华科 固体物理讲义

1、【讲义说明】固体物理考试大纲多年来基本上没大有什么变化，知识点固定，本讲义就是按照大纲所列的知识点来编写的，大纲指定两本书：黄昆的固体物理和基泰尔的固体物理学导论这两本书各有优势，所以我们在学习时会时而用黄昆的书，时而用基泰尔的书。讲义内容大体上分成这么几部分：第一部分：晶体结构；第二部分：晶体结合；第三部分：声子；第四部分：自由电子气；第五部分：能带；第六部分：电子在电场磁场中的运动；第七部分：半导体晶体。第一章 晶体结构第一节 原子的周期性阵列【本节考点】1、研究晶体的周期性结构的试验方法2、原胞、惯用晶胞、初级基元的选取【知识点详细讲解】研究晶体的周期性结构的试验方法：X射线衍射法和中子

2、衍射法，电子衍射法主要用于研究晶体的表面结构。在理想情况下，晶体由全同的原子团在空间无限排列构成，这样的原子团被称为基元，数学上，这些基元可以被抽象成一个个几何点，而这些几何点的的集合构成晶格。三维情况下，晶格里的每一个格点都可以通过三个平移矢量的整数倍的向量组合来表示，比如我们从晶体中处看到的情况与相对处平移了的整数倍所看到的处所看到情况是完全相同的，即：，三个平移矢量称为初级基矢，初级基矢的选取是不唯一的。晶轴一旦选定，晶体结构的基元也就确定下来了。在晶体中，每个格点上配置一个基元就形成了晶体，这里的格点是为了描述的方便，是数学上的抽象。对于给定的晶体，其中所有的基元无论在组成排列还是在取

3、向上都是完全相同的。有平移矢量所确定的平行六面体被称之为原胞。原胞的体积，原胞的选取方式不唯一，比如维格纳-塞茨原胞，但是晶格的每种原胞中只包含一个格点，与这个格点相联系的基元是初级基元，初级基元是包含原子数最少的基元，这些基元可以是一个原子，可以是多个原子，可以包含多种原子，可以只包含同种原子。第二节 晶格的基本类型【本节考点】1、布拉伐格子的类型及分类【本节重难点】1、生么是布拉伐格子，怎么理解布拉伐格子。【知识点详细讲解】布拉伐格子：数学上，三维空间里的格点（几何点）以多种方式组合成晶格，不重样的共14钟，每一钟称为一种布拉伐格子。二维情况下，格点共5钟组合排列方式。二维晶格：二维周期性

4、晶格平面内，二维格子依然具有周期性我们选取基矢，那么晶面上所有布拉伐格点都可表示为：，我们称原点的格点为A点，由它画出到达的格点为B，如果绕A转角，将使B格点转到B的位置，（详细看黄昆的书）三维的布拉伐格子共14种，尽量记住每种的名称，能够画出所属晶系的基矢。为了应用方便，我们将按照七种惯用晶胞将十四种布拉伐格子划分为7个晶系，晶系的划分是以惯用晶胞轴间的特定关系进行归纳分类的。比如立方晶系包括三种惯用晶胞：简单立方，体心立方，和面心立方。第三节 晶面指数系统【本节考点】1、晶面指数及其划分2、晶向指数3、密勒指数【本节重难点】1、晶面指数及其划分【知识点详细讲解】一般有两套晶面指数系统，是根

5、据所选的基矢是原胞基矢还是惯用晶胞基矢，但是这两套晶面指数系统地划分方式是相同的。布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。同一晶格可以形成方向不同的晶列，每一个晶列定义了一个方向，称为晶向。如果一个原子沿某晶向到最近的原子的位移矢量为：，那么晶向就用表示，写成：，称为晶向指数。等效晶向的定义及写作形式布拉伐格子的格点还可以看成是分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面。同一个晶格可以有无穷多个方向的晶面系。常用密勒指数来定义晶面，设想选定一格点为原点并作出沿的轴线，所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通过原点，其他晶面平行于此面且等间距，将均匀分割各轴

6、。如果我们从原点顺序的考察一个个面切割第一轴的情况，显然必将遇到一个面切割在或，因此在存在格点。假设这是从原点算起的第个面，那么晶面系的第一个面的截距必然是的分数，写成：。同样可以论证第一个面在其他两个轴上的截距将为：和其中为整数。平常就用来标记这个晶面系。可以证明简单立方晶格中的一个晶面的密勒指数是和晶面法线的晶向指数相同的。第四节 简单晶格结构氯化钠结构及相关参数，氯化铯结构及相关参数，金刚石结构及相关参数，立方硫化锌结构及相关参数。第五节 晶体衍射及散射波振幅【本节考点】1、布拉格定律2、倒格子3、布里渊区4、结构因子5、形状因子【本节重难点】1、结构因子2、形状因子【知识点详细讲解】布

