第三章应力分析应变分析屈服准则复习

1、金属塑性成形原理 复习应力应变分析一、应力张量不变量及其应用二阶张量的定义二阶张量的定义: =1,2,3;=1 ,2 ,3krij ki rjPPl li, j k,r 1112233JPPP二阶张量主不变量：二阶张量主不变量：知识要点回顾知识要点回顾2223333111122323313112122PPPPPPJPPPPPP 1112133212223313233PPPJPPPPPP111213212223313233PPPPPPPPP一、应力张量不变量及其应用应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。利用应力张量的三个主不变量，可以判别

2、应力状态的异同。利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。10000000ijab2022022000ijabababab 试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？例例 题题一、应力张量不变量及其应用1J 0a ba b 2J 00000000ababba 3J 00000000ab对于对于1ij同理，对于同理，对于2ij1022ababJab2000222000222abababJabababab 30220022000ababababJ结论结论两个应力张量表示同一应力状态。例例 题题 解解 答答一、应力张量不变量及其应用应力张量不变量问题小结应力张量不变量问题小结 1、由应力

3、张量的三个主不变量可确定应力张量状态特、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由此定义了应力的状态。此定义了应力的状态。2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应的三个主不变量是否相同来实现。的三个主不变量是否相同来实现。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准形的问题相同。1、主应力

4、、主应力3221230JJJ应力状态特征方程应力状态特征方程（1）000 xyxzxxyyzyxzyzzlmnlmnlmn 齐次线性应力平衡方程组齐次线性应力平衡方程组（2）2221lmn方向余弦条件方向余弦条件（3）2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。111213212223313233PPPPPPPPP112233000000PPP二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾2、最大切应力、最大切应力1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值最大的切

5、应力为最大切应力，记为 。maxmaxmaxmin122取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为最大切应力计算公式最大切应力计算公式222 22222222123123lmnlmn2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。22 22222222123123lmnlmn？二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面体平面，八面体平面上的应力称为八面应力

6、。3、八面体应力、八面体应力Q1231arccos54 4432）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究一个应力状态有重要作用。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算八面体平面的方向余弦八面体平面的方向余弦13lmn 812313m113J22 22222222123123lmnlmn222212312311113333 3、八面体应力、八面体应力Q1231arccos54 44322212233113 223J 知识要点回顾知识要点回顾1122222812312333 = SllSmSSSmlmnnSn 81m222222m1223313m00100600JJ二、几种

7、重要应力的计算二、几种重要应力的计算知识要点回顾知识要点回顾3、等效应力、等效应力2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参数。1）取八面体切应力绝对值的 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应力或应力强度，用 表示。32832等效应力定义式等效应力定义式23232J23J二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算505050 (Mpa)505ij对于对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为例例 题题画出该点的应力单元体；画出该点的应力单元体；试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；试用应力状态特征方程求出该点的主应力及

8、主方向；求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算例例 题题 解解 答答画出该点的应力单元体画出该点的应力单元体Oxyz5-55-5-5505050 (Mpa)505ij二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例例 题题 解解 答答计算应力张量的三个主不变量1J 2J 3J xyz5555 xxyyyzzzxyxyzyzxzx50505550050555 xxyxzyxyyzzxzyz5050500505应力状态特征方

9、程321230JJJ3255000(10)(5)0 12310 0 5 MPa 二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例例 题题 解解 答答000 xyxzxxyyzyxzyzzlmnlmnlmn 齐次线性应力齐次线性应力平衡方程组平衡方程组2221lmn方向余弦条件方向余弦条件代入数据22250500500 150501lmnlmnlmnlmn （ ）1 :对于11111; 0; 22lmn 将各主应力代入方程组（将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向）可得对应的主方向2225 1005005 10

