自动控制原理与应用根轨迹法PPT课件

1、4.1 4.1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 控制系统的根轨迹分析法控制系统的根轨迹分析法本章小结本章小结思考题与习题思考题与习题第第4 4章章 根轨迹法根轨迹法第1页/共34页4.1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程 4.1.1 4.1.1 根轨迹根轨迹 当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在 S S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S S 平面上平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根根的位置随参数变化的规律

2、及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。轨迹分析法的主要内容。三大分析校正方法之一三大分析校正方法之一系统开环传递函数的某一参数从系统开环传递函数的某一参数从00变化时，闭环变化时，闭环特征根在特征根在s s平面上移动的轨迹，称为根轨迹。一般取平面上移动的轨迹，称为根轨迹。一般取开环增益开环增益K K为可变参数。为可变参数。特点特点：（：（1 1）图解方法，直观、形象。）图解方法，直观、形象。 （2 2）适用于研究当系统中某一参数变化时，）适用于研究当系统中某一参数变化时， 系统性能的变化趋势。系统性能的变化趋势。 （3 3）近似方法，不十分精确。）近似方法，不十分精确。第2页/共34页

3、122( )(2)(2)0,2KkG ss ss spp 两个开环极点R(s)C(s)(0.51)Kss2( )( )( )(0.51)0.5C sKKs =R sssssK则闭环特征方程0.5s2+s+K=0的特征根为 Ks2112, 1当当K K =0 =0时，时，s s1=01=0，s s2=-22=-2当当K K=0.5=0.5时，时，s s1=-11=-1，s s2=-12=-1当当K K =1 =1时，时，s s1=-1+j1=-1+j，s s2=-1-j2=-1-j当当K K时，时，s s1=-1+j1=-1+j，s s2=-1-j2=-1-j第3页/共34页 将以上计算结果标注

4、在将以上计算结果标注在s s平面上，并用平滑曲线将其连接起来，平面上，并用平滑曲线将其连接起来，便得到便得到K K从从00变化时闭环特征根变化时闭环特征根s s1,21,2在在s s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。如图所示粗实线，即为该系统的根轨迹。箭头表示如图所示粗实线，即为该系统的根轨迹。箭头表示K K值增加时，根轨迹值增加时，根轨迹的变化趋势。的变化趋势。(1) (1) 开环增益开环增益K K从从00变化时，根轨迹均在变化时，根轨迹均在s s平平面左侧，故闭环系统对所有面左侧，故闭环系统对所有K K大于零的值都是大于零的值都是稳定的。稳定的。 (2) 0(2) 0K K0.50.50

5、.5，系统呈欠阻尼状态，阶跃响应具有振荡衰减特系统呈欠阻尼状态，阶跃响应具有振荡衰减特性。性。K K=1=1，系统处于最佳阻尼状态。，系统处于最佳阻尼状态。(3) (3) K K越大，共轭复根离实轴越远。越大，共轭复根离实轴越远。根轨迹图直观反映了参数根轨迹图直观反映了参数K K与特征根的分布与特征根的分布关系，由此可得如下分析结果。关系，由此可得如下分析结果。-1-20K=0j-1-2-1-2SKK-K=0第4页/共34页.2根轨迹方程根轨迹方程描述闭环特征根随参数描述闭环特征根随参数K K变化的轨迹其关系的闭环特征方程变化的轨迹其关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。就是根轨迹

6、方程。开环传递函数分子、分母多项式方程根的因式可表示为开环传递函数分子、分母多项式方程根的因式可表示为*11()( )( )()imjjniKszG s H ssp(mn) 称为开环传递函数的零、极点表达式。式中称为开环传递函数的零、极点表达式。式中z zj j是分子多是分子多项式的根，又称开环零点项式的根，又称开环零点( (在在s s平面内用平面内用“”表示表示) )；p pi i是分母多项式的根，又称开环极点是分母多项式的根，又称开环极点( (在在s s平面内用平面内用“”表示表示) )； K K* *称做根轨迹增益称做根轨迹增益( (系统开环传递函数中将分子、系统开环传递函数中将分子、分