7、拉格定律：由于晶体的周期性，晶体内的电子浓度，电子数密度及磁矩密度在平移算法的作用下都是不变的。以最重要的电子数密度为例，有：一维情况下电子数密度的傅里叶展开：三维情况下的傅里叶展开： 其中怎么确定呢？在平移基矢的基础上，引入如果是晶格的初级基矢，那么就是倒格子的初级基矢。具有如下性质：倒格矢其中都是整数。采用这种数学方法选定的满足电子数密度在任何晶体平移矢量的变换下具有不变的性质。即：其中衍射条件：一组倒格矢决定了可能存在的x射线反射对于相距为的体积元，其散射束间的相位因子是，我们假定一个体积元散射的波得振幅正比于该处的电子浓度，则在出射方向上散射波的总振幅正比于同相位因子的乘积在整个晶体内

8、的积分。定义散射振幅其中将代入上式：所以当时，可以证明：当相差足够大时，F会变得足够小，可以忽略。布里渊区：布里渊区的概念及定义，怎么画出一二三维的布里渊区由于推出简单立方，体心立方，及面心立方的倒格矢的计算，怎么画出倒格子，倒格子体积的计算，在惯用晶胞中计算倒格矢，表示倒格矢等等都要很熟练结构基元的傅里叶分析：当衍射条件被满足时，散射振幅由确定，对于一个含有N个晶胞的晶体，散射振幅可以写成：推出：定义形状因子：能够计算面心立方，体心立方和金刚石结构的结构因子。这个很重要，第一章如果考大题会这么考。再就是能够根据x射线衍射普来计算判断晶体的结构类型。10年就考到这么一个题15分，具体例题以后会

9、提到。形状因子记住结论，计算不太要求，仅仅做做课后题就可以了。课后题：黄昆书：第一章1.1-1.9全做，点群对称不要求。基泰尔的课后题：33页1，2，3，5，6，7网上有基泰尔题得课后答案。第二章 晶体的结合第一节 惰性气体晶体【本节考点】1、范德瓦耳斯力结合2、晶体的内聚能3、晶格能4、范德瓦尔斯-伦敦相互作用【本节重难点】1、范德瓦尔斯-伦敦相互作用【知识点详细讲解】一重要概念：1.晶体结合的类型是范德瓦耳斯力结合，即具有闭合电子壳层的中性原子通过与电荷分布涨落有关的范德瓦耳斯力微弱地结合在一起。2.晶体的内聚能:在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量。3.离子

10、晶体的讨论中会用到晶格能一词，晶格能指的是将组成晶体的离子分解为相距无限远、静止的自由离子所需的能量。4.范德瓦尔斯-伦敦相互作用:由于相距为R的两个原子，如果原子的电荷分布是刚性的，因为球对称分布的电子电荷的静电势在中性原子以外被原子核电荷的静电势所抵消，那么原子之间的相互作用将为零，因而惰性气体原子将不能凝聚在一起。但是，原子相互感生偶极矩，这种感生矩将引起原子间的吸引相互作用。作为一个模型，可认为原子外围电子的不对称性量子涨落就像是一对正负电荷间的相互作用，有相应的振动频率，由此我们可以联想到声子部分的光学声子，两对谐振子组成的系统地零点能量为：。由于存在相互作用，这个比值要比未耦合的值

11、低，,可见这是个吸引相互作用。当两个原子相互靠近时，其电荷分布将发生交叠，从而引起系统静电能的变化，交叠能是排斥的，大部分贡献来自于泡利不相容原理。泡利不相容原理禁止多重占据，因此对于具有闭壳层的原子，只有伴随着部分电子被激发到原子未被占据的高能态才能发生交叠。因此，这种电子交叠将使系统地总能量增加，而对相互作用则能给出排斥性贡献。对于这种排斥性贡献，用一个形式为来描述。通常A和B为经验参数。通常相距为R的两个原子的总势写成如下形式：其中和是两个新的参数，其中,，上式的势能称为伦纳德-琼斯势。要注意的问题是：搞清楚和的实际物理意义。5.平衡晶格常数：如果不计惰性气体原子的动能，则惰性气体的内聚

12、能就是晶体内所有原子对间的伦纳德-琼斯势之和：其中R是最近邻距离。上式是在绝对零度和零压力情况下的内聚能。但是当算上原子动能时，便会在此基础上有个量子修正，原子越重，量子修正越小。第二节 离子晶体【本节考点】1、静电能或马德龙能2、马德龙常数的计算【知识点详细讲解】离子键是由正负离子的静电相互作用而产生的。晶体离子中每个离子的电荷分布近似于球对称，而在相邻原子接触的区域附近，有一定的畸变。但是离子晶体的结合能大部分来源于静电相互作用。由基泰尔47页得化学式，电子亲和势和电离能的概念搞清楚。静电能或马德龙能：离子晶体的结合能主要来源于静电能。用表示离子间的相互作用能，可定义一个和式包括所有涉及第

