第四章-2-导热定律.

1、1第二节导热的基本定律第二节导热的基本定律 及稳态导热及稳态导热导热的基本定律导热的基本定律 导热微分方程和定解条件导热微分方程和定解条件 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算 2一、一、导热的基本定律导热的基本定律 3（, , ,tf x y z直角坐标系中 空间坐空间坐标标时间时间标量场标量场举例：举例：炉火中铁棒的温度分布：炉火中铁棒的温度分布：火中一端温度很高，手握端温度较低：火中一端温度很高，手握端温度较低：与位置有关；与位置有关；手握一端慢慢变烫：手握一端慢慢变烫：与时间有关与时间有关 导热问题研究的目标之一就是确定物体的温导热问题研究的目标之一就是确定物体的温度场，本质上就是度场

2、，本质上就是求温度求温度t的数学表达式。的数学表达式。 4按时间性质分为：按时间性质分为：v非稳态温度场非稳态温度场物体内各点温度物体内各点温度随时间随时间 而变化而变化；v 稳态温度场稳态温度场 物体内各点温度物体内各点温度不随时间不随时间 变化变化。按空间性质分为按空间性质分为: :v 三维温度场三维温度场温度在空间三个方向上均有变化温度在空间三个方向上均有变化(x, ,y, ,z)； v 二维温度场二维温度场温度在空间两个方向上发生变化温度在空间两个方向上发生变化(x, ,y)；v 一维温度场一维温度场温度仅在空间一个方向上有变化温度仅在空间一个方向上有变化(x)。导热的分类：导热的分类

3、： 稳态导热稳态导热 非稳态导热非稳态导热0t0t一维导热一维导热二维导热二维导热三维导热三维导热5在同一瞬时，物体内温度相同的各点连成的面（或线）。在同一瞬时，物体内温度相同的各点连成的面（或线）。可用一组等温面或等温线表示温度场。可用一组等温面或等温线表示温度场。叶轮叶片叶轮叶片6v内燃机活塞的温度场内燃机活塞的温度场 7v埋深为埋深为1.5m1.5m的的非保温非保温输油管输油管道道周围周围地层的地层的温度场温度场 8 同一时刻，同一时刻，同一地点不同一地点不可能有两个可能有两个温度！温度！等温线越密，温度等温线越密，温度变化越剧烈；变化越剧烈；等温线等温线越稀，温度越稀，温度变化越平缓。

4、变化越平缓。 9 temperature gradient xtxtx0limntnntntn0limgrad温度梯度是个矢量，其方向温度梯度是个矢量，其方向总是朝着温度增加的方向。总是朝着温度增加的方向。单位法向矢单位法向矢量量10 temperature gradientkztjytixttgrad1112（二）（二） 傅里叶定律傅里叶定律导热基本定律导热基本定律Fourier） 单位时间内通过单位面积的热量（即热流密单位时间内通过单位面积的热量（即热流密度度q)，其，其大小与温度梯度的绝对值成正比，大小与温度梯度的绝对值成正比，方方向与温度梯度的方向相反。向与温度梯度的方向相反。 ntn

5、tq gradntq矢量形式矢量形式标量形式标量形式 物体内的温度梯度是物体内的温度梯度是物体内以导热方式进行物体内以导热方式进行热量传递的根本原因。热量传递的根本原因。“-”表示热流密度的方向永表示热流密度的方向永远指向温度降低的方向。远指向温度降低的方向。13kqjqiqqzyxkztjytixttgradtqgradxtqxytqyztqz)(kztjytixt stqss 任意空间方向 ：14xyqxqyqnxy151617（三）热导率（三）热导率（导热系数导热系数） W/(m K)qtn 18 一般来说，一般来说， 金属的热导率最大，非金属和液体次之，气体最小。金属的热导率最大，非金

6、属和液体次之，气体最小。对于同种物质，对于同种物质， 固态固态 液态液态 气态气态 （铁除外，铁除外， 液铁液铁 固铁固铁） 晶体晶体 非晶体非晶体一般，一般， 金属金属 非金属（非金属（差差12个数量级个数量级） 导电体导电体 非导电体非导电体一般，一般， 纯金属纯金属 其合金其合金各向异性物体，其热导率各向异性物体，其热导率 与方向有关。与方向有关。19各向异性材料各向异性材料木材、石墨、云母、动植物的肌肉和纤维组织等。木材、石墨、云母、动植物的肌肉和纤维组织等。 纯金属纯金属 其合金其合金 金属金属 非金属非金属 导电体导电体 非导电体非导电体 固态固态 液态液态 气态气态 晶体晶体 非