7、母分母s s多项式最高阶阶系数换算为多项式最高阶阶系数换算为1 1后的总传递系数后的总传递系数) )，与开环增益与开环增益K K成正比。成正比。 第5页/共34页由系统的闭环特征方程由系统的闭环特征方程1+1+G G( (s s) )H H( (s s) =0 ) =0 可得可得G G( (s s) )H H( (s s) =-1 ) =-1 则则: :*11()= 1()mjjniiKszsp根轨迹上的点都满足该方程，根轨迹上的点都满足该方程，被称为根轨迹方程。被称为根轨迹方程。也可用幅值、相角的形式表示，称为模方程和相方程。也可用幅值、相角的形式表示，称为模方程和相方程。*11()|( )

8、( )|=1()imjjniKszG s H ssp11()()(21)imnjjiszspK式中：式中：K K=0=0、1 1、2 2、 从这两个方程可以看出，模方程和增益从这两个方程可以看出，模方程和增益K K* *有关，而相方有关，而相方程和增益程和增益K K* *无关。所以无关。所以s s平面上的某个点只要满足相方程，平面上的某个点只要满足相方程，则该点必在根轨迹上。因此，相方程是决定则该点必在根轨迹上。因此，相方程是决定s s平面上一点是平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件。否在根轨迹上的充分必要条件。第6页/共34页4.2 4.2 绘制根轨迹基本法则绘制根轨迹基本法则|( )(

9、)| 1( )( )1803600,1,2,G s H sG s H sii 幅值条件相角条件根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式求解，只需根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式求解，只需寻找所有满足相角方程的寻找所有满足相角方程的s s ，便可得到闭环特征方程，便可得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对式根的轨迹。同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对应的应的K K* *值。值。根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较方便地近根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。似绘制出根轨迹曲线。根轨迹绘制的基本法则必须满足两个条件：系统为负根轨迹绘制的基本法则

10、必须满足两个条件：系统为负反馈系统；反馈系统；开环增益开环增益K K从从00变化时系统的根轨迹变化时系统的根轨迹( (其其他参数变化，经适当变换才可用基本法则他参数变化，经适当变换才可用基本法则) )。第7页/共34页绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则.3根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点.2根轨迹的对称性根轨迹的对称性.4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹.5根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线.7根轨迹的分离点根轨迹的分离点d d .6根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角.9根

11、轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点.10闭环特征方程根之和闭环特征方程根之和4.2.1 4.2.1 根轨迹的个数根轨迹的个数.8根轨迹的分离角与会合角根轨迹的分离角与会合角 第8页/共34页4.2.1 4.2.1 根轨迹的个数根轨迹的个数( (支路支路数数) )法则一法则一: :n n阶系统有阶系统有n n条根轨迹条根轨迹 n n阶系统的特征方程有阶系统的特征方程有n n个特征根，当开环增个特征根，当开环增益益K K从从00变化时，变化时，n n个特征根随着变化，在个特征根随着变化，在s s平平面上出现面上出现n n条根轨迹。条根轨迹。 即即: :根轨迹的条数

12、等于特征方程的阶次，即等根轨迹的条数等于特征方程的阶次，即等于闭环极点数，亦等于开环极点数。于闭环极点数，亦等于开环极点数。.2根轨迹的对称性根轨迹的对称性法则二法则二: :根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴闭环极点若为实数，则位于闭环极点若为实数，则位于s s平平面实轴上；若为复数则共轭出面实轴上；若为复数则共轭出现，现，所以所以s s平面上的根轨迹必然平面上的根轨迹必然对称于实轴对称于实轴j0s1s2s3s4s5s6第9页/共34页.3根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点1. 起点起点根轨迹方程：根轨迹方程： 则则K=0s=pi 根轨迹起始于开环传递函数根轨迹

13、起始于开环传递函数的极点的极点 即即Krs(s+2)G(s)=例：例：j0-2 p1 p2=K1-j=1m(s-zj)i =1n(s-pi)=j =1m(s-zj)i =1n(s-pi)=0j =1n(s-pi)法则三法则三: :根轨迹的起于开环极点，终于开环零点及无穷根轨迹的起于开环极点，终于开环零点及无穷远远( (其中其中m条终于开环零点，条终于开环零点，n-m条终于无穷远条终于无穷远) )。 第10页/共34页2. 终点终点s=zjK8=0j =1m(s-zj)m条根轨迹终止于开环传递函数的零点条根轨迹终止于开环传递函数的零点 s8n-m条根轨迹终止于无穷远条根轨迹终止于无穷远根轨迹方程