13、i个离子的相互作用：高斯单位制下：（理解这个公式怎么来的）是马德龙常数这里注意：N指的是离子对的数目。马德龙能的推导过程：要非常熟练。另外上式中排斥项还有另外一种形式（见黄昆书），黄昆书中给出的排斥项中的定义不正确，搞清楚排斥项中的定义。马德龙常数的计算：的定义可以写成如下的等价形式，即，其中是第个离子与参考离子间的距离，R为最近邻距离。一维情况的马德龙常数的计算过程要熟练，氯化钠、氯化铯、及闪锌矿结构的相应马德龙常数要了解最好能记住。第三节 共价晶体【本节考点】1、共价结合2、轨道杂化的原理【知识点详细讲解】（本部分以黄昆书为主）1.共价结合的晶体称为共价晶体或同极晶体。共价键的两个基本特征

14、：饱和性和方向性，能够分别解释饱和性和方向性的原理。2.根据现代量子理论，两个氢原子各有一个电子在1s轨道上，两个原子结合在一起时，可以形成成键态和反键态。设想带有一价电子的原子A和原子B，归一化波函数用表示，即：(本部分我们以黄昆书为主，后续内容在黄昆书中有详述)共价键形成的理论推导过程要熟悉，以便于理解共价键，和后面的轨道杂化。3.轨道杂化的原理要清楚，这部分可以结合后面紧束缚模型来理解，后面用紧束缚模型所解释的轨道杂化更清楚易懂。以金刚石为例，碳原子有6个电子，在基态4个电子填充了1s和2s轨道，每个轨道有正反自旋的一对电子，剩下的两个电子在2p壳层。在这种情况下只有2p电子是未配对的，

15、但是在金刚石中，每个碳原子与邻近原子以共价键结合。这表明金刚石中的共价键不是以上述碳原子的基态为基础的，而是以下列2s和2p波函数组成的新的电子状态:即黄昆书上59页公式。实际上，共价键是原有原子的波函数在原子靠近时的线性组合。第四节 金属性结合金属性结合的基本特点是电子的共有化更强烈，结合成晶体时原来原子的价电子不在被束缚于原来原子上而转变成在整个晶体中运动，波函数遍及整个晶体，金属性结合的作用很大程度上是由于金属中价电子的动能与自由原子相比有所降低的缘故。显然体积越小负电子云越密集，库伦能越低，表现了把原子聚合起来的作用。很多金属结合首先是一种体积效应，原子越紧凑库伦能越低，因此很多金属元

16、素采用面心立方和六角密排结构。金属有很大的延展性与金属键没有方向性的要求有关。第五节 氢键结合只需了解氢键晶体的有关概念本章习题：基泰尔书65页：1、2、3、4、5（重要）、6、7黄昆书579页：2.1、2.2、2.3、2.6本章计算题的考察重点是离子性结合和范德瓦尔斯结合，共价结合，金属性结合及氢键会考到问答题。第三章 晶格振动【本章考点】1简谐近似和简正坐标2一维单原子链3一维双原子链4三维晶格振动5确定晶格振动的试验方法【本章重难点】1、一维单原子链2、一维双原子链3、三维晶格振动【知识点详细讲解】简谐近似和简正坐标：晶格振动的研究最早从晶体的热学性质开始的，高温情况下热熔符合杜隆柏悌定

17、则。低温情况下，晶体热熔符合律（涉及量子理论），研究晶体晶格振动的意义不限于热学性质，还包括晶体的电学性质，光学性质，超导电性，磁性，及结构相变， 从经典力学的观点看，晶格振动是典型的小震动问题，即:如果晶体包括N个原子，平衡位置为，偏离平衡位置的位移矢量为：，则原子的实际位置矢量：，选用广义坐标系：位移矢量用分量表示，N个原子的位移矢量共有3N个分量，写成：，以此作为广义坐标系，则整个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数： 零表明是平衡位置时所具有的值。可以设,且有:略去二阶以上的高阶项，就得到：,略去高阶项是有一定意义的，这称为简谐近似。考虑到高阶项的作用，称为非简谐近似。N

