数学物理方法：复数与复变函数

1、数学物理方法Methods in Mathematical Physics 数学物理方法复变函数论复变函数论复数复变函数导数解析函数本章小结复数数的扩张（完善化）自然数减法不封闭整数除法不封闭有理数不完备2 实数方程可解性复数复数复数的定义一对有序实数(a,b),遵从下列基本运算法则加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2)乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)称（a,b）定义了一个复数z，记为z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)a = Real(z), b = Imagine(z)复数相等： 实部、虚部分别相等 。复数特殊的复数1，i ，01实数a=(

2、a,0)=a(1,0)i(0,1)称为虚单位，记作ii2= (0,1)(0,1)=(ac-bd,ad+bc)=(-1,0) =-1z=a+ib0(0,0)z+0=z, z*0=0z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)复数无穷远点以任意方式无限地远离远点，即可到达无穷远点。无穷远点也是一个数，其模大于任何正数，辐角不定。包含有无穷远点的复数平面称为扩充了的复平面，记作 。复数复数的表示代数表示z = x + iyx = Real(z), y = Imagine(z)三角（极坐标）表示z = r (cos + i sin)r = |z|, = Arg(z)辐角多值性。0的模及辐角指数表示定义e

3、xp(i) = cos + i sinexpi(+) = exp(i) exp(i) z = r exp(i)复数几何表示关系x = r cosy = r sin r = (x2+y2)= Arctan(y/x) 特点无序性复数无大小矢量性复数有方向复数和复平面一一对应复平面记作C复数运算加减法(a1+ ib1)(a2+ ib2) = (a1a2) + i(b1b2) 乘除法r1exp(i1) r2exp(i2) = r1r2 expi(1+2) 幂和开方r exp(i)n = rn exp(in)r exp(i)1/n = r1/n exp(i/n)复共轭z = x + iy z* = x

4、iyz = r exp(i) z* = r exp(-i)zz* = r2 = x2 + y2argz的计算（P3，1.1）复数课本例题介绍利用指数函数和三角函数的关系计算一些特殊表达式（P3，1.17）复数课本例题介绍写出复平面上以为圆心，r为半径的圆方程（p5, 1.2）复数课本例题介绍计算z的n次方根（p7, 1.31）具体计算i的3次方根复数本节练习题用代数表示推出出复数的除法运算式用三角表示推出复数的乘除法运算式（注意充分利用复数的共轭）复数邻域内点和外点区域单联通区域和多联通区域复数平面点集复变函数概念定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：f:xy复变函

5、数：f:zw 举例f(n) = fn = (1+i)n, nNf(z) = znf(z) = exp(z)f(z) = ln(z)复变函数更多的例子w = az2w = az2 + bz +cw = 1/(az + b)w = (az + b)w = Ln(az + b)w = sin zw = Arccos zw = an znw = an sin(nz) w = (1-z2/n2)w = exp(-z2)dz复变函数复变函数分析与比较定义域和值域相同点：都是数集不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。典型例子：|x|2 是连通的， 1|x|是不连

6、通的；|z|2是单连通的， 1|z|是复连通的。复变函数映射相同点在形式上：y = f(x), w = f(z)不同点在变量上：z = x+iy, w = u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。联系u = u(x,y), v = v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。复变函数结构相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。不同点：基本实变函数xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本复变函数zn, z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz +e-iz)/2,

7、 sin(z)=(eiz -e-iz)/2i复变函数几何意义 例题：复变函数的导数基本概念实变函数复变函数极限连续导数复变函数的导数例1：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导，且(zn) = nzn-1证：复变函数的导数例2：证明f(z)=z*在复平面上均不可微证：复变函数的导数可导条件分析C-R条件ux = vy vx = -uy 充要条件偏导数 ux ，vy ，vx ，uy 连续满足C-R条件意义可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。复变函数的导数典型情况初等函数在定义域内都可导；函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。导数的计算法则：复变函数的求

8、导法则与实变函数完全相同；例子： (sin2z) = 2 sin z cos zexp(z2 ) = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z复变函数的导数导数的意义微商表示f(z) = dw/dz 模：|f(z)|= |dw|/|dz| 幅角：Argf(z) = Arg(dw) - Arg(dz) 复变函数的导数微商的计算解析函数定义点解析函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导奇点区域解析函数f(z)在区域B上每一点都解析解析充要条件与可导的充要条件相同。一般推论f(z)在区域解析f(z)连续解析函数和、差、积与商（分母0）仍解析解析函数的复合函数解析解析函数在某点的反函数解析，且函

9、数的导数=反函数导数的倒数复变函数基本函数二次函数定义w = z2分析u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 u = x2 -y2 ,v = 2xy性质无周期性无界性单值性复变函数三次函数定义w = z3分析u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 3xy2 ,v = 3x2y - y3 性质无周期性无界性单值性复变函数指数函数定义w = exp(z)分析u + iv = exp(x+iy) = exp(x)cosy +i sinyu = exp(x) cos y ,v = exp(x) sin y性质周期性exp(z+

10、2i)= exp(z)无界性单值性复变函数三角函数定义w = sin(z)分析u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y)u = sin(x)ch(y) ,v = cos(x)sh(y)性质周期性无界性单值性复变函数复变函数复变函数解析函数多值函数和单值分枝根式函数解析函数多值函数和单值分枝根式函数W1平面Z平面解析函数多值函数和单值分枝根式函数 -n=2W2平面W1平面Z平面解析函数多值函数和单值分枝根式函数 3 n=2解析函数多值函数和单值分枝根式函数复变函数对数函数定义w = Ln(z)分析u + iv = Ln r exp(i) =

11、ln r + i u = ln r,v = 性质非周期性无界性多值性：| 复变函数解析函数幂函数znn=0,1,2,时，在C上解析；z=是奇点n=-1,-2,时，在C0上解析指数函数exp(z)在C上解析在无穷远点无定义三角函数在C上解析；z=是奇点周期为2双曲函数shz,chz在C上解析周期为2iShz=-isin(iz); chz=cos(iz); (shz)=chz,(chz)=shz 解析函数根式函数z1/n在单值分枝上解析对数函数ln(z)在单值分枝上解析d(lnz)=dz/z反三角函数对数函数与根式函数的组合在单值分枝上解析解析函数性质调和性u=uxx + uyy = 0, v=v

12、xx + vyy = 0解析函数的实部与虚部都是调和函数，共轭调和函数（由C.-R.条件联系）正交性解析函数的实部与虚部梯度正交，即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。解析函数解析函数应用例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y, vy=ux =2xdv = vxdx+vydy=2ydx+2xdy=d(2xy)v = 2xy注意：电力

13、线方程的一般形式为 f(2xy)=C解析函数平面静电场解析函数例2：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y, vy=ux =2xdv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v = 2xy注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C解析函数根据C.-R.条件，可以通过解析函数的实部（虚部）求出相应的虚部（实部）uv,从全微分出发：uv,从vy=ux出发：解析函数解1：解2：本章小结复变函数定义：两个复数集合之间的映射；特点：定义域和值域为2维；定义域出现复连通现象；不能用一个图形完全描述；极限存在的要求提高；分析：可以分解成2个二元实函数；解析函数满足CR条件；实部和虚部都是调和函数，相互正交。解析函数例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实