自动控制原理(胡寿松版)课件第五章

1、30/4/200906/ec/C180/黄山学院信息工程学院黄山学院信息工程学院 自动化专业自动化专业自动控制原理自动控制原理第五章 频率分析法第五章 频率分析法 在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。 频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，因而可避免繁琐复杂的运算。来分析和设计控制系统的性能。第一节 频率特性第二节 典型环节与开环系统的频率特性第三节 频率域稳定判据第五节 闭环系统的频域性能指标第四节 稳定裕度第五章 频率分析法第一节 频率特性 频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频

2、率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示法第五章 频率分析法G(S)R(s)C(s) 系统结构图如图系统结构图如图: 一 频率特性的定义设系统传递函数为设系统传递函数为 第一节 频率特性特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反变换得变换得: c(t)=A1 e-j tej t+A2 ni=1esit+Bi 系统的稳态响应为系统的稳态响应

3、为 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系数求待定系数: A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理: -jG(j )G(-j )=|G(j )|e根据根据 -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系统正弦信号作用下的稳态输出是与系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为值之比为| |G(j

4、G(j)|,)|,稳态输出与输入间的稳态输出与输入间的相位差为相位差为G(jG(j) )。 系统输入输出曲线系统输入输出曲线 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定义频率特性为定义频率特性为: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅频特性：幅频特性： )=|G(j )|A( 相频特性：相频特性： G(j ) ( )= 频率频率特性表征了系统输入输出之间的特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。关系，故可由频率特性来分析系统性能。第一节 频率特性例 求图所示RC电路的频率特

5、性，并求该 电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解解: 传递函数为传递函数为 G(s)=Ts+11T=RC频率特性频率特性 电路的稳态输出电路的稳态输出: +-ucur+-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一节 频率特性0-80-60-40-200()12345TTTTTRC电路的频率特性曲线 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT 频率

6、特性可表示为：频率特性可表示为：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ( )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一节 频率特性0ReIm=0二 频率特性的几何表示法 频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下两种。 1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线又幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线称奈魁斯特曲线 幅相频率特性曲线 也称极坐标图也称极坐标图第一节 频率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德图对数频率特性曲线又称伯德图. 对数幅频特

7、性十倍频程十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 为方便只表示L( )=20lgA()单位为单位为 dB 斜率斜率 对数相频特性对数相频特性) ( 第一节 频率特性第一节 频率特性1 1、纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；、纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。值，是不均匀的。 这种坐标系称为半对数坐标系。这种坐标系称为半对数坐标系。2 2、在横轴上，对应于频率每增大、在横轴上，对应于频率每增大1010倍的范围，称为倍的范围，

8、称为十倍频程十倍频程(dec)(dec)，如，如1-101-10，5-505-50，而轴上所有十倍，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。频程的长度都是相等的。3 3、为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，、为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。坐标分贝数的变化量。注意注意3对数幅相曲线 第一节 频率特性对数幅相曲线又称尼科对数幅相曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图。尔斯曲线或尼科尔斯图。其特点其特点是纵坐标为是纵坐标为 ，单，单位为分贝（位为分贝（dBdB），横坐），横坐标为标为

9、，单位，单位为度，均为线性分度，为度，均为线性分度，频率频率 为参变量。下为参变量。下图为图为RCRC网络网络时的尼科尔斯曲线。时的尼科尔斯曲线。 L( ) 0.5T 第五章 频率分析法第二节 典型环节与系统频率特性 频率特性法是一种图解分析法，它是通频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具它具有一些明显的优点有一些明显的优点.一、典型环节及其频率特性二、控制系统开环频率特性三、传递函数的频域实验确定第二节 典型环节与系统的频率特性一、典型环节及其频

10、率特性1典型环节（1 1）最小相位系统环节）最小相位系统环节(0)KK 1/(1)(0)TsT 1 1）比例环节）比例环节2 2）惯性环节）惯性环节3 3）一阶微分环节）一阶微分环节4 4）振荡环节）振荡环节5 5）二阶微分环节）二阶微分环节6 6）积分环节）积分环节7 7）微分环节）微分环节1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 1/ss第二节 典型环节与系统的频率特性（2 2）非最小相位系统环节）非最小相位系统环节(0)KK 1/ (1)(0)TsT 1 1）比例环节）比例环节2 2）惯性环节）惯性环节3 3）一阶微分环节）一阶微

