函数的连续性67679PPT学习教案

1、会计学1函数的连续性函数的连续性676791. 变量的改变量变量的改变量 设变量设变量 t 从初值从初值t0改变到终值改变到终值t1,则称终值与初值之差则称终值与初值之差 t1 - - t0为变量为变量 t 的的改变量改变量(也称为也称为增量增量),记为记为D Dt= t1 - - t0 D Dt是个完整的记号，不是是个完整的记号，不是D D与与t的乘积的乘积. 改变量可以是正的改变量可以是正的,也可以是负的也可以是负的,也可以为零也可以为零.注注x0+Dxx0 xoyD DxD Dyy=f (x)图图1D DxD Dyx0+D Dxx0 xoyy=g(x)图图2第1页/共29页，函数的相应改

2、变量函数的相应改变量时时处的改变量处的改变量自变量在自变量在如果如果0,00D DD Dyxx2. 连续函数的概念连续函数的概念定义定义2.12,)(0的某邻域内有定义的某邻域内有定义在在设函数设函数xxfy 0)()(limlim0000 - -D D D DD DD Dxfxxfyxx即有即有)(xf则称函数则称函数处连续处连续在点在点0 x的的为为并称并称)(,0 xfx连续点连续点包括包括x0点点 定义定义2.13)()(lim,)(000 xfxfxxfyxx 如果如果的某邻域内有定义的某邻域内有定义在在设函数设函数)(xf则称函数则称函数处连续处连续在点在点0 x的的为为并称并称)

3、(,0 xfx连续点连续点增量式定义增量式定义极限式定义极限式定义第2页/共29页 根据定义根据定义2.13可知可知,如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续,那么必须同时满足三个条件那么必须同时满足三个条件:注注1)()(lim00 xfxfxx 有定义；有定义；在点在点0)(1)xxf存在；存在；)(lim(2)0 xfxx).()(lim(3)00 xfxfxx xfxxfxx0lim,0则有则有处连续处连续在在若若)(0 xf注注2换顺序换顺序符号与函数符号可以交符号与函数符号可以交即对于连续函数，极限即对于连续函数，极限)lim(0 xfxx 第3页/共29页左连续与右连

4、续左连续与右连续关系关系处单侧极限与函数值的处单侧极限与函数值的仅考虑仅考虑0 x处处在点在点，则称，则称如果如果00)()()(lim0 xxfxfxfxx - -;左左连连续续处处在点在点，则称，则称如果如果00)()()(lim0 xxfxfxfxx .右连续右连续 由定义由定义2.13及左右极限与极限的关系及左右极限与极限的关系,可以得到这可以得到这样一个结论样一个结论:处连续处连续在点在点函数函数0)(xxf又右连续又右连续处既左连续处既左连续在在函数函数0)(xxf)()(lim00 xfxfxx )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx - -第4页/共29页则在则在

5、0处连续了吗？处连续了吗？ .10. 1,4, 10,1, 0,cos22122处的连续性处的连续性和和在在讨论函数讨论函数 - - - - xxxxxxxxxxf例例处）处）在在、 01解解 - - - 00limlimxxxf - -2cos22xx, 1 .0,0lim0处连续处连续在在故故从而从而 xxffxfx , 1lim0 xfx , 10 f又又 00limlimxxxf 21x , 1 第5页/共29页 .10. 1,4, 10,1, 0,cos22122处的连续性处的连续性和和在在讨论函数讨论函数 - - - - xxxxxxxxxxf例例处）处）在在、 01解解 - -

6、- 00limlimxxxf - -2cos22xx1 .0处连续处连续在在故故 xxf ,0处即左连续又右连续处即左连续又右连续在在即即 xf ,0f 00limlimxxxf 21x 1 ,0f 第6页/共29页处）处）在在、 12 , 21limlim211 - - -xxfxx ,lim1不存在不存在xfx .1处不连续处不连续在在故故 xxf .10. 1,4, 10,1, 0,cos22122处的连续性处的连续性和和在在讨论函数讨论函数 - - - - xxxxxxxxxxf例例 , 34limlim11 - - xxfxx第7页/共29页区间上的连续函数区间上的连续函数定义定义2