18、个原子体系的动能函数：每个谐振子的波动方程的形式以及对应的能量本征值的形式，一定要记熟。(本部分内容以课本为基础详细看)一维单原子链：晶体具有周期性，因而，晶格的振动模具有波的形式，称为格波。将单原子链看做是一个最简单的晶格，平衡时相邻原子的距离为a，每个原胞只含有一个原子，质量为m，原子限制在沿链的方向移动，偏离格点的位移用：表示，只有相邻原子间存在相互作用，相互作用能可以一般写成： 表示相对平衡位置a的偏离。一般小震动相互作用能保留到项，即简谐近似，在这个近似下，相邻原子间的作用力为：表明存在于相邻原子间的作用力是正比于相对位移的弹性恢复力。接下来推导出色散关系：的过程要非常熟练为什么格波

19、引入的是这种形式，即，要搞清楚。一般连续介质波得振动方程：，由于格点的周期性：q的取值范围称为第一布里渊区，这是一维的布里渊区，注意将魏格纳塞孜原胞、第一布里渊区区分开。前面所考虑的运动方程实际上只是适合于无穷长的链，因为，所有的原子都假设具有相同的运动形式，而一个有限链的两端的原子的运动形式是显著不同的。而且我们对一个原子只考虑了最近邻相互作用，实际上次近邻也是具有相互作用的。伯恩卡曼边界条件：为了解决链两端原子振动形式不同所引起的麻烦，伯恩卡曼提出包含N个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限数目的原子，而然保持所有原胞完全等价。N很大使环的半径非常大，沿环的运动仍可以看成是直线运动

20、。区别在于需考虑环的循环性，即原胞数每增加到N，振动情况必须复原：，即而h为整数。结合前面的取值范围，q有N个不同的值。每个值对应一个格波共N个不同格波，格波由q和w共同区分。N是自由度数，表明全部得到振动模。周期性边界条件引入的对不对由实验来验证。画出一维单原子链的色散图，能够根据色散关系算出一些重要的极短数值。声子概念的引入，格波能量本征值的公式，声子的性质，为什么称其为“准粒子”？这些要搞明白。 一一维单原子链不要局限于一维单原子链那种形式，看基泰尔的书，搞明白，一维单原子链在实际三维晶体中的代表意义。 一维双原子链：一维双原子链的模型，以及推出双原子链的色散关系的推导过程一定要非常熟练

21、，课本是在原子间力常量相同的情况下推导的，如果力常量不同，应该怎么推导色散关系？也要非常熟练确定出q的范围，能够画出一维双原子链的色散关系图，能够求解一些极端情况下的w,q所对应的值，然后明白这些情况下晶体的实际运动状况。能够理解一维双原子链，在实际三维晶体中的实际代表意义能够根据每种格波的声子数求出每种格波对应的振幅。能够计算声子速度，公式记住：三维晶格振动:三维晶格振动的色散关系的求解推导过程不要求，但是要求记住三维晶格振动的色散关系结果，声学支和光学支的数目关系？三维伯恩卡曼边界条件是如何引入的？这部分是怎么与前面倒格矢联系起来的？能够计算q在倒空间的分布密度？计算倒空间的胳膊总数？科恩

22、异常的定义是什么？光学支部分不要求。确定晶格振动的试验方法:实验原理能够简单描述，一些重要的参数能够记住，比如中子波长量级、中子能量量级、声子能量量级等典型晶体的声速，比如金刚石，pb等。本章习题：基泰尔课后题77页：1、2、3、5、6、7（a,b）第四章 晶格振动的热学性质第一节 晶格热熔【本节考点】1、杜隆柏悌定则2、爱因斯坦模型3、晶格振动模式密度4、德拜模型及定性解释【本节重难点】1、德拜模型及定性解释【知识点详细讲解】杜隆柏悌定则：固体中讨论的热熔一般指定容热熔,在热力学中，其中是固体的平均内能。固体内能有两部分贡献：一是来源于晶格热振动，称为晶格热熔；一部分来源于电子热振动，称为电

23、子热熔；在很低温度下，电子热运动对热熔贡献明显。由能量均分定理，每一个简谐振动的平均能量是，若固体中有N个原子，则有3N个简谐振动模，则平均能量,热熔：，即热熔是一个与温度材料性质无关的常数。当然这是在高温情况下。在低温时，热熔不再表示为常数，而是随温度很快下降趋于零。为了解释这现象，先后有爱因斯坦模型和德拜模型。爱因斯坦模型:由量子理论，各个简谐振动各个格波的能量本征值是量子化的，为：，将晶体看成一个热力学系统，在简谐近似下各个简正坐标所代表的振动模是相互独立的，因而认为这些振子构成近独立的子系。 某个格波的平均能量为：最终得出：前一项称为零点能，后一项称为平均热能。所以每个模式对热熔的贡献