11、分环节4 4）振荡环节）振荡环节5 5）二阶微分环节）二阶微分环节1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 除了比例环节外，非最小相位环节和与之相除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。置。 由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为由于开环传递函数的分子分母多项式的系数皆为实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式，实数，可以将其分解成若干典型环节的串联形式， 即即 NiisGsHsG1)()()(第二节 典型环节与系统的频率特性设典型环节的频率特性

12、为设典型环节的频率特性为)()()(ijiieAjG则系统开环频率特性为则系统开环频率特性为 )(11 )()()(NiijNiieAjHjG系统开环对数幅频特性为系统开环对数幅频特性为NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸结论：系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特典型环节频率特性的合成；而系统开环对数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一性，则表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一更为简单的形式。更为简单的形式。2. 典型环节的频率特性1)比例环节0KReIm (1) 奈氏

13、图 G(s)=K第二节 典型环节与系统的频率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )对数相频特性：对数相频特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2)积分环节 (1) 奈氏图奈氏图 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： =-20lgL( )=20lgA() 对数相频特性：对数相频特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90o ( )=1L( )=-

14、20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二节 典型环节与系统的频率特性 3)微分环节 (1) 奈氏图奈氏图 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性对数幅频特性： L( )=20lgA() =20lg 对数相频特性：对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二节 典型环节与系统的频率特性4)惯性环节G(s)=1Ts+11T+1

15、j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏图奈氏图 根据根据幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性求出特殊求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点：取特殊点： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=绘制奈氏图近似方法绘制奈氏图近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以证明：可以证明： 惯性环节的奈氏惯性环节的奈氏图是以图是以(1/2,jo)(1/2,jo)为圆为圆心，以心，以1/21/2为半径的半为半径的半圆。圆。第二节 典型环节与系统的频率特

16、性(2) 伯德图对数幅频特性：对数幅频特性： 转折频率转折频率-20dB/decT110TdB L( )T)211+( )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T频段，可频段，可用用-20dB/dec渐近渐近线近似代替线近似代替两渐近线相交点的为两渐近线相交点的为转折频率转折频率=1/T。 渐近线渐近线渐近线渐近线渐近线产生的渐近线产生的最最 大误差值为：大误差值为：21L=20lg =-3.03dB 精确曲线为精确曲线为精确曲线精确曲线相频特性曲线：相频特性曲线：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =0

17、0o ( )=1=T-90o ( )=-45o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 5)一阶微分环节G(s)=1+Ts(1) 奈氏图奈氏图 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 对数幅频特性：对数幅频特性： T)21+( )=20lg L(渐近线渐近线相频特性曲线：相频特性曲线：T tg-1 ( )

18、= 450 90=00o ( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 6)振荡环节 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏图奈氏图1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。=0.4 幅相频率特性曲线因值的不同而异。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二节 典型环节与系

19、统的频率特性(2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精确曲线与渐近线精确曲线与渐近线之间存在的误差与之间存在的误差与值有关，值有关，较小，幅值出现了峰值。较小，幅值出现了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n谐振频率谐振频率谐振峰值谐振峰值精确曲线精确曲线=0.1=0.3=0.5相频特性曲线：相频特性曲线：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o

20、( )=-90o ( )= n=-180o ( )=不同，相频特性曲线不同，相频特性曲线的形状有所不同：的形状有所不同：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线因为实际对数幅频曲线与阻尼比有关，误差曲线(,)L 为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。为一曲线簇，如下图，据此修正渐进曲线而获得准确曲线。第二节 典型环节与系统的频率特性注意：注意：在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常在实际分析对数幅频渐进特性曲线时，常用的半对数坐标系中的直线方程为：用的半对数坐标系中的直线

