选修4-4坐标系与参数方程知识点及经典例题

1、方法1:求伸缩变换后的图形坐标系与参数方程*选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1.坐标系：理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的 区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程 .通过比 较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程， 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 意义.2.参数方程：了解参数方程，了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 .第一讲平面宜角坐标系卜坐标法(巫

2、标彳申缩变换(极坐标T极坐标系的概念T极坐标后立角坐标元化坐标系)丁小八H圆的极坐标方程 简单曲线的_ ，一极坐标方程L直线的极坐标方程柱坐标系与以坐标系简介 二/、平面直角坐标系(柱坐标系)(球坐标系)xx. (0).伸缩变换：设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任息一点，在变换 ：的作用yy.(0).下，点P(x, y)对应到点P(x,y),称 为平面直角坐标系中的一坐标伸缩变换一，简称伸缩变换一。由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。换后的图形y例：在一个平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变一1S 12/=方法2:待定系数法求伸缩变换。求

3、伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可例：在同一平面直角坐标系中，求下列图形变换的伸缩变换：UJ.直线f - 2二2变成直线2r = 1 :曲线/ / -=0变成曲线J 16 J -4x7 =0、极坐标.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点。引一条射线Ox叫做极轴；再选 定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个 极坐标系。.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点。与点M的距离|OM |叫做点M的极径，记为； 以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对（，）叫做点M 的极坐

4、标，记为M （,）.极坐标（，）与（，2k ）（k Z）表示同一个点。极点O的坐标为（0, ）（ R）.若 0,则 0,规定点（，）与点（，）关于极点对称，即（，）与（，）表示同一点。如果规定 0,02 ,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的。4.极坐标与直角坐标的互化:222x y ,xcos ,ysin ,tan-(x 0) x如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为（x, y） , （ p , 9）.(1)极坐标化直角坐标T=#CCS g 1(2)直角坐标化极

5、坐标p 2 = x2 + y2,八 y ,tan 0 =x (xw0)方法3:极坐标与直角坐标的互化利用p = /M + f# 0=，即可得出一本题考查了直角坐标方程化为极坐标,考查了推理能力与计算能力，属于基础题例：(1)点M 2, 2翼的极坐标是2(2)点M2,2 的直角坐标是 3练:已知点的直角坐标分别为囱)-2出)，求它们的极坐标一3-三、简单曲线的极坐标方程.圆的极坐标方程：(1)特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点（0 , 0）p = r(0 82支).上一圆心在点（r, 0）P = 2rcos_9_式汽(一万 2)圆心在点（r, /）p = 2rsin_ 6(0 8n

6、)d圆心在点（r,汽）P = 2rcos_ 6 (9 3:2-)(X圆心在点（r, 32bp = 2rsin_ 9(一兀 0)和 8 =n + a ( p 0)1.-futfl;过点(a, 0),且与极 轴垂直p cos_ 0 =a 式汽-万02|一 任过点a,且与极轴平行p sin_ _0_ = a (0 9 n)1 W(鼎务0：过点(a, 0)倾斜角为ap sin( oc - 0) =asina(00, 0& 0 2汽)表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P勺位置可用有序数组 (p , 8 , z) (zC R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(p , 8 , z)之间的一种对应

7、关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (p , 8 , z)叫做点P的柱坐标，记作P( 0 ,九z),其中 i0, 0 二 ( 2 1，z C R.x= p cos 8(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(p , 8 , z)之间的变换公式为y=。sin 8 .z= z2、球坐标系（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz设P是空间任意一点,连接 OP记|Op = r, OPtOz轴正向所夹的角为 小，设P在Oxy平面上的射影为 Q, Ox轴按逆而方向旋转到 OQ寸所转过的最小正角 为8,这样点P的位置就可以用有序数组（r, J , 8）表示，这样，空间

8、的点与有序数组 （r, 8）之间（或空间极坐标系），有序数组（r,小，建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系9）,叫做点P的球坐标，记作 Rr, 3, 8）,其中r、0, 0& J P汽,0& e b0)的参数方程是2x+亨=1( ab0)的参数万程是数小的取值范围是0 , 24).(3)中心在(h, k)的椭圆普通方程为(xh)2(y-k) 21,则其参数方程为x=h+acos 巾一一.一 ，(小是 y=k+bsin32.双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 它的取值范围为 (|)C0, 2n)且=22x2 -a3支2*1的参数方程是x= asec 6,

9、(6y=btan 6(2)中心在原点，焦点在 y轴上的双曲线y2-x2=1的参数方程是 a bx= btan 3(3为参数).y = asec 33.抛物线的参数方程_, 2 八，、(2,0) C.(0, 4)、(8,0) D5（叫卜0）2 .把方程xy 1化为以t参数的参数方程是（x A.1t21123.若直线的参数方程为sint1sint2t3tcost1cost（t为参数），则直线的斜率为（tant1tant4 .点（1,2）在圆A.内部5.参数方程为A. 一条直线8cos8sinB.外部C.圆上 D1t（t为参数）表示的曲线是（与9的值有关.两条直线C . 一条射线D两条射线6.x两圆

10、y2 cos2sin3cos的位置关系是（3sin7.8.9.A.内切与参数方程为A.C.曲线.外切C.相离.内含A. 51(02)（t为参数）等价的普通方程为（2 y41(0 x 1)1(0 x 1,02)5cos5sin (3）的长度是103点P（x,y）是椭圆2x23y2 12上的一个动点，则x 2y的最大值为（）.A. 2,2x10.直线2t_ （t为参数）和圆32y2 16交于A, B两点，则AB的中点坐标为（）.A. (3, 3).(.3,3) C.(底 3) D . (3,而11.若点P（3, m）在以点F为焦点的抛物线4t2 ,人上（t为参数）上，则|PF |等于（）.4tA.

11、 212,直线t （t为参数）被圆（x3）2 （y 1）2 25所截得的弦长为（A. .981401C4.屈 D . V93 4V313.参数方程t e2(et（t为参数）的普通方程为t）八、x14,直线y2t（t为参数）上与点A（ 2,3）的距离等于V2的点的坐标是- 2tx t cosx 4 2cos.直线与圆相切，则y tsiny 2sin.设y tx(t为参数)，则圆x2 y2 4y 0的参数方程为x 1 t.求直线li ：广(t为参数)和直线12 ： xy 5 、. 3t离.y 2J3 0的交点P的坐标，及点P与Q(1, 5)的距.已知直线1经过点P(1,1),倾斜角 一， 6(1)写出直线l的参数方程.(2)设l与圆x2y2 4相交与两点A,B ,求点P到A,B两点的距离之积./ tt、