24、就是：对于高温极限情况下：，此时的差异性可以忽略，高温时对于所有的模式，单一模式的热熔都差不多为，频率的而影响可以忽略了。对于低温极限情况下：.低温极限情况下，晶体热熔将趋于零，从物理上看，低温极限下，振动被冻结在基态，很难激发。低温时能激发的也就是一些低频声子，高频声子也被激发的非超少。爱因斯坦认为：晶体中所以模式都是同一频率振动，都设为故有黄昆书125页3-130式。但是与实验相比，比杜隆柏悌定则所描述的要进不来，但是在低温范围爱因斯坦理论值下降的太快了，与实验不符。 我们知道各个独立地简谐振动符合近自由粒子分布即波尔兹曼分布，但是声子是符合普朗克分布的（波尔兹曼分布，费米分布什么的要搞清

25、楚），下面是推导过程：晶体中声子温度为声子总能量表示成所以声子模式的总和，即：基泰尔书80页公式（1）. 考虑一组处于热平衡的全同谐振子，依照波尔兹曼因子，处于第n+1个量子激发态的谐振子数目与处在第n个量子态的谐振子数目之比：基泰尔书80页第三式(回归课本详细看本部分内容) 具有不同频率的谐振子集合的热平衡能量为：假定在频率范围内晶体具有给定的极化模p的振动模式数是，于是我们有基泰尔书80页第九式。所以关键是态密度的表达形式。晶格振动模式密度： 一维情况下的态密度：一维时波矢密度为，所以，一维时的色散关系：这样可以推导出一维时的态密度：，注意以上是对于某一极化振动模而言的，一般情况下，一维时

26、每个波矢有三个极化振动模式，一般认为三个模式所对应的力常量是相同的，故一维时只算声学支情况下 二维时的态密度：波矢密度 三维时态密度：我们定义，在德拜近似中，由于是研究低温环境下的晶体热容，这时候声学支高能声子及光学支声子都被激发的很少，由普朗克分布可以看出来这点。这时候对热熔有贡献的大部分是低频声子，所以我们假定色散关系为：，三维k空间半径为k的波矢球内的所有波矢数 应用上面公式便可求出：所以根据上面公式可以求出三维态密度的表达式，最终我们求出三维情况下晶体的低温热容：注意：1.德拜模型中声学支一共有三支，上面所求的是其中一支的态密度，而求热容是要求总的态密度即三个声学支的态密度相加，但是由

27、于三个极化方向的声速可能不一样，我们用这个公式来处理，即：。 2.德拜频率：样品中有N个原胞，那么声学声子的总数就是N个。假设在截至波矢的波矢球内，所有的波矢数为N个，那么对于(基泰尔书83页23式)，还有德拜温度的概念，以及一些重要材料的德拜温度，声速什么的要总结好，记熟练。我们也可以采用简化维像的方法来定性得出（要参照热容表达式给出），波矢空间所有（参照课本）第二节 晶格振动状态方程及热膨胀 这部分多年没有考试涉及计算题的，一般涉及问答题，但是大纲中对这部分要求比较高，所以本部分公式及推导最好能看看。重点是格林艾森定律的应用，和一些解释性的问题，比如简要说说晶体为什么会膨胀？第三节 晶格热

28、传导 固体中温度温度分布不均匀时会有热流从高温流向低温，此过程称为热传导。定义热流密度，称为热导率。固体中可以通过电子运动导热也可以通过格波导热。晶体导热是这些粒子间的相互作用过程的体现，描述这个过程的数学模型。把晶格热运动体系看成是声子气体，平均声子数由温度决定： 可见样品中存在温度梯度时，声子气体的密度分布是不均匀的，高温处声子密度高，因此存在定向运动，即声子的扩散，因此晶格热传导可以看成声子扩散运动的结果。 其中各个量的实际意义要搞清楚。声子的自由程取决于两个因素：声子间的碰撞和固体缺陷对声子的散射。 高温情况下晶体的热容近似为常量，声速在高低温情况下大题保持一致为常量（固体中的声速）。

29、那么由公式可知，高温时平均声子数而自由程，故高温下热导率与温度成反比。 极低温时，声子数很少，声子间的碰撞非常少，因此声子自由程通常由晶体缺陷决定，一般为常量。而极低温时晶体热熔，故。中间低温区，温度降低时参与碰撞U过程的短波声子数急剧减少，导致自由程快速增加（黄昆书公式144页），所以此时温度下降，热导率上升。见黄昆书147页图片。第五章 自由电子费米气（以基泰尔书为准）【本章考点】1、一维情况下的能级2、三维情况下的自由电子气3、费米统计和电子气的热容4、金属电导率、欧姆定律、金属电阻率的实验、霍尔效应和金属的导热性。【本章重难点】1、费米统计和电子气的热容2、金属电导率、欧姆定律、金属电