21、方程为：2121()()lglgaaLLk其中其中11,()aL22,()aL(/)k dB dec和和为直线上的两点，为直线上的两点，为直线斜率。为直线斜率。7)时滞环节奈氏图是一奈氏图是一 单位圆单位圆(1) 奈氏图奈氏图1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德图伯德图L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二节 典型环节与系统的频率特性 8非最小相位环节最小相位环节最小相位环节: 最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存

22、在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。 开环传递函数中没有开环传递函数中没有s右半平面上右半平面上的极点和零点。的极点和零点。 开环传递函数中含有开环传递函数中含有s右半平面上右半平面上的极点或零点的极点或零点。非最小相位环节非最小相位环节:第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性注意注意 (1) (1)、非最小相位环节与对应的最小相位环节、非最小相位环节与对应的最小相位环节 最小相位惯性环节和非最小相位惯性环节，幅最小相位惯性环节和非最小相位惯性环节，幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称实轴

23、对称 ；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于于00线对称线对称 。以上特点对于振荡环节和非最小相。以上特点对于振荡环节和非最小相位振荡环节、一阶微分环节和非最小相位一阶微位振荡环节、一阶微分环节和非最小相位一阶微分环节、二阶微分环节和非最小相位二阶微分环分环节、二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节均适用。节均适用。（2 2）传递函数互为倒数的典型环节）传递函数互为倒数的典型环节第二节 典型环节与系统的频率特性 传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于线关于0dB0dB线对称，对数相频曲线关于线对称，对数相频曲线关于0 0

24、0 0线对称。线对称。对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对数频率特性曲线的对称性同样成立。对数频率特性曲线的对称性同样成立。注意注意环节环节传递函数传递函数 斜率斜率dB/dec 特殊点特殊点()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=转折转折频率频率转折转折频率频率1 =转折转折频率频率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例积分积分重积分重积分惯性惯性比例微分比例微分振荡振荡常用典型环节伯德图特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22

25、n1+ s第二节 典型环节与系统的频率特性二、控制系统开环频率特性 频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能 , 这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。第二节 典型环节与系统的频率特性1系统开环幅相频率特性曲线 系统开环传递函数一般是由典型环系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：节串联而成的： 积分环节积分环节 的个数的个数时间常数时间常数系统的阶次系统的阶次开环增益开环增益nm幅频特性幅频特性: 相频特性相频特性: 近似绘制系统的奈氏图近似绘制系统的奈氏图: :先把特殊点

26、找先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制绘制概略开环幅相曲线概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率的方法。反映开环频率特性的三个重要因素：特性的三个重要因素：（1 1）确定开环幅相曲线的起点）确定开环幅相曲线的起点 0和终点和终点（2 2）确定开环幅相曲线与实轴的交点）确定开环幅相曲

27、线与实轴的交点(,0)xIm()()0 xxG jHj()()();0. 1, 2,xxxG jH jkk 或或x为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为Re()()()()xxxxG jH jG jH j（3 3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。 (1) 0型系统型系统= 0特殊点特殊点: 系统起点和终点系统起点和终点K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A(

28、0o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅频和相频特性幅频和相频特性: 第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 型系统型系统=1系统起点和终点系统起点和终点n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅频和相频特性幅频和相频特性: =1特殊点特殊点: =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性(3) II型系统型系统=2n-m=2n-m=1n-m=3系统起点和终点系

29、统起点和终点=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅频和相频特性幅频和相频特性: ReIm0=0=2特殊点特殊点: )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图:=1=0=3=2奈氏曲线的起点奈氏曲线的起点 奈氏曲线的终点奈氏曲线的终点n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二节 典型环节与系统的频率特性 例例1 试绘制系统的奈氏图试绘制系统的奈氏图 系统的奈氏图系

30、统的奈氏图解：解：n-m=2I型系统型系统G(s)=Ks(Ts+1)特殊点特殊点: =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二节 典型环节与系统的频率特性 例2 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o

