤波器的冲激响应函数匹配滤波器的冲激响应函数：匹配滤波器的冲激响应函数： 由上式可见，匹配滤波器的由上式可见，匹配滤波器的冲激响应冲激响应h(t)就是信号就是信号s(t)的镜的镜像像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了，但在时间轴上（向右）平移了t0，t0为输出最大信为输出最大信噪比的时刻。噪比的时刻。)()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj2022-6-2649000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)

52、(c)匹配滤波器的冲激响应函数图解图解 2022-6-2650实际的匹配滤波器一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有：响应出现，即必须有：即要求满足条件即要求满足条件或满足条件或满足条件上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽在抽样时刻样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，

53、即选才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = Ts。故匹。故匹配滤波器的冲激响应可以写为配滤波器的冲激响应可以写为0, 0)(tth当0, 0)(0ttts当0, 0)(ttts当)()(tTksths2022-6-2651匹配滤波器输出这时，若匹配滤波器的输入电压为这时，若匹配滤波器的输入电压为s(t)，则输出信号码元的，则输出信号码元的波形为：波形为：上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的形的自相关函数的k倍。倍。k是一个任意常数，它与是一个任意常数，它与r0的最大值的最大值无关；通常取无关；通常取k

54、1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts2022-6-2652匹配滤波器例【例例10.1】设接收信号码元设接收信号码元s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如下图所示。上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如下图所示。其频谱为其频谱为由由令令k = 1，可得其匹配滤波器的传输函数为，可得其匹配滤波器的传输函数为由由令令k = 1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为tTttss其他, 00, 1)(

55、sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()()(0ttksthssTttTsth0),()(2022-6-2653匹配滤波器例此冲激响应示于下图。此冲激响应示于下图。表面上看来，表面上看来，h(t)的形状和信号的形状和信号s(t)的形状一样。实际上，的形状一样。实际上，h(t)的形状是的形状是s(t)的波形以的波形以t = Ts / 2为轴线反转而来。由于为轴线反转而来。由于s(t)的波形对称于的波形对称于t = Ts / 2，所以反转后，波形不变。，所以反转后，波形不变。由式由式可以求出此匹

56、配滤波器的可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如下：输出信号波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)2022-6-2654匹配滤波器例由其传输函数由其传输函数可以画出此匹配滤波器的方框图如下：可以画出此匹配滤波器的方框图如下：因为上式中的因为上式中的(1/j2 f)是理想积分器的传输函数，而是理想积分器的传输函数，而 exp(-j2 fTs)是延迟时间为是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。的延迟电路的传输函数。 ssfTjfTjeefjfH22121)(延迟延迟Ts理想理想积分器积分器2022-6-2655【例例10.2】设接收信号码元

57、设接收信号码元s(t)的表达式为的表达式为匹配滤波器例tTttftss其他, 00,2cos)(0试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出波形。试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出波形。【解解】s(t)的频谱密度为的频谱密度为)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftj故匹配滤波器的传输函数为故匹配滤波器的传输函数为)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftj2022-6-2656此匹配滤波器的冲激响应

58、：此匹配滤波器的冲激响应： 为了便于画出简图，令为了便于画出简图，令 式中，式中，n为正整数，上式可化简为为正整数，上式可化简为 匹配滤波器的输出波形可以由如下卷积得到匹配滤波器的输出波形可以由如下卷积得到匹配滤波器例sssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(0dthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0由于由于s(t)和和h(t)在区间在区间(0, T)外都等于零，故上式中的外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算积分可以分为如下几段进行计算2022-6-2657计算结果如下：计算结果如下：匹配滤波器例tT

59、tTtftTTttfttsssso其他,02,2cos220,2cos2)(00(a) (a) 信号波形信号波形(b) (b) 冲激响应冲激响应2022-6-2658用匹配滤波器构成的接收电路方框图用匹配滤波器构成的接收电路方框图10.8 数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波器匹配滤波器1 1匹配滤波器匹配滤波器2 2抽样抽样判决判决抽样抽样t = Tt = T输入输入输出输出上面的讨论中对于信号波形从未涉及，也就是说最大输出上面的讨论中对于信号波形从未涉及，也就是说最大输出信噪比与信号波形无关，只决定于信号能量信噪比与信号波形无关，只决定于信号能量E E与噪声功率谱与噪声功率谱密度密度n n0

60、0之比，所以这种匹配滤波法对于任何一种数字信号之比，所以这种匹配滤波法对于任何一种数字信号波形都适用，不论是数字基带信号还是已调信号。波形都适用，不论是数字基带信号还是已调信号。2022-6-2659现在证明匹配滤波器得到的最大输出信噪比就等于最佳接现在证明匹配滤波器得到的最大输出信噪比就等于最佳接收时理论上能达到的最高输出信噪比：收时理论上能达到的最高输出信噪比：匹配滤波器输出电压波形匹配滤波器输出电压波形y(t)可以写成可以写成 在抽样时刻在抽样时刻Ts，输出电压等于，输出电压等于 可以看出，式中的积分是相关运算，即将输入可以看出，式中的积分是相关运算，即将输入r(t)与与s(t)作相关运