14、根轨迹方程： =Kr1-j =1m(s-zj)i =1n(s-pi)则则即即另：另：=0j=1m(s-zj)i =1n(s-pi)=0sn-m1j =1m(s-zj)i =1n(s-pi)第11页/共34页.4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则四法则四: :实轴上根轨迹所在区段的右侧，开环零、极点实轴上根轨迹所在区段的右侧，开环零、极点数目之和为奇数数目之和为奇数 。【例例4.14.1】 某负反馈系统的开环传递函数为某负反馈系统的开环传递函数为2(1)( )( )(2)(5)(10)K sG s H sssss试绘制实轴上的根轨迹。试绘制实轴上的根轨迹。解：解：(1) 5(1)

15、5阶系统有阶系统有5 5条根轨迹；条根轨迹；(2) (2) 根轨迹必对称于实轴；根轨迹必对称于实轴；(3) (3) 系统开环极点为：系统开环极点为：p1=p2=0,p3=-2,p4=-5,p5=-10;开环零开环零点为：点为：z1 1=-1。5条根轨迹分别起于条根轨迹分别起于p1，p2，p3，p4，p5，终于终于z1 1及无穷远。及无穷远。第12页/共34页(4) (4) 区间区间 2 2，11右侧开环零、极点个数之和为右侧开环零、极点个数之和为3 3，区间，区间-10-10，-5-5右侧开环零、极点个数之和为右侧开环零、极点个数之和为5 5，故实轴上的根，故实轴上的根轨迹在上述两区间，如图所

16、示。轨迹在上述两区间，如图所示。实轴上某些开区间的右侧，开环零、极点个数之和实轴上某些开区间的右侧，开环零、极点个数之和为奇数，则该段实轴必为根轨迹。通过此法则，可为奇数，则该段实轴必为根轨迹。通过此法则，可以很快确定在以很快确定在s s平面的实轴上哪些区段有根轨迹。平面的实轴上哪些区段有根轨迹。第13页/共34页.5根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线法则五法则五: :根轨迹的渐近线的方位。根轨迹的渐近线的方位。 如果系统开环零点数如果系统开环零点数m m小于开环极点数小于开环极点数n n，则趋于无穷远，则趋于无穷远的应有的应有n-m条，条，这些趋于无穷远的根轨迹的方位，由渐近这些趋

17、于无穷远的根轨迹的方位，由渐近线的两个参数线的两个参数渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点来确定。来确定。(1) (1) 渐近线的倾角：是指渐近线与实轴正方向的夹渐近线的倾角：是指渐近线与实轴正方向的夹角角( (用用a a表示表示) )。aa(21)0121kknmnm、 、 -(2) (2) 渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点( (用用a a表示表示) )。a11ainmjijpznm第14页/共34页趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角： 渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点： K=0,1

18、,2,3nj=1mi =1n-m=pj -zi+ n-m (2k+1)=第15页/共34页例例 已知系统的开环传递函数，试确定已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。系统的根轨迹图。 s(s+1)(s+2)KG(s)H(s)=解：解： 1）开环零、极点：开环零、极点： 2）实轴上的根轨迹段：实轴上的根轨迹段： p1=0p2=-1p3=-2p1p2p3 -3）根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线： 与实轴的夹角与实轴的夹角 :n-m=3j6000p1p3p2-1-2 3(2k+1)+=K=060o= K=1180o= 与实轴的交点与实轴的交点: 3= -1-2=-14）系统的根轨迹）系统的根轨

19、迹 第16页/共34页.6起始角与终止角起始角与终止角法则六法则六: :根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角 起始角起始角p1p1：从开环复数极点出从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。轨迹的切线与实轴之间的夹角。终止角终止角zkzk ：进入开环复数零进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。的夹角。11(21)()()kmnpjikkj=i=kkpzpp=1=1k(21)()()knmzkjkiijkzpzz第17页/共34页4.2.7 4.2.7 根轨迹的分离点根轨迹的分离