31、( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T 0o ( )=K=0K T =第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性例例3 3 某某0 0型单位负反馈系统开环传递函数为型单位负反馈系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。试概略绘制系统开环幅相曲线。解：解：由于惯性环节的角度变化为由于惯性环节的角度变化为 -90-900 0，故该系统开环幅，故该系统开环幅相曲线中相曲线中 起点为：起点为： 终点为：终点为：系统开环频率特性系统开环频率特性 1212( );,0(1)(1)KG sK T TT sT s 0000)0(,)0(KA00180)90(

32、2)(, 0)(A)1)(1 ()(1 )(22222121221TTTTjTTKjG令令 ，得，得 ，即系统开环幅相曲线除在，即系统开环幅相曲线除在 处外与实轴无交点。处外与实轴无交点。由于由于 、 可正可负，故系统幅相曲可正可负，故系统幅相曲 线在第线在第和第和第象限内象限内 变化，系统概略开环幅变化，系统概略开环幅 相曲线如左图所示。相曲线如左图所示。 若取若取 ，由于非最小，由于非最小 相位比例环节的相角恒相位比例环节的相角恒 为为 ，故此时系统概，故此时系统概 略开环幅相曲线由原曲线绕略开环幅相曲线由原曲线绕 原点顺时针旋转原点顺时针旋转 而得而得。 0)(ImxjG0 x00)(I

33、mjG)(RejG00Kj1801800K 第二节 典型环节与系统的频率特性例例4 4 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制系统概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。解解 系统开环频率特性系统开环频率特性 1212( )( );,0(1)(1)KG s H sK T Ts T sT s )1)(1 ()(1)(1 ()()(22222121TTjjTjTKjHjG)1)(1 ()1()(22222122121TTTTjTTK第二节 典型环节与系统的频率特性幅值变化：幅值变化：相角变化：相角变化： 所以所以 的变化为的变化为 。 0)(,)0(AA001:9090j0011:

34、0901jT0021:0901jT00:00K)(0090270第二节 典型环节与系统的频率特性乃氏图的起点：乃氏图的起点：与实轴的交点：令与实轴的交点：令 ，得，得 ，于是于是系统开环幅相曲线如系统开环幅相曲线如下张图中曲线所示，下张图中曲线所示，图中虚线为开环幅图中虚线为开环幅相曲线的低频渐近线。相曲线的低频渐近线。)()0()0(Re21TTKjHjG)0()0(ImjHjG0)()(ImjHjG1 21/xTT2121)()(Re)()(TTTKTjHjGjHjGxxxx第二节 典型环节与系统的频率特性j)(21TTK2121TTTKT012例例5 5 已知系统开环传递函数为已知系统开

35、环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。试概略绘制系统开环幅相曲线。解解 系统开环频率特性为系统开环频率特性为 起点：起点： 终点：终点： 与实轴的交点：与实轴的交点： (1)( )( );, ,0(1)KsG s H sKTs Ts222()(1)()()(1)KTjTG jH jT (0 ), (0 )90 ;A ( )0, ( )270 .A 1()()xxxTG jH jK 第二节 典型环节与系统的频率特性因为因为 从从 单调减至单调减至 ，故幅相曲线在第第，故幅相曲线在第第象限与象限与第第象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。 90270第二节

36、典型环节与系统的频率特性例例6 6 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试绘制系统开环概略幅相曲线。试绘制系统开环概略幅相曲线。解解: : 开环幅相曲线的起点：开环幅相曲线的起点： 终点：终点：由开环频率特性表达式知由开环频率特性表达式知 的虚部不为零，故与实轴无交点。的虚部不为零，故与实轴无交点。 22( )( );,0(1)(1)nKG s H sK Ts Tss2222()()()(1)(1)nK TjG jH jT( 0 ) 0 )90G jH j ()()0360G jH j G jHj第二节 典型环节与系统的频率特性注意到开环系统含有等幅振荡环节注意到开环系统含有等幅振荡环节

