第4章 连续系统按环节离散化的数字仿真

1、第四章 连续系统按典型环节离散化的数字仿真4.1 连续系统的离散化（离散相似法）4.2 典型环节的离散系数及其差分方程4.3 非线性系统的数字仿真方法4.4 连续系统按环节离散化的数字仿真程序4.1 连续系统的离散化（离散相似法）离散相似法： 在连续系统中加入虚拟的采样开关和保持器，利用控制理论中的采样和信号重构技术建立离散模型 设连续系统输入为u(t)，输出为y(t) 离散相似法离散化后的模型 G(s) u(t) y(t) Gh(s)u(t)Tu(k)y(k)T G(s) u(t) y(t)连续系统的离散化（复数域离散相似法）)(*)()(sGsGhZzG等效脉冲传函由脉冲传递函数G(z),

2、可以写出差分方程，根据差分方程可编写程序仿真连续系统的离散化（时域离散相似法）)()()()()()()()()()() 1()()()()()()()()() 1(0)(00)(01100)(11采用一阶保持器或采用零阶保持器离散模型为：采用离散相似法，得到设连续系统数学模型为TtTATTtTATATTTtTAATBdtteBdttTtGBdteBdttTGHAsILeGkDUkCXkYkUkUHkXGkXBdteBdttTGHAsILeGkDUkCXkYkUHkXGkXDUCXYBUAXX连续系统数字仿真程序连续系统数字仿真程序 P79 例例31的动态响应求输出量根据四阶龙格库塔法所示，设

3、单变量系统框图如图)(ty设仿真时间为5，虚拟采样周期为0.02离散相似法离散化模型%离散相似法离散化模型 面向方程的仿真程序r=20.4;num0=1.875e6 1.562e6; den0=1 54 204.2 213.8 63.5;numh=0.002; denh=1;num,den=feedback(num0,den0,numh,denh);A,b,C,D=tf2ss(num,den);sysc=ss(A,b,C,D);TS=0.02;sysd=c2d(sysc,TS,zoh);Ad,bd,Cd,Dd=ssdata(sysd);Tf=5;x=zeros(length(A),1); y=

4、0; t=0;for i=1:Tf/TS x=Ad*x+bd*r; yk=Cd*x+Dd*r; y=y;yk; t=t;t(i)+TS;endplot(t,y)for i=1:Tf/h K1=A*x+b*r; K2=A*(x+h*K1/2)+b*r; K3=A*(x+h*K2/2)+b*r; K4=A*(x+h*K3)+b*r; x=x+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; y=y;C*x; t=t;t(i)+h;end数值积分法：对已知初值的微分方程求数值解计算公式的右端由两部分组成。一部分是上一步计算的结果yk，后一部分是步长h乘上各点斜率f的加权平均值（如RK-4）。每计算一步，

5、各点斜率都要计算一次，计算量大离散相似法：通过加入虚拟的采样开关和保持器，将系统的数学模型离散化，采样周期T选定，离散化模型可以根据公式一次性确定。非常适用于线性定常系统的离散化数值积分法与离散相似法的对比在下面的意义下，两者是统一的对于数值积分法，需要选择计算步长和积分算法对于离散相似法，需要选定采样周期T和保持器选择采样周期，相当于选择计算步长选择保持器，相当于选择积分算法数值积分法与离散相似法的对比离散相似模型的精度分析根据离散相似法的思想，离散化时引入了虚拟的采样开关和保持器，因而采样周期T和保持器的特性直接影响离散化模型的精度一、采样周期T根据香农采样定理，若连续信号的最高频率为ma

6、x,则采样频率s必须大于或等于2 max，即经验公式有maxmax22TTscT)5010(24010srtTtT或或保持器的影响零阶保持器可无失真地重构阶跃信号一阶保持器可无失真地重构斜坡信号但与理想保持器特性有差别加入保持器，会使原系统产生幅值衰减和相位滞后，使离散模型的稳定性变差，以及计算误差增大。离散相似模型的精度分析 4.2 典型环节的离散系数及其差分方程按典型环节离散化（采用离散相似法）：将系统分成若干个典型环节，在每个典型环节的入口处加虚拟的采样开关和保持器形成采样系统，当采样周期足够小时，这个采样系统等价于原来的连续系统典型环节：利用离散相似法离散化 （设采用滞后一拍的三角形保