20、点法则七法则七: :根轨迹分离点根轨迹分离点d d 的求取的求取两条或两条以上的根轨迹在两条或两条以上的根轨迹在s s平面上相遇后又分开的点称平面上相遇后又分开的点称作根轨迹的分离点或会合点，用作根轨迹的分离点或会合点，用d d表示，表示， 1111nmjijidpdz分离点分离点d d的求取的求取: :注意：只有位于根轨迹上的重根才是注意：只有位于根轨迹上的重根才是 分离点或会合点。分离点或会合点。【例例4.34.3】 某负反馈系统的开环传递函数为某负反馈系统的开环传递函数为*2(1)( )( )33.25KsG s H sss试求根系统根轨迹的分离点，试求根系统根轨迹的分离点，并绘制根轨迹

21、并绘制根轨迹。第18页/共34页111+1.5+ j+1.5j1ddd-解：(1) 二阶系统有两条根轨迹；(2) 根轨迹必对称于实轴； (3) 系统开环极点由s2+3s+3.25=0解得： p1,2=-1.5j；开环零点z1=-1。两条根轨迹分别起于p1、p2 ，终于开环零，终于开环零点点z z1 1及无穷远；及无穷远；(4) 区间-，-1为实轴上的根轨迹段；(5) (5) 求分离点：求分离点：解得：解得：d d1 1=-2.12=-2.12，d d2 2=0.12=0.12d d2 2不在根轨迹上，为不合理点，应不在根轨迹上，为不合理点，应舍弃。故分离点舍弃。故分离点d d= =d d1 1

22、=-2.12=-2.12。根据上。根据上述条件绘制出系统根轨迹如图所示。述条件绘制出系统根轨迹如图所示。 第19页/共34页.8分离角与会合角分离角与会合角法则八：根轨迹的分离角与会合角出现在分离点法则八：根轨迹的分离角与会合角出现在分离点( (或会合或会合点点) )处，方向由公式确定。处，方向由公式确定。分离角分离角d d：指根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方 向的夹角。 会合角会合角d d：指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方 向的夹角。分离角与会合角可用以下公式计算若d= (2k+1)/L，则d=2k/L若d=2k/L，则d= (2k+1)/L 式中：L为重极点处的根轨迹

23、个数(即重根数)。注：分离点在实轴上时，分离角和会合角分别为注：分离点在实轴上时，分离角和会合角分别为0 0、或或/2/2。第20页/共34页与虚轴交点：与虚轴交点：1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2 2）s = jw w 是根的点是根的点.9根轨迹与虚轴的交根轨迹与虚轴的交点点求法求法1:1:应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K K， 由由K K值求出相应的值求出相应的值。值。wjs 0)()(1wwjHjG0)()(1Im0)()(1RewwwwjHjGjHjG代入特征方程得方程组得方程组法则九:根轨迹与虚轴的交点求法求法

24、2:设与虚轴相交的闭环极点为设与虚轴相交的闭环极点为联立求解，联立求解，根轨迹与根轨迹与虚轴的交点虚轴的交点值和相应值和相应的临界的临界K K值。值。第21页/共34页.10闭环特征方程根之和闭环特征方程根之和法则十法则十:系统系统n n个开环极点和等于个开环极点和等于n n个闭环极点和。个闭环极点和。 11nniiiips在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值。因此，在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值。因此，符合符合n-m2n-m2的反馈系统，当增益的反馈系统，当增益K K变动使某些闭环极点在变动使某些闭环极点在s s平面上向左移动，则必然有另一些极点向右移，才能保

25、平面上向左移动，则必然有另一些极点向右移，才能保持极点和为常值，即根轨迹重心不变。持极点和为常值，即根轨迹重心不变。第22页/共34页4.34.3控制系统的根轨迹分析法控制系统的根轨迹分析法.1闭环零、极点与阶跃响应的定性关系闭环零、极点与阶跃响应的定性关系根轨迹反映了闭环特征根随根轨迹反映了闭环特征根随 KrKr变化的规律，而闭环特变化的规律，而闭环特征方程的根与系统的性能关系密切。通过根轨迹来分析征方程的根与系统的性能关系密切。通过根轨迹来分析系统的性能具有直观、方便的特点。系统的性能具有直观、方便的特点。系统系统性能性能系统的开环系统的开环零、极点位零、极点位置置根根轨轨