7、晶体非晶体20影响最大、最重要影响最大、最重要, = 0（1+bt）真值真值计算值计算值21b0。b022多孔性材料多孔性材料：空隙中充满热导率小且不流动的空气，空隙中充满热导率小且不流动的空气，可以隔热可以隔热。v空气的导热能力很差。空气的导热能力很差。v如如“千层单不如一层棉千层单不如一层棉”、“空心砖空心砖”、“双层窗双层窗”等；等；v如石棉、矿渣棉、硅藻土、聚氨酯泡沫塑料、聚乙烯泡沫塑料如石棉、矿渣棉、硅藻土、聚氨酯泡沫塑料、聚乙烯泡沫塑料、玻璃玻璃纤维纤维、岩棉毡岩棉毡和和微孔硅酸钙微孔硅酸钙等等。23v（1 1）为什么用空心砖、双层玻璃？）为什么用空心砖、双层玻璃？v（2 2）冬天

8、，新建的房子为什么比老房子住）冬天，新建的房子为什么比老房子住起来感到冷？起来感到冷？v（3 3）冬天，相同温度下海边或南方的城市）冬天，相同温度下海边或南方的城市为什么比内地更冷？为什么比内地更冷？v思考题：思考题：4-11 4-12 4-134-11 4-12 4-13 2425（一）导热微分方程（一）导热微分方程 即求解导热物体内的温度分布即求解导热物体内的温度分布温度场：温度场： t = f ( x , y , z , ) 导热微分方程：导热微分方程：一个能全面描述导热问题温度场的数一个能全面描述导热问题温度场的数学表达式；反映一类导热问题的共性问题。学表达式；反映一类导热问题的共性问

9、题。导热问题的数学描述导热问题的数学描述26（一）导热微分方程（一）导热微分方程1、导热微分方程的导出、导热微分方程的导出【 、c均为常量均为常量】271、导热微分方程的导出、导热微分方程的导出（一）导热微分方程（一）导热微分方程28推导过程：推导过程： 如图，取边长为如图，取边长为 dx、dy、dz的微的微元体元体 作为研究对象；作为研究对象；（一）导热微分方程（一）导热微分方程29导入导入任意方向上的热流量总可分解为任意方向上的热流量总可分解为x、y、z三个坐标轴的分量。三个坐标轴的分量。根据傅里叶定律，直接写出：根据傅里叶定律，直接写出：（一）导热微分方程（一）导热微分方程30导出导出（

10、一）导热微分方程（一）导热微分方程x+dx31 dVdxdydz ttcdVcdxdydzcztytxtct)(2222222 m /sac热扩散率，单位，一个物性参数。（一）导热微分方程（一）导热微分方程32 常物性、具有内热源、三维、非稳态常物性、具有内热源、三维、非稳态导热的导热微分方程形式：导热的导热微分方程形式：cztytxtat)(222222非稳态项非稳态项热扩散项热扩散项源项源项（一）导热微分方程（一）导热微分方程33342、导热微分方程的简化形式、导热微分方程的简化形式常物性、常物性、无内热源无内热源、三维非稳态导热、三维非稳态导热 cztytxtat)(2222222222

11、22ztytxtat（一）导热微分方程（一）导热微分方程35常物性、三维、常物性、三维、稳态导热稳态导热0222222cztytxta0t泊桑方程有内热源有内热源无内热源无内热源0222222ztytxt拉普拉斯方程（一）导热微分方程（一）导热微分方程36常物性、无内热源、常物性、无内热源、一维一维导热导热一维非稳态一维非稳态一维稳态一维稳态taxt122022dxtd（一）导热微分方程（一）导热微分方程37圆柱坐标系中圆柱坐标系中v常物性（常物性（ =const）v常物性、常物性、无内热源无内热源、一维径向一维径向、稳态导热稳态导热czttrrtrrtat2222222110122drdtr

12、drtd01drdtrdrdr或或（一）导热微分方程（一）导热微分方程38球坐标系中球坐标系中v常物性常物性（ =const）v常物性、常物性、无内热源无内热源、一维径向一维径向、稳态导热稳态导热或或)(sinsin1sin1)(112222222trtrrtrrrta0)(122drdtrdrdr0)(122drrtdr（一）导热微分方程（一）导热微分方程3940v一个物性参数。一个物性参数。v热导率热导率 ：反映物体在：反映物体在相同的温度梯度下传递热量相同的温度梯度下传递热量的能力大小；的能力大小；v热容量热容量 c：表示表示单位体积物体的储热或放热能力单位体积物体的储热或放热能力，即温

13、度变化即温度变化1时所吸收的或所放出的热量。时所吸收的或所放出的热量。v 越大且越大且 c越小，扩散热量的能力越大，热扩散率越小，扩散热量的能力越大，热扩散率a就越大。就越大。v只影响只影响非稳态导热非稳态导热过程。过程。ac导热能力储热能力（一）导热微分方程（一）导热微分方程41v物体传播温度变化的能力物体传播温度变化的能力称为称为热扩散率热扩散率，也称，也称导温导温系数系数（thermal diffusivity）。）。v生活中的常识：生活中的常识：v将形状、尺寸完全相同的铁棒和木棒同时放到火中，一端将形状、尺寸完全相同的铁棒和木棒同时放到火中，一端温度迅速升高。温度迅速升高。v一会儿，握

14、铁棒另一端的手会感到很烫，而握木棒的手几一会儿，握铁棒另一端的手会感到很烫，而握木棒的手几乎感觉不到温度的变化，说明乎感觉不到温度的变化，说明铁棒传播温度变化的速率要铁棒传播温度变化的速率要高于木棒。高于木棒。v表征物体内部各温度趋于均匀一致能力的物理量。表征物体内部各温度趋于均匀一致能力的物理量。 （一）导热微分方程（一）导热微分方程42常温下各类材料常温下各类材料热导率热导率 和热扩散率和热扩散率a材料材料 ,W/(m K)a 106，m2/s金属金属非金属（少数例外）非金属（少数例外）液体（非金属）液体（非金属） 气体气体普通隔热材料普通隔热材料 44200.17700.050.680.