10、00505 1001lmnlmnlmnlmn 1的主方向解之二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算2 :对于22211; 0; 22lmn3 :对于3330; 1; 0lmn用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向最大切应力最大切应力maxmaxmin12110( 5)7.5 MPa2 八面体应力八面体应力812313110051.67 MPa322212233113 85143 二、几种重要应力的计算二、几种重要应力的计算等效应力等效应力832313505 7 MPa32几种重要应力计算问题小几种重要应力计算问题小 结结 要求掌握一点处的主应

11、力及主方向、最大切应力、八要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力的计算方法。面体应力、等效应力的计算方法。三、应变连续方程问题知识要点回顾知识要点回顾小应变几何方程1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz六个应变分量取决六个应变分量取决于三个位移分量？于三个位移分量？这六个分量这六个分量之间应该存之间应该存在某种联系！在某种联系！三、应变连续方程问题知识要点回顾知识要点回顾小应变几何方程1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz2222222222 (1) (2)xyuuyyxx y

12、yvvxxyx yx 222222yxuvyxx yyx yx (1)式加(2)式2uvx yyx 22xyx y 2222212xyyxx yyx 三、应变连续方程问题2222212xyyxx yyx 22222222221212yzyzzxxzy zzyz xxz 在每个坐标平面内，两个线应变在每个坐标平面内，两个线应变一经确定，则切应变分量随之被确定一经确定，则切应变分量随之被确定！切应变到线应变切应变到线应变？知识要点回顾知识要点回顾三、应变连续方程问题222xyyzxzxyxyyzzxyzxyzxzy zxyzxz xyzxyx yxxyz 在三维空间内三个切应变分量一经在三维空间内

13、三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就被确定确定，则线应变分量也就被确定！知识要点回顾知识要点回顾三、应变连续方程问题设设22;2;xyxya xyaxybxy试问上述应变场在什么情况下成立？试问上述应变场在什么情况下成立？其中其中a、b为常数，为常数，例例 题题例例 题题 解解 答答222221 (1)2xyyxx yyx 2xyx y 2(2)2bxybx y 222212yxyx22222212a xyaxyayx 2ab 2ab 即当时，上述应变场存在。应变分析问题小应变分析问题小 结结 1、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效

14、应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相似，此处不再重复。似，此处不再重复。2、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。应力应变分析问题小结1、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断应力、应变状态的异同；应力、应变状态的异同；2、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八

15、面体应力、等效应力的计算方法的计算方法;掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计算方法。算方法。3、掌握应变连续方程。、掌握应变连续方程。 第四节 屈服准则Part 4. Yield CriterionP105-P116本节主要内容Contents基本概念 Concepts屈雷斯加屈服准则 Tresca yield criterion米塞斯屈服准则 Mises yield criterion屈服准则的几何描述 Geometrical representation of yield criterion屈服准则的实验验证与比较 Tes

16、ts & comparison of yield criterions应变硬化材料的屈服准则 Yield criterions of strain hardening material掌握标准掌握标准 要求熟练掌要求熟练掌握并能应用握并能应用 要求熟练掌握要求熟练掌握 要求了解要求了解一、屈服准则的基本概念1. Concept of yield criterion1.1 材料的屈服与屈服准则1.1 Yield and yield criterion of material材料的屈服材料的屈服材料在外力的作用下由弹性状态进入塑性状态，称为材料在外力的作用下由弹性状态进入塑性状态，称为材料的屈服材

17、料的屈服。屈服准则屈服准则在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服屈服准则准则，又称为，又称为塑性条件塑性条件。ijf= C屈服函数屈服函数ijfC弹性状态 ijfC塑性状态 ijfC实际变形中不存在 1.2 有关屈服函数的讨论1.2 Discussion on yield function?1.3 关于材料性质的基本概念1.3 Concept on material propertiesOYOYOYOYOYb b 理想弹塑性理想弹塑性a a 实际金属材料

