杨辉三角与二项式定理实用教案

1、会计学1杨辉三角与二项式定理杨辉三角与二项式定理(dngl)第一页，共19页。复习(fx)二项式定理(dngl)(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式(xngsh)的第k+1项为Tk+1=Cnkan-kbk第1页/共19页第二页，共19页。计算(j sun)(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性第2页/共19页第三页，共19页。(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1）请看系数有没有明显(

2、mngxin)的规律？2）上下两行有什么(shn me)关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面(xi mian)的系数吗?第3页/共19页第四页，共19页。每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除1以外(ywi)的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+第4页/共19页第五页，共19页。九章算术九章算术(ji zhn sun sh)杨辉杨辉(yn hu)第5页/共19页第六页，共19页。详解九章算法详解九章算法(sun f)中记载的表中记载的表第6页/共19页第七页，共1

3、9页。 展开式的二项式系数依次是：展开式的二项式系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右图中的时，其图象是右图中的7个孤立点个孤立点6n第7页/共19页第八页，共19页。对称性对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数(xsh)相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象图象(t xin)的对称轴：的对称轴：2nr 第8页/共19页第九页，共19页。增减增减(zn jin

4、)(zn jin)性与最大值性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于(yuy)(yuy)：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1第9页/共19页第十页，共19页。由由：2111nkkkn 二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间(zhngjin)(zhngjin)项取得最大值。项取得最大值。 21nk 可知，当可知，当 时，时，增减增减(zn jin)(zn jin)性与最大值性与最大值 第10页/

5、共19页第十一页，共19页。 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减增减(zn jin)(zn jin)性与最大值性与最大值 第11页/共19页第十二页，共19页。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还

6、可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合这是组合(zh)(zh)总数公式总数公式 第12页/共19页第十三页，共19页。例 证明在(a+b)n展开式中，奇数(j sh)项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC第13页/共19页第十四页，共19页。C练习(linx)第14页/共19页第十五页，共19页。.306014443418418145xxxCTT变式变式:若将若将“只有只有(zhyu)第第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？求第五项项系数最大的展开式中只有第已知,10143nxx为偶数依题意 n,18,1012nn且解第15页/共19页第十六页，共19页。642075317217722107)21 (.aaaaaaaaaaaxaxaxaax则已知-2-10941093练习(linx)第16页/共19页第十七页，共19页。(1)二项式系数二项式系数(xsh)的三个性质的三个性质 (2) 数学思想数学思想(sxing)：函数思想：函数思想(sxing) a 单调