37、，当，当 趋于趋于 时，时， 趋于无穷大，而相频特性趋于无穷大，而相频特性 取取 在在 的附近，的附近，相角突变相角突变 ，幅相曲，幅相曲线在线在 处呈现不连续处呈现不连续现象。作系统开环概略现象。作系统开环概略幅相曲线如图所示。幅相曲线如图所示。 0n()nA11()90180 ;,0()90180 ;,0nnnnnnnntg Ttg T n180n第二节 典型环节与系统的频率特性第二节 典型环节与系统的频率特性绘制开环概略幅相曲线的规律：绘制开环概略幅相曲线的规律：1 1）开环幅相曲线的起点，取决于比例环节）开环幅相曲线的起点，取决于比例环节K K和系统积分或微和系统积分或微 分环节的个数

38、分环节的个数 （系统型别）。（系统型别）。 ，起点为原点；，起点为原点； ，起点为实轴上的点，起点为实轴上的点K K处；处； ，设，设 ，则，则 时为时为 的无穷远处，的无穷远处， 时为时为 的无穷远处。的无穷远处。2 2）开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母）开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母 多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。 0004(0,1,2,;1,2,3,4)ki ki0K ( 90 )i 0K ( 90 ) 180i ,()()nmG jH jK ,()()0 ()( 90 )nmG jH jnm

39、 第二节 典型环节与系统的频率特性3 3）若开环系统存在等幅振荡环节，重数）若开环系统存在等幅振荡环节，重数 为正整数，即开为正整数，即开 环传递函具有下述形式环传递函具有下述形式 不含不含 的极点，则当的极点，则当 趋于趋于 时，时， 趋于无趋于无穷，而穷，而即即 在在 附近，相角突变附近，相角突变 。 l11221( )( )( )( )1nG s H sG s H ss 11Gs Hsnjn A1111()()()()()()180nnnnnnGjHjl ( ) n180l 2系统开环对数频率特性 系统的开环传递函数一般由典型系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成：环节串联而成： 开环

40、系统的频率特性：开环系统的频率特性： G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)Gn(s)=Gi(s)ni=1对数幅频特性：对数幅频特性： 对数相频特性：对数相频特性： n)=Gi(ji=1G(j )=Ai(ni=1)e ji()=20lgAi(ni=1L( )=20lgAi(ni=1)=Li(ni=1 )= ( i(ni=1 ) 将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。第二节 典型环节与系统的频率特性 绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线；

41、第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 已知开环传递函数，试画出系统的已知开环传递函数，试画出系统的 开环对数频率特性曲线。开环对数频率特性曲线。解：解： G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)画出各环节的对画出各环节的对数频率特性曲线数频率特性曲线 G1(s)=10-20dBdec3142L1L3L2L41100.5-20020400-180 -9090-40dB/decG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11 各环节曲线相加，各环节曲线相加，即为开环系统的对数即为开环系统的对数频率特性曲线。频率特性曲线。dB L( )-20d

42、B/dec) ( 可知：可知： 低频段幅频特低频段幅频特性可近似表示为：性可近似表示为：)A( K)=20lgK-20lgL( 低频段曲线的斜率低频段曲线的斜率-20 dB/dec低频段曲线的高度低频段曲线的高度L(1)=20lgK第二节 典型环节与系统的频率特性 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。实际的作图过程可简化为：实际的作图过程可简化为：1) 将开环传递函数标准化；2) 在坐标中标出各环节的转折频率；3) 过=1 ，L()=20lgK 这点，作斜 率为-20dB/dec 的低频渐近线；4) 每到某一环节的转折频率处， 根据该环节的特性改变一次渐近线

43、的斜率。5) 画出对数相频特性的近似曲线。第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 试画出系统的试画出系统的伯德图伯德图 解：解： G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)将式子标准化将式子标准化 各转折频率为：各转折频率为： 1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/dec0-180 -90-40dB/dec-2002040低频段曲线：低频段曲线：20lgK=20lg10=20dB相频特性曲线：相频特性曲线：=0=dB L( ) ( 1=12=2 3=20-90o ( )=-180o ( )=第二节 典型环节与