18、实际金属材料d d 弹塑性硬化弹塑性硬化c c 理想刚塑性理想刚塑性e e 刚塑性硬化刚塑性硬化PYF0lnll真实应力真实应力真实应变真实应变有物理屈服点有物理屈服点无明显物理屈服点无明显物理屈服点s1 1、实际金属材料在比例极限以下、实际金属材料在比例极限以下2 2、金属在慢速热变形时、金属在慢速热变形时3 3、金属在冷变形时、金属在冷变形时4 4、金属在冷变形屈服平台部分、金属在冷变形屈服平台部分1.4 实际对材料模型的处理1.4 Actual material model 理想弹性材料理想弹性材料理想塑性材料理想塑性材料弹塑性硬化材料弹塑性硬化材料理想塑性理想塑性二、Tresca屈服准

19、则2. Tresca yield criterion屈雷斯加屈服准则2.1 屈雷斯加屈服准则的内容(1864)2.1 Definition of Tresca yield criterion 当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。又称为最大切应力不变条件。maxminmax2C材料单向拉伸时的应力材料单向拉伸时的应力 Stress of uniaxial stretchmaxmins213smax22Kmaxmins2K屈雷斯加屈服准则的数学表达式屈雷斯加屈服准则的数学表达式Mathematical representation of Tresca yield criterion2.

20、2 单向拉伸时的Tresca屈服准则2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test1s230C maxminmax2122331smax,2K如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为2.3 任意应力状态下的Tresca准则xxyxzyxyyzzxzyz123, 132K222xyxy屈雷斯加屈服准则可写成屈雷斯加屈服准则可写成222244xyxysK2.4 平面变形状态的Tresca准则D2xy12(,)xxy (,)yyx222xyxyKmax或者或者三、 Mises屈服准则3. Mises yield criterion米塞斯/米席

21、斯屈服准则3.1 Mises屈服准则的内容(1913) 3.1 Contents of Mises yield criterion 在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，该点就应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，该点就进入塑性状态。进入塑性状态。2J = C2J 222222166xyyzzxxyyzzx= Cmmmmmmxxyyyzzzxyxxzyzxzx1s单向拉伸单向拉伸 230C 3.2 几种应力状态下的Mises屈服准则3.2 Mises yield criterion of several str

22、ess states2210006ss213s纯切应力状态纯切应力状态 C 2166K2KmaxxyyxKMisesMises屈服准则下单向拉伸屈服强度与剪切屈服强度的关系屈服准则下单向拉伸屈服强度与剪切屈服强度的关系213s2K3sKMises屈服准则的等效形式s= 3.3 Mises屈服准则与等效应力3.3 Mises yield criterion and equivalent stresss23J2213sJ = C1 1、相同点、相同点 1) 1) 屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。 2) 2)

23、 三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的。三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的。 3) 3) 各表达式都和应力球张量无关。各表达式都和应力球张量无关。2 2、不同点、不同点 屈雷斯加屈服准则屈雷斯加屈服准则未考虑未考虑中间应力中间应力使用不方便使用不方便米塞斯屈服准则米塞斯屈服准则考虑考虑中间应力中间应力使用方便使用方便3.4 Tresca、Mises屈服准则的比较3.4 Comparison of Tresca & Mises Yield Criterion例题p2rtz zp一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r ，壁厚为t，受内压力p的作用，试求

24、此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ）s解：先求各应力分量解：先求各应力分量z22p rrt02prt22p rt0prtp0（在内表面）（在内表面）（在外表面）（在外表面）例题外表面的屈服条件外表面的屈服条件1322zprtprt01 1）由）由MisesMises屈服准则屈服准则23J232sprt2m1m3m3m2m1m0003000s23stpr例题2 2）由）由TrescaTresca屈服准则屈服准则13s0sprtstpr两种屈服准则所算出气压的大小比较？两种屈服准则所算出气压的大小比较？屈服准则的几何描述Geometrical representation

25、of yield criterion屈服表面与屈服轨迹Yield surface and yield locus主应力坐标系下应力对等倾线的分解1 2 3 oN1cos, 3iilON 123,OP PMOM 123,OPl ll123111,333 12313 m3 在等倾线上分解出了在等倾线上分解出了静水应力静水应力矢量矢量等倾线定义等倾线定义任意应力矢量任意应力矢量OM111,333OMmmm,在等倾线上的分量在等倾线上的分量应力对等倾线垂面的分解Stress decomposed to orthogonal plane of isocline1 2 3 oNPMPM 22OPOM222