30、阻率的实验、霍尔效应和金属的导热性。【知识点详细讲解】概述：本章开始研究晶体中电子的性质，电子气模型适用于金属，借用此模型可以理解简单金属的许多物理性质。即使在自由电子模型最适用的金属中，传导电子的电荷分布实际上也与离子实的强静电势相关。尽管如此，在讨论主要依赖传导电子动理学的相关性质时，自由电子模型获得很大成功。最简单的金属是碱金属。自由钠原子价电子在3s态，在形成晶体中，这一价电子变成3s倒带中的一个传导电子。N个钠原子的单价晶体中将有N个传导电子和N个正离子实，金属晶体中离子实的空间电荷分布基本上和自由离子中的分布一样。自由钠离子的半径为0.98,而金属钠晶体中最近邻距离的一半是1.83

31、.电子气模型的主要成就：欧姆定律公式及电导率热导率之间的推导。但经典理论不能解释传导电子的比热容及磁化率（由麦克斯韦分布函数的局限性带来的）。许多试验表明传导电子可以沿着一条直线路径自由的杜越许多个原子间距，而不会由于同别的传导电子或离子实的碰撞发生偏转。在非常纯的样品中，低温下电子的平均自由程可达1cm。为什么对电子这么透明？这一问题的解决需针对两个方面：1.排布在周期性晶格上的离子实不会使电子发生偏转，因为物质波在一个周期性结构中可以自由传播。2.一个传导电子仅受其他传导电子不频繁的散射。这些问题都需要自由电子模型加上周期性势场边界条件来解决。一维情况下的能级：一个质量为m的电子被限制于宽

32、度为L的无限深势井内，这个电子的波函数是薛定谔方程的一个解；如果不计势能，便有，其中p为动量。于是有：，其中为轨道能量。用轨道这个词来解释单电子系统波动方程的解。也用这个词区分N个电子系统波动方程给出的严格意义上的量子态和一种近似量子态，后者是通过用N个电子分别隶属于N个不同轨道来构建的，其中每个轨道都是单电子波动方程的一个解。只有在电子模型之间不存在相互作用时，轨道模型才是精确的。无限深势井的边界条件为如果波函数为正玄形式并且L是半波长的整数倍，那么边界条件便可得到满足。于是：故可以得出能量表达式：,n是轨道量子数，而是磁量子数，按照自旋取向分别取值为：，所以每个轨道可容纳两个电子。表示被N

33、个电子填满的能量最高的能级。所以的表达式(详细内容见基泰尔书)三维情况下的自由电子气：类似于电子被束缚于三维边长为L的立方体中。 波函数为驻波的形式，引入周期性边界条件，得出三个方向波矢的取值，轨道能量此部分基泰尔书给出的很具体，以书为准。周期性边界条件的引入使得可以用前面倒空间的相关知识。这个模型的前提是电子之间没有相互作用。费米统计和电子气的热容：能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动可以被看做是独立的，具有一系列确定的本征态，由不同的波函数k来标记。这样一个单电子近似所描述的宏观态就可以就可以用电子这些本征态间的统计分布来描述。费米统计分布函数：,其中可以由系统的电子总数N确定，即：

34、，并不代表一个电子本征态的能量，而是指这个电子系统的化学势。这部分我们看黄昆书，以黄昆书为准。其中要注意费米球在0K和温度为Tk时的比较，来说明金属电子的电导率及热导率由哪些部分电子参与。注意费米能的定义，是0k时填充满时最高被占据的费米能级。变化后的费米能不叫费米能叫系统的化学势。费米能级的推导过程要看一下，试着大体能推出来。能够定性的理解为什么化学势会随着温度而变化。电子热容的推导过程大体能够推导出来，实在没时间必须能够写出热容的表达式，三维情况下的结果要记住，一维二维的简单情况的推导过程要熟悉。金属电导率、欧姆定律、金属电阻率的实验、霍尔效应和金属的导热性：本部分以基泰尔书为准，讲义中就

35、不罗列了。 第六章 能带第一节 布洛赫定理【本节考点】1、知道布洛赫定理的物理意义2、能够自己证明布洛赫定理【本节重难点】1、证明布洛赫定理【知识点详细讲解】能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。能带理论是一个近似理论，在固体中存在大量电子，其运动是相关联的，每个电子的运动都要受其他电子运动的影响，这样许多电子系统的解显然是不可能的。能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。大多数情况下人们关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生很大改变，而内层电子变化比较小，可以把原子核及内层电子近似看成一个离子实。这样价电子的势场，包

36、括离子实的势场，其他价电子的势场可以考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用。能带理论的出发点是固体中电子不再束缚于个别的原子，而在整个固体内运动，称为共有化电子。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中的运动，其波动方程： 布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：，即可以把波函数写成：布洛赫函数是平面波与周期性函数的乘积。 关于布洛赫定理的证明，黄昆书上给出了过程比较详细。证明过程要细看一边。 注意证明过程中的k为简约波矢，对应于平移操作本征值的量子数，物理意义是原胞之间电子波函数相位的变化如果k变化一个倒格矢。完全不影响推导过程的中的本征值，为了使k能一一对