44、系统的频率特性三、传递函数的频域实验确定三、传递函数的频域实验确定 频率特性具有明确的物理意义，可用实验的方法来确定它.这对于难以列写其微分方程的元件或系统来说,具有很重要的实际意义。1 1、用实验法确定系统的伯德图、用实验法确定系统的伯德图2 2、根据伯德图确定传递函数、根据伯德图确定传递函数第二节 典型环节与系统的频率特性1、用实验法确定系统的伯德图 给系统加不同频率的给系统加不同频率的正弦信号，测量出系正弦信号，测量出系统的对数幅频特性和统的对数幅频特性和相频特性曲线。相频特性曲线。2. 用标准斜率的直线用标准斜率的直线近似被测对数幅频特近似被测对数幅频特性曲线，得曲线的渐性曲线，得曲线

45、的渐近线。近线。-20020400-180 -90-270 dB L( ) ( 2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二节 典型环节与系统的频率特性2、根据伯德图确定传递函数系统传递函数的一般表达式为：系统传递函数的一般表达式为： 根据伯得图确定传递函数主要是确定增根据伯得图确定传递函数主要是确定增益益 K ，转折频率及相应的时间常数等参数则转折频率及相应的时间常数等参数则可从图上直接确定。可从图上直接确定。mG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二节 典型环节与系统的频率特性1. =0低频渐近线为低频渐近线为系统的伯德图：系统的伯德图：20lgK

46、-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=K=1020即即dB L( )cL( )=20lgA( )A( )=K12第二节 典型环节与系统的频率特性0dB L( )1-20dB/dec-40dB/dec低频段的曲线与横轴低频段的曲线与横轴相交点相交点的频率为的频率为: 2. =120lgK=1系统的伯德图系统的伯德图：因为因为故故1cL( )=20lgK0lg20lgK=200-lg120lgK=20lg 0K=0第二节 典型环节与系统的频率特性 -20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13. =2系统的伯德图：系统的伯德图：=120lgK低频段的曲线与横低频段的曲线与

47、横轴相交点轴相交点的频率为的频率为:因为因为故故dB L( )01c2L( )=20lgK0lg20lgK=400-lg120lgK=40lg 02K=0第二节 典型环节与系统的频率特性r =1-2 2 n例例 由实测数据作出系统的伯德图如图由实测数据作出系统的伯德图如图 所示，试求系统的传递函数。所示，试求系统的传递函数。0.5-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dB0-180 -90-270 解解: 由图可得：由图可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：得：根据根据00.707得得dB L( ) ( =11- 2 2 01=0.922=0.38=0

48、.38由频率曲线得由频率曲线得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=1002K=2n2T =0.381)2 T2=(=0.25n第二节 典型环节与系统的频率特性例 已知采用积分控制液位系统的结构和对 数频率特性曲线,试求系统的传递函数。K1sTs+1-hr(t)h(t)解解:将测得的对数曲线近似成渐近线:1-20dB/dec4-40dB/dec(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1-2000-180 -90dB L( ) ( 第二节 典型环节与系统的频率特性第三节 频率域稳定判据第五章 线性系统的频域分析法 19321932

49、年，乃奎斯特年，乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)提出了另一种判提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为定闭环系统稳定性的方法，称为乃奎斯特稳定判乃奎斯特稳定判据据，简称，简称乃氏判据乃氏判据。这个判据的主要特点是利用。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，乃氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域统稳定性的方法。因此，乃氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。控制理论中有着重要的地位。 第三节 频率域稳定判据一、一、 奈氏判

50、据的数学基础奈氏判据的数学基础1 1、辐角原理、辐角原理 设有一复变函数为设有一复变函数为 )()()()()(2121nmpspspszszszsKsF式中，式中，s s+j+j为复变量，为复变量，F F( (s s) )为复变函数为复变函数, , 记记F F( (s s)=)=U U+j+jV V。 如果在如果在s s平面画一条封闭曲线平面画一条封闭曲线, , 并使其不通过并使其不通过F F( (s s) )的任一的任一零、极点零、极点, , 则在则在F F( (s s) )平面上必有一条对应的映射曲线平面上必有一条对应的映射曲线, , 如图如图所示。所示。js1s2s30s平 面F(s)