26、212312313 22212233113 23 在等倾线垂面上分解出在等倾线垂面上分解出等效应力等效应力、应力偏量应力偏量MPOPOM1m2m3m, 由等倾线垂面内应力分量表示的屈服条件Yield conditions represented in the stress component on the orthogonal plane of isocline1 2 3 oNPMMises屈服准则与屈服准则与PM长度的关系长度的关系23PM s 32PM s23PM 123,P s23OPOM P点屈服点屈服以以OM 为轴心、以为轴心、以为半径的空间曲面为半径的空间曲面s23 Mises屈服

27、表面屈服表面M圆圆Tresca屈服表面内接于屈服表面内接于Mises屈服表面的正六棱柱。屈服表面的正六棱柱。屈服表面的几何意义Geometrical meaning of yield surface 若主应力空间中一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，若主应力空间中一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，则该点处于塑性状态；若在屈服表面内部，则处于弹性状则该点处于塑性状态；若在屈服表面内部，则处于弹性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服表面之外。表面之外。两向应力状态下的屈服方程The yield equation at bidire

28、ctional stress state12s23s31s 22212233113PM s23 30 2221122s 30 12s2s1s 椭椭 圆圆内接于椭圆的六边形内接于椭圆的六边形Mises屈服表面屈服表面Tresca屈服表面屈服表面两向应力状态下的屈服轨迹Yield locus at bidirectional stress stateTresca屈服表面Mises屈服表面2310ABCDEFGHIJKI1C1NL两向应力状态下的屈服轨迹 Yield locus at bidirectional stress state2s 12s1s 12s 1s 2sBDHJACEGIKFLP2

29、 1 s23 s2 s12 2 1 重合点与差别最大点重合点与差别最大点1230 OM 平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹321231312132213123123123op纯剪切线 平面上的屈服轨迹Yield locus onplane 在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON ON 的平面称为的平面称为 平面。平面。 平面平面 平面上应力状态的特点平面上应力状态的特点m0 1231231()03lmn屈服轨迹的几何意义Geometrical meaning of yield locus 若两向主应力平面中一点应力状态矢量的端点位于屈服若两向主应

30、力平面中一点应力状态矢量的端点位于屈服轨迹内部，则该点处于弹性状态；若在屈服轨迹上，则处轨迹内部，则该点处于弹性状态；若在屈服轨迹上，则处于塑性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不于塑性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服轨迹之外。能在屈服轨迹之外。两种屈服准则 的实验验证与比较Test on yield criterions罗德(Lode)屈服准则实验1926 Lodes test on yield criterions薄壁圆管拉伸膨胀罗德(Lode)参数Lode parameter13s1 Tresca准则准则Mises准则准则 2222122331s2 21313

31、2 Lode参数参数132s23 罗德(Lode)实验(1926) Lode test钢钢铜铜镍镍1.301.251.201.151.101.051.0012-1.0-0.6-0.20.200.60.40.81.0-0.8-0.4 Lode实验资料实验资料(1926)1米塞斯准则米塞斯准则 2屈雷斯加准则屈雷斯加准则泰勒-奎乃屈服准则实验1931 Taylor-Quinney yield criterion test薄壁圆管拉伸扭转Drawing and torsion of thin wall tube泰勒(Taylor)与奎乃(Quinney)实验(1931)PPMMzzxzxz(,)zzx (,)xxz o123221222324024zzxzzzxz Tresca准则准则Mises准则准则22ss41zxz 22ss31zxz Taylor -Quinney实验结果钢铜铝0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021 Taylor及及Quinney实验资料实验资料(1931) 1-Mises准则准则 2-Tresca准则准则sz 22ss41zxz 22ss31zxz 关于屈服准则的一般结论General conclusions13s223 1)1)多数金属符合