7、持器）sbasdcsusxsGiiiiiii)()()(用离散相似法将典型环节离散化后的模型)1()()1()1()1()()()1(kuQkuLkzHkxkuGkuFkzEkz其中系数 E、F、G、H、L、Q的取值： a0,b=0 a=0,b0 a0,b0E 0 1 exp(-(a/b)T)F 0 cT/(2b) (d/b-c/a)(1-E)*b/(aT)-1)G 0 F (d/b-c/a)(1+(E-1)(1+b/(aT)H 0 1 1L (c+d/T)/a d/b d/b Q -d/(aT) 0 04.3 非线性系统的数字仿真方法四种非线性环节特性及MATLAB表示，假定线性部分斜率为1

8、1、饱和非线性环节S- Suxfunction x=saturation(u,s) if (abs(u)=s) if (u0) x=s ; else x=-s ; end else x=u ; end2、死区非线性环节S- Suxfunction x=deadzone(u,s) if (abs(u)=s) if (u0) x=u-s ; else x=u+s ; end else x=0 ; end3滞环非线性环节function x,u1=backlash(u1,u,x1,s) if (uu1) if (u-s)=x1) x=u-s ; else x=x1; end elseif (uu1)

9、 if (u+s)0) x=s ; else x=-s ; end S- Sux04.4 连续系统按环节离散化的数字仿真程序将系统划分成若干个典型环节如果系统中有非线性环节，不作一个独立的环节处理，而是作为某个典型环节的输入和输出典型环节采用离散相似法进行离散化当有非线性环节时，典型环节参数矩阵典型环节参数矩阵PnnnnnsFZndcbasFZdcbasFZdcbaP222222111111n 为典型环节的个数FZ 为非线性环节标志，S为非线性环节的参数sbasdcsusxsGiiiiiii)()()(典型环节：表42 非线性环节标志 （P96）标志 说明FZ=0 典型环节前后均无非线性环节F

10、Z=1 典型环节前有饱和非线性环节，修正输入UFZ=2 典型环节前有死区非线性环节，修正输入UFZ=3 典型环节前有滞环非线性环节，修正输入UFZ=4 典型环节前有继电器非线性环节，修正输入UFZ=5 典型环节后有饱和非线性环节，修正输出XFZ=6 典型环节后有死区非线性环节，修正输出XFZ=7 典型环节后有滞环非线性环节，修正输出XFZ=8 典型环节后有继电器非线性环节，修正输出X 给定外部参考输入 给出各环节参数矩阵P，连接矩阵W, W0, WC 给出仿真总时间，采样周期T（或计算步长） 求离散模型的参数 E, F, G, H, L, Q 求各典型环节的输入U判断各环节入口有无非线性环节

11、调用非线性函数来修正典型环节的输入U 计算各典型环节的输出X判断各环节出口有无非线性环节 调用非线性函数来修正典型环节的输出X 仿真时间到？输出结果NNN 给定外部参考输入 给出各环节参数矩阵P，连接矩阵W, W0, WC 给出仿真总时间，采样周期T（或计算步长） 求离散模型的参数 E, F, G, H, L, Q 求各典型环节的输入U 计算各典型环节的输出X 仿真时间到？输出结果N 1 sS+0.5S+0.1 2 S+2 10 s+10R_已知线性系统结构图如图所示，求输出量的动态响应给出输入信号给出输入信号R=10;给出典型环节的参数矩阵给出典型环节的参数矩阵PP=0.1 1 0.5 1

12、; 0 1 1 0 ; 2 1 2 0 ; 10 1 10 0 ;给出连接矩阵给出连接矩阵W ，W0， WcW=0 0 0 -1 ; 1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0;W0=1 ; 0 ; 0 ; 0 ;Wc=0 0 0 1;给出仿真总时间和采样周期给出仿真总时间和采样周期Tf=10;T=0.025;求典型环节的离散化模型的系数求典型环节的离散化模型的系数A=P(:,1); B=P(:,2); C=P(:,3); D=P(:,4);n=length(A); n为典型环节的个数for i=1:n if(A(i)=0) if(B(i)=0) E(i)=0;F(i)=0;G(i