7、.14 ),()(,1baCxfbaxf内连续内连续在开区间在开区间称称） .,内每一点连续内每一点连续在在baxf ,)(,2baCxfbaxf上连续上连续在闭区间在闭区间称称） 且且内连续内连续在在,baxf., 处左连续处左连续处右连续处右连续在在ba第8页/共29页3.函数的间断点函数的间断点v间断点的定义间断点的定义 显然显然,如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处有下列三种情形之处有下列三种情形之一一,则则f(x)在点在点x0间断间断:处没有有定义；处没有有定义；在点在点函数函数0)(1)xxf不存在；不存在；但但处有定义处有定义在在虽然虽然)(lim,)(2)00 xfxxf

8、xx).()(lim,)(lim,)(3)0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存在且且处有定义处有定义在在虽然虽然,)(0处不满足连续的条件处不满足连续的条件在点在点如果函数如果函数xxfy 处处则称函数在点则称函数在点0 x间断间断称为函数的称为函数的点点0,x间断点间断点)(或或不连续点不连续点第9页/共29页.0,0该函数的间断点该函数的间断点是是所以所以处没有定义处没有定义在在 xxxxy1sin2 函数函数例例第10页/共29页0y=x+1xy,0,00,1)(3 xxxxfy设函数设函数例例),0()(lim, 0)0(, 1)1(lim00fxffxxx 而而是该函数的

9、间断点是该函数的间断点)(lim0 xfx因为因为0 x所以所以第11页/共29页x 0函数函数f(x)的间断点的间断点. - - 0, 10, 00, 1)(4xxxxxxf设函数设函数例例 - -)(lim0 xfx1)1(lim0- - - - -xx )(lim0 xfx1)1(lim0 xx)(lim)(lim00 xfxfxx - - ,)(lim0不存在不存在xfx第12页/共29页是函数的间断点，是函数的间断点，处没有定义，所以点处没有定义，所以点在在22 xxxytan5 正切函数正切函数例例第13页/共29页4. 连续函数的四则运算连续函数的四则运算;,00处连续处连续也在

10、也在则则处连续处连续均在均在若函数若函数xgfgfxgf .,000处连续处连续也在也在时时且当且当xgfxg .,续续函数均在其定义域内连函数均在其定义域内连多项式函数，有理分式多项式函数，有理分式从而从而 基本初等函数在其基本初等函数在其定义域定义域内处处连续内处处连续, ,初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间（含在定义域内的最大区间（含在定义域内的最大区间) )内处处连续，其内处处连续，其中区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性中区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性. .注注第14页/共29页 因为因为f(x)在在(,2), (2, +)内可分段地表示为初等函数，所以内可分段地表示

11、为初等函数，所以f(x)在在(,2) (2, +)内连续内连续. 解解 f(x)的定义域为的定义域为(,+)，在其定义域内的连续性在其定义域内的连续性讨论函数讨论函数 - - - -2,sin2,1)(621xxxexfx 例例, 1)2(,2 fx处处在在1)1(lim)(lim2122 - - - - - -xxxexf且且1sinlim)(lim22 xxfxx ,2)(,处连续处连续在在可见可见 xxf),()(- Cxf故故第15页/共29页习习复复第二个重要极限第二个重要极限exxx )11(lim exxx )(10)()(1lim 型型 1 bvvauu limlimlim函数

12、在某一点连续函数在某一点连续0)()(limlim0000 - -D D D DD DD Dxfxxfyxx)()(lim00 xfxfxx 增量式定义增量式定义极限式定义极限式定义)(0连续连续在点在点xxf第16页/共29页函数的间断点函数的间断点 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处有下列三种情形之一处有下列三种情形之一,则则f(x)在点在点x0间断间断:处没有定义；处没有定义；在点在点函数函数0)(1)xxf不存在；不存在；但但处有定义处有定义在在虽然虽然)(lim,)(2)00 xfxxfxx).()(lim,)(lim,)(3)0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存