15、010.200.040.12 31650.11.60.080.16151650.161.60 （一）导热微分方程（一）导热微分方程ca其其 c小小43v既相互联系又有区别。既相互联系又有区别。v相同点：相同点：均与物体内的导热过程有关均与物体内的导热过程有关v不同点：不同点：两个方面两个方面v（1 1）物理意义不同）物理意义不同v热导率反映了物体导热能力的大小。热导率反映了物体导热能力的大小。v热扩散率则综合反映材料的导热能力和升热扩散率则综合反映材料的导热能力和升温所需热量的多少，即反映了物体内部温所需热量的多少，即反映了物体内部传播传播温温度变化的度变化的能力大小。能力大小。v（2 2）影

16、响过程不同）影响过程不同v非稳态导热，非稳态导热，决定温度分布的是导温系数决定温度分布的是导温系数a；v稳态导热，稳态导热，只有导热系数只有导热系数 对过程有影响。对过程有影响。（一）导热微分方程（一）导热微分方程4445222222ttttaxyzc22221ttta xy例题例题-1（一）导热微分方程（一）导热微分方程46例题例题-1（一）导热微分方程（一）导热微分方程47例题例题-1（一）导热微分方程（一）导热微分方程48例题例题-1（一）导热微分方程（一）导热微分方程常物性、具有内热源、三维、非稳态导热常物性、具有内热源、三维、非稳态导热导热微分方程一般形式：导热微分方程一般形式：cz

17、tytxtat)(222222非稳态项非稳态项热扩散项热扩散项源项源项（一）导热微分方程（一）导热微分方程v通过数学方法求解可得到方程式的通解！通过数学方法求解可得到方程式的通解！v如何得到特定条件下导热问题的唯一解？如何得到特定条件下导热问题的唯一解？50导热微分方程和定解条件导热微分方程和定解条件 即求解导热物体内的温度分布即求解导热物体内的温度分布温度场温度场 t=f(x,y,z, )导热微分方程导热微分方程描述一类导热问题共性的数学表达式。描述一类导热问题共性的数学表达式。定解条件定解条件使微分方程得到定解的条件使微分方程得到定解的条件51初始条件初始条件（又称时间条件）（又称时间条件

18、）v说明导热过程进行的时间上的特点。说明导热过程进行的时间上的特点。v例如是稳态还是非稳态？例如是稳态还是非稳态？v对于非稳态过程，给定对于非稳态过程，给定初始时刻物体的温度分布初始时刻物体的温度分布：v常用的初始条件：常用的初始条件：),(0zyxft常常数数00tt（二）定解条件（二）定解条件 （初始条件和边界条件）（初始条件和边界条件）使微分方程得到定解的条件。使微分方程得到定解的条件。52边界条件边界条件给出物体边界上的温度或换热情况。给出物体边界上的温度或换热情况。v常见有三类：常见有三类：v(1)第一类边界条件第一类边界条件（温度边界条件）（温度边界条件）v给定边界上的温度值。给定

19、边界上的温度值。v最简单的典型例子：最简单的典型例子： w10( )tf时，常常数数wt（二）定解条件（二）定解条件53(2)第二类边界条件第二类边界条件（热流边界条件）（热流边界条件）v给定边界上的热流密度值。给定边界上的热流密度值。v最简单的典型特例：最简单的典型特例： w2w0( )tqfn 时，ww 00 tqn表面绝热 常数wq（二）定解条件（二）定解条件54(3)第三类边界条件第三类边界条件（对流边界条件）（对流边界条件）v给定边界上物体与周围流体间的给定边界上物体与周围流体间的表面传热系数表面传热系数h及周围流体温度及周围流体温度tf 。v根据边界面的热平衡：根据边界面的热平衡：ww()fhtntt（二）定解条件（二）定解条件wqf, h t定解条件定解条件v初始条件初始条件v边界条件边界条件v 常用三类：常用三类：v （1）第一类边界条件第一类边界条件v （2）第二类边界条件）第二类边界条件v （3）第三类边界条件）第三类边界条件 ww()fhttnt（二）定解条件（二）定解条件),(0zyxft00 tt最简单的例子常数w1 )0(tf 时常常数数wtw2w( )tqfn 常数wqww 00qtn绝热 56思考思考一维大平壁边界条件的组合一维大平壁边界条