13、)=0;H(i)=0; L(i)=(C(i)+D(i)/T)/A(i); Q(i)=-D(i)/(A(i)*T); else E(i)=exp(-A(i)*T/B(i); F(i)=(D(i)/B(i)-C(i)/A(i)*(1-E(i)*B(i)/(A(i)*T)-1); G(i)=(D(i)/B(i)-C(i)/A(i)*(1+(E(i)-1)*(1+B(i)/(A(i)*T); H(i)=1; L(i)=D(i)/B(i); Q(i)=0; end else if(B(i)=0) E(i)=1;F(i)=0.5*C(i)*T/B(i);G(i)=F(i); H(i)=1;L(i)=D(i

14、)/B(i); Q(i)=0; else disp(A(i)=B(i)=0); end end 与第一个if对应end 与for对应%设置各变量的初值设置各变量的初值x=zeros(length(A),1); x0=x; z=x;u=zeros(length(A),1); u0=u;y=zeros(length(Wc(:,1),1); t=0;%根据仿真模型求解根据仿真模型求解for j=1 : Tf/T u1=u; u=W*x+W0*R; 求各典型环节输入 for i=1 : n z(i)=E(i)*z(i)+F(i)*u(i)+G(i)*u1(i); x(i)=H(i)*z(i)+L(i)

15、*u(i)+Q(i)*u1(i); 求各环节输出 end y=y;Wc*x; t=t;t(j)+T;endplot(t,y)r=10_ 1 sS+0.5S+0.1 2 S+2 10 s+10已知非线性系统结构图如图所示，求输出量的动态响应P98 例41 给定外部参考输入 给出各环节参数矩阵P，连接矩阵W, W0, WC 给出仿真总时间，采样周期T（或计算步长） 求离散模型的参数 E, F, G, H, L, Q 求各典型环节的输入U判断各环节入口有无非线性环节 调用非线性函数来修正典型环节的输入U 计算各典型环节的输出X判断各环节出口有无非线性环节 调用非线性函数来修正典型环节的输出X 仿真时

16、间到？输出结果NNN给出输入信号给出输入信号R=10;给出典型环节的参数矩阵给出典型环节的参数矩阵PP=0.1 1 0.5 1 3 1 ; 0 1 1 0 0 0 ; 2 1 2 0 0 0 ; 10 1 10 0 0 0 ;给出连接矩阵给出连接矩阵W ，W0， WcW=0 0 0 -1 ; 1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0;W0=1 ; 0 ; 0 ; 0 ;Wc=0 0 0 1;给出仿真总时间和采样周期给出仿真总时间和采样周期Tf=10;T=0.025;求典型环节的离散化模型的系数求典型环节的离散化模型的系数A=P(:,1); B=P(:,2); C=P(:,3);

17、D=P(:,4);FZ=P(:,5); S=P(:,6);n=length(A); n为典型环节的个数for i=1:n if(A(i)=0) if(B(i)=0) E(i)=0;F(i)=0;G(i)=0;H(i)=0; L(i)=(C(i)+D(i)/T)/A(i); Q(i)=-D(i)/(A(i)*T); else E(i)=exp(-A(i)*T/B(i); F(i)=(D(i)/B(i)-C(i)/A(i)*(1-E(i)*B(i)/(A(i)*T)-1); G(i)=(D(i)/B(i)-C(i)/A(i)*(1+(E(i)-1)*(1+B(i)/(A(i)*T); H(i)=1

18、; L(i)=D(i)/B(i); Q(i)=0; end else if(B(i)=0) E(i)=1;F(i)=0.5*C(i)*T/B(i);G(i)=F(i); H(i)=1;L(i)=D(i)/B(i); Q(i)=0; else disp(A(i)=B(i)=0); end end 与第一个if对应end 与for对应%设置各变量的初值设置各变量的初值x=zeros(length(A),1); x0=x; z=x;u=zeros(length(A),1); u0=u;y=zeros(length(Wc(:,1),1); t=0;%根据仿真模型求解根据仿真模型求解for j=1:Tf/T u1=u; u=W*x+W0*R; 求典型环节输