37、应地表示本征值，必须把k限制在一定范围内，使其可以概括不同的本征值取值。第二节 一维周期场中的近自由电子近似【本节考点】1、模型和微扰计算2、能带和带隙【本节重难点】1、求一维二维情况下晶体的带隙【知识点详细讲解】模型和微扰计算：将平均势场作为零级近似，将周期场的起伏作为微扰来处理。下面详细推导过程要理解并且能够熟练推导。本部分用黄昆的书作详细讲述。本部分容易涉及计算题。能带和带隙：通过前面公式推导知道带隙是怎么产生的，带隙的变化趋势符合什么规律，带隙的大小随能级的变化。本部分也是以黄昆书为主进行详细讲述。第三节 三维周期场的近自由电子近似大体看一下推导过程，熟悉一下推导过程，跟一维的情况下思

38、路差不多，不要求能推导，要知道一些结论性的东西，带隙的宽度表达式，布里渊区的图像要清楚。为什么发生能带的交叠？布里渊区能态数目的计算等要熟悉，本部分也是以黄昆书为主进行详细讲述。第四节 紧束缚近似原子轨道线性组合法紧束缚近似的出发点是，电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其他原子场的作用看成是微扰。由此可以得到原子的能级和晶体能带的对应关系。本部分黄昆书上给出详细的推导过程，以黄昆书为主进行详细讲述。本部分极易涉及大的计算题。第五节 能态密度和费米面 熟悉三维能态密度的表达式，能够大体熟悉在自由电子模型下，近近自由电子模型下，紧束缚模型下所对应的态密度图像，等能面图像等。能够通过

39、分析x射线衍射普来分析晶体的金属性等。以黄昆的书作详细讲述第七章 晶体中电子在电场及磁场中的运动【本章考点】1.能带的填充2准经典运动3恒定电场下电子的运动4导体、绝缘体和半导体的能带论解释5回旋共振【本章重难点】1、准经典运动2、恒定电场下电子的运动及有效质量3、回旋共振【知识点详细讲解】能带的填充：在晶体的周期场中运动的N个电子，他们的基态可以用类似的办法来讨论，这时单电子能级用用表示，一般不具有简单的自由电子的形式。N个电子填充这些能级中最低的N个，具有两种情况：(1)电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带全都是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级与导带最低能级之

40、间的能量范围称为带隙。对应于绝缘体和半导体。带隙宽度大的为绝缘体，带隙宽度小的为半导体。（此部分见黄昆书221页，以此页为开始细讲）准经典运动：能带论是讨论了电子在周期场中运动的本征态和本征值。只知道了电子在固体中的能级（本征值），就可以根据统计物理的一般原理，具体讨论有关电子统计的各种问题，下面两章中金属电子的热熔量和半导体电子的热激发的讨论就是这方面的实例。又如，分析各种各样涉及电子的量子跃迁的问题就是需要首先了解电子的本征值和本征态，光吸收的问题和电子衍射的问题都是这方面的重要实例。还有一类问题就是讨论晶体中电子在一个外加场的作用下的运动，这个外场可以是外加的电场，磁场，掺入晶体的杂质势

41、场等。通常外加的场要比晶体的周期场弱得多，很自然地想到应该以晶体中周期场的本征态为基础来进行讨论。讨论的方法是：一种是解含有外加势场u的波动方程:(通常是近似求解)另一种是把电子运动近似当做经典粒子来处理，一般输运过程的问题。所谓波包是指该粒子空间分布在附近范围内，动量取值为附近范围内.晶体内可以用布洛赫波组成波包。由于波包包含能量不同的本征态，必须考虑到时间因子，把布洛赫波写成：把与相邻近的各状态叠加起来就可以组成与量子态相对应的波包。为了得到较稳定的波包，必须接近于波包中心：粒子的速度：我们记得必须很小，参考在布里渊区的变化，所谓很小，应该是相应于布里渊区的限度而言的，所以：，即波包远大于

42、原胞。实际问题中，只能限制在这个限度内才能把电子看成是准经典粒子。例如再输运过程中，只能当自由程远大于原胞的情况下，才能把电子看做一个准经典粒子。注意到波包函数中还有一个因子，是以原胞为周期的函数，只是给波包附加一定的细致结构而不影响整个波包的形状。表示为把处在状态的电子看作是准经典粒子的时速。实际上，可以证明上式严格等于电子速度在态的平均值。 在外力作用下状态的变化和准动量。如果有外力作用在电子上，显然时间内，外力对电子将做功，其值为： 电子的能量也必须有相应的变化。由于电子能量E(k)决定于状态k,这说明在外力的作用下，状态k必须有相应的变化dk。根据功能原理得： 所以：，所以得出结论在平