13、在且且处有定义处有定义在在虽然虽然第17页/共29页 基本初等函数在其基本初等函数在其定义域定义域内处处连续内处处连续, ,初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间（含在定义域内的最大区间（含在定义域内的最大区间) )内处处连续，其内处处连续，其中区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性中区间端点处的连续性是指相应的单侧连续性. . 在讨论分段函数的连续性时在讨论分段函数的连续性时, 可利用初等函数的连续可利用初等函数的连续性性, 分段说明函数在各个分段子区间上分段说明函数在各个分段子区间上（不包括分段点）（不包括分段点）的连续性的连续性.分段点处的连续性，一定要按连续性的定义进分段点处的连续性

14、，一定要按连续性的定义进行讨论行讨论第18页/共29页v利用连续性求极限举例利用连续性求极限举例xxx)1ln(lim70 求求例例0,)1ln( xxxxxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 解解)1(limln10 xxx )1(limln10 xxx 1ln e第19页/共29页：常用的等价无穷小量有常用的等价无穷小量有xex1- -xx )1ln( xx arctanxx tanxx sinxx arcsinaxaxln1- -xx 1)1(- - 练习练习1sintanlim)2(3sin0- - -xxexx)1ln(1lim)1(20 xxxx 221cos1xx-

15、-0 x)!(xx 均可换为无穷小量均可换为无穷小量其中其中第20页/共29页xxxx10)21(lim8 求求例例)22(210102)21(lim)21(lim xxxxxxxx解解 12)22(lim21020)21(limexxxxx xxx- -1121)(lim9 求求例例xxxxxxxx- - - - - - - 111120112122)11(lim)(lim解解211lim1121212)11(lim- - - - - - - exxxxxx 1第21页/共29页xxx2cot20)(seclim10求求例例xxx2cot20)(seclim解解xxx2cot20)tan1(

16、lim exxx 2tan120)tan1(lim 1第22页/共29页 小值小值上必能取得最大值和最上必能取得最大值和最在在则则若若baxfbaCxfy, 5. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理2.15 (最值定最值定理理).,)(, ,)(上有界上有界在在则则设设baxfbaCxf 定理定理2.14第23页/共29页内有解”内有解”“闭区间连续则开区间“闭区间连续则开区间该定理可概括为该定理可概括为定理定理2.16 (介值定理介值定理)b12amMc 在此区间在此区间并记并记设设xfbaCxf, ,McmmM ，则对任意，则对任意和和上的最大最小值分别为上的最大最小值分

17、别为 使得使得内必至少存在一点内必至少存在一点在在, ba cf 注注零值定理零值定理bamM第24页/共29页推论推论 (零值定理零值定理)()(,)(bfafbaCxfy和和且且设函数设函数 使得使得则至少存在一点则至少存在一点即即异号异号),(),0)()(babfaf 0)( f注注1注注2 即即个方法个方法内有根的一内有根的一在在程程零值定理提供了判定方零值定理提供了判定方,0baxf baCfbfaf, 0 且且在端点处有在端点处有.,否则结论未必成立否则结论未必成立“连续于闭区间”“连续于闭区间”要求要求介值定理及零值定理均介值定理及零值定理均第25页/共29页 .2 , 112

18、115内至少有一个实根内至少有一个实根在在证明方程证明方程 - -xx例例确定闭区间确定闭区间构造标准函数构造标准函数,10证证 2 , 1, 125 - - - xxxxf令令逐条验证条件逐条验证条件02 ,2 , 11Cxf 显然初等函数显然初等函数）则则 , 021,272, 212 - - ffff故故）并还原为原命题并还原为原命题准确写出结论准确写出结论,30 , 0,2 , 1, f使得使得内至少一根内至少一根在在从而从而, 0)()(,)( bfafbaCxfy且且设函数设函数使得使得则至少存在一点则至少存在一点),(ba 0)( f(零值定理零值定理) .2 , 1125内至少有一个实根内至少有一个实根在在即方程即方程 - -xx第26页/共29页.)()(),(),()(),()(,)()(12至少有一个交点至少有一个交点和和内内则在则在且且上连续上连续在在和和设设xgxfbabgbfagafbaxgxf 例例),()()(xgxfxh- - 设设证证，且，且则则,)(baCxh 0)()()(, 0)()()( - - - - bgbfbhagafah0)()()(,),(