26、迹迹闭环极点位置（1 1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。（2 2）如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的）如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5 5倍以上，可以忽略不计。倍以上，可以忽略不计。第23页/共34页（3 3）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的

27、衰减率呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率221111wwwnn并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主导极点的实部导极点的实部nw1（4 4）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为称为偶极子偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作应的影响一般需要考虑，但不会

28、影响闭环主导极点的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。以忽略。第24页/共34页.2利用主导极点估算系统性能指标利用主导极点估算系统性能指标利用主导极点估算性能指标的基本方法：利用主导极点估算性能指标的基本方法：(1) (1) 求出闭环极点；求出闭环极点；(2) (2) 找出主导极点或偶极子；找出主导极点或偶极子；(3) (3) 近似为低阶系统，由时域分析法估算性能指标。近似为低阶系统，由时域分析法估算性能指标。2(0.91)( ) =(1)(0.010.081)sssss【例例4.54.5】 三

29、阶系统的闭环传递函数为三阶系统的闭环传递函数为试估算系统的性能指标试估算系统的性能指标%,ts解：解：系统有系统有3 3个闭环极点，分别为个闭环极点，分别为s s1 1=-1=-1，s s2,32,3=-4=-4j j9.29.2，闭环零点，闭环零点z z11=-1.1=-1.1，如图，如图第25页/共34页221100( )0.010.0818100sssss21%e100% = 25%sn30.75stw由图可以看出，极点由图可以看出，极点s s1 1与零点与零点z z11构成偶极子，故主导极点构成偶极子，故主导极点不再是不再是s s1 1，而应是，而应是s s2,32,3，系统因此可近似

30、为二阶系统，即，系统因此可近似为二阶系统，即对照二阶系统标准式得对照二阶系统标准式得n=10，=0.4则性能指标则性能指标第26页/共34页.3根轨迹的改造对系统的影响根轨迹的改造对系统的影响系统根轨迹的形状、位置取决于系统的开环传递函数的零、系统根轨迹的形状、位置取决于系统的开环传递函数的零、极点。因此，可通过增加开环的零、极点来改造根轨迹，极点。因此，可通过增加开环的零、极点来改造根轨迹，来改善系统的品质。来改善系统的品质。 1. 1. 增加开环零点对根轨迹的影响增加开环零点对根轨迹的影响(1) (1) 可以改变根轨迹在实轴上的分布和渐进线的条数、倾角和分可以改变根轨迹在实

31、轴上的分布和渐进线的条数、倾角和分离点；离点；(2)(2)根轨迹的曲线将向左移，有利于改善系统的动态性能根轨迹的曲线将向左移，有利于改善系统的动态性能( (稳定稳定性性) )；(3) (3) 恰当地选择附加零点的位置使其与某个极点构成开环偶极子，恰当地选择附加零点的位置使其与某个极点构成开环偶极子，来抵消有损系统性能的极点。来抵消有损系统性能的极点。2. 2. 增加开环极点对根轨迹的影响增加开环极点对根轨迹的影响(1) (1) 可改变根轨迹在实轴上的分布及根轨迹的个数，渐近线的条可改变根轨迹在实轴上的分布及根轨迹的个数，渐近线的条数、倾角和分离点；数、倾角和分离点；(2)(2)根轨迹的曲线将向右移，不利于改善系统的动态性能根轨迹的曲线将向右移，不利于改善系统的动态性能( (稳定性稳定性) )。第27页/共34页【例例4.64.6】 已知某系统的开环传递函数为已知某系统的开环传递函数为2( )(3)KG sss试用适当的方法使系统在任意试用适当的方法使系统在任意K K值时均值时均处于稳定状态。处于稳定状态。2()( )(3)K saG sss11033 03 12nmjiijapzaanm解：解：设在系统中增加一个比例微分环节设在系统中增加一个比例微分环节s s+ +a a，则开环传递函数，则开环传递函数增加了一个开环零点，原开环传递函数变为增加了一个开环零点，原开