43、行于的方向与的分量是相等的，在垂直于速度的方向上： 上式是有外力作用下运动状态变化的基本公式，例如在恒定外电场（）作用下，电子在空间做匀速运动。其中取代了经典力学中的动量，具有动量的相关性质，但是应当注意，布洛赫波并不对应于确定的动量（即不是动量的本征态），而且，也不等于动量算符的平均值。加速度和有效质量：这是电子准经典运动的两个基本关系式，从这两个基本关系式出发可以直接写出外力作用下的加速度公式，因为外力作用可以引起波矢k的变化，即加速度写成分量的形式：如黄昆书241页下面公式。接下来的内容在黄昆书中细细讲述。明确有效质量的引入，是怎么引入的，有什么实际意义，深入理解有效质量的意义。有效质量

44、实际上是包含了周期场的作用，在周期场作用下的一种等效质量。讨论以简单立方晶体，紧束缚近似下的s能带为例，讨论有效质量地特点.恒定电场下电子的运动：以一维紧束缚近似的结果为例讨论晶体中电子在恒定电场作用下的运动规律。一维紧束缚近似下的，一维紧束缚近似下的E(k)关系：，其中i代表不同能级。不同的原子能级代表的对应的能带中不同。若，为带底，为带顶。可以得出电子速速及有效质量：将黄昆书245页公式。 将分别画在波矢空间中，得到黄昆书246页图。 在此图的基础上讨论电场作用下电子的运动。设电场力沿轴的正方向，由:,电子在k空间做匀速运动，但是作为准经典运动电子永远保持在一个能带内运动，但是实际不是这样

45、的，我们知道电子可以跃迁，由一个能级跃迁到另外一个能级，由一个能带跃迁到另外一个能带，所以准经典运动模型具有这样的局限性。 电子在k空间的匀速运动意味着电子的本征能量沿函数曲线周期变化。电子在k空间的运动过程具体看黄昆书247页中间的自然段 电子速度的震荡意味着电子在实空间的震荡。我们知道表示的是电子在晶体周期场中的能量本征值，当有外电场时，附加的静电位能，在上面的例子中电场沿方向，电位V随x增加，静电位能沿x轴下降。由于外力的作用使电子的能量发生变化，从而引起电子的状态的变化。电子遇到带隙，相当于存在一个位垒，在准经典运动中，电子局限于同一能带中运动，电子在遇到位垒后将全部被反射回来。这就是

46、电子的震荡。注意上述现象很难被观察到，因为电子在运动过程中将不断受到声子，杂质和缺陷的散射，电子来不及完成震荡运动就被散射破坏掉了。在准经典运动的框架中，当电子运动遇到带隙时将被全部反射回来，而按照量子理论，电子遇到位垒时将有部分穿透位垒，部分被反射回来，穿透位垒的几率取决于位垒的高度和长度。导体、绝缘体和半导体的能带论解释：能带论对导体，绝缘体和半导体的解释是能带论的一大成功。满带电子不导电：此部分我们详细看黄昆书251页部分。导体和非导体的模型：此部分我们详细看黄昆书253页内容。近满带和空穴：黄昆书254页详细讲述。回旋共振测电子的有效质量：此部分在10年曾经考过，有效质量得出的推导过程

47、要熟悉，此部分我们以刘恩科的半导体物理中关于有效质量作参照。详细推导，比如题目：硅晶体某个方向的有效质量是多少？下面详细讲述：（以刘恩科半导体物理为主）半导体中的电子在外力的作用下，描述电子运动规律的方程中出现有效质量，而不是电子的有效质量。这是因为中的f并不是电子受力的总和（f是受的电场力），半导体中的电子即使在没有外加电场作用时，也要受到半导体内部原子及其他电子的势场的影响。当电子在外力作用下运动时，一方面受到外电场力的作用而运动，一方面受到半导体内部原子及电子的相互作用。所以电子的加速度应该是半导体内部势场和外电场作用的综合效果。但是要找出内部势场的具体形式并求得加速度是比较困难的，引进

48、有效质量后问题变得简单了，直接把外力f和电子的加速度联系起来了，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。因此有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力的作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。而且有效质量可以由实验来测定。 有效质量的计算于E与K的关系，而这种关系由于倒空间的不同，以及不同能级态的不同而有很大的复杂性，表现出各向异性。我们主要关心的是价电子的有效质量，即导带中的电子的有效质量。所以我们将导带中的有效质量在极值附近展开，注意导带的极值点并不一定是在附近，因为对于紧束缚模型而言，有可能在其他点存在极值，这个应该由紧束缚模型的表达式可以看出。