51、平 面jVF1(s)F2(s)F3(s)0U图：图：s s平面与平面与F F( (s s) )平面的映射关系平面的映射关系第三节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据 若在若在s s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的, , 则则在在F F( (s s) )平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的, , 也也可能是逆时针的可能是逆时针的, , 这取决于这取决于F F( (s s) )函数的特性。函数的特性。 我们感兴趣的不是映射曲线的形状我们感兴趣的不是映射曲线的形状, , 而是它包围坐标而是它包围坐标原点的次数和

52、运动方向原点的次数和运动方向, , 因为这两者与系统的稳定性密切因为这两者与系统的稳定性密切相关。相关。 根据式根据式(1)(1)，复变函数，复变函数F F( (s s) )的相角可表示为的相角可表示为 njjmiipszssF11)()()( 假定在假定在s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F F( (s s) )的一个零点的一个零点z z1 1，而其他零极点都位于封闭曲线之外而其他零极点都位于封闭曲线之外, , 则当则当s s沿着沿着s s平面上的平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时封闭曲线顺时针方向移动一周时, , 向量向量( (s s- -z z1 1) )的相角变化的相

53、角变化-2-2弧度弧度, , 而其他各相量的相角变化为零。这意味着在而其他各相量的相角变化为零。这意味着在F F( (s s) )平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周, , 也就是向量也就是向量F F( (s s) )的相角变化了的相角变化了-2-2弧度弧度, , 如图所示。如图所示。 若若s s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F F( (s s) )的的Z Z个零点个零点, , 则在则在F F( (s s) )平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转转Z Z周。周。 第三

54、节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据js平面q2p2j1z1q1p10j2z2sjVF(s)0UF(s)平面图：封闭曲线包围图：封闭曲线包围z z1 1时的映射情况时的映射情况 同理：若同理：若s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F F( (s s) )的的P P个极点个极点, , 则当则当s s沿着沿着s s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时平面上的封闭曲线顺时针移动一周时, , 在在F F( (s s) )平面平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P P周。周。幅角原理幅角原理 设设s s平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封

55、闭曲线包围了复变函数F F( (s s) )的的P P个极点和个极点和Z Z个零点个零点, , 并且此曲线不经过并且此曲线不经过F F( (s s) )的任一的任一零点和极点零点和极点, , 则当复变量则当复变量s s 沿封闭曲线顺时针方向沿封闭曲线顺时针方向移动一周时移动一周时, , 在在F(sF(s) )平面上的映射曲线按逆时针方平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点向包围坐标原点( (P-Z P-Z ) )周。周。第三节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据2 2、复变函数、复变函数F(s)F(s)的选择的选择设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 1212()()()( )(

56、)( )()()()KmnK szszszGsG s H sspspspmn 则系统的特征方程为则系统的特征方程为 12121212121212()()()1( )( )( )1()()()()()()()()()()()()()()()()()()mnnmnnnK szszszG s H sF sspspspspspspK szszszspspspssssssspspsp 11()( )( )( )( )()niiniiszA sB sF sA ssp结论结论：*（1 1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点 辅助函数的极点是开环传递函数的极点辅助函数的极点

57、是开环传递函数的极点 （2 2）辅助函数的零、极点个数相同）辅助函数的零、极点个数相同 （3 3）F(s)F(s)与与G(s)H(s)G(s)H(s)在复平面上的几何关系在复平面上的几何关系1ImjRe)0()0(1jHjG)0()0(jHjG第三节 频率域稳定判据 为了判断闭环系统的稳定性为了判断闭环系统的稳定性, , 需要检验需要检验F(s)是否有位于是否有位于s平平面右半部的零点。为此可以选面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个择一条包围整个s平面右半部平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲的按顺时针方向运动的封闭曲线线, , 通常称为通常称为奈奎斯特回线奈奎斯特回线, , 简称简称奈奈

58、氏回线氏回线, , 如图如图所示。所示。 3 3、s s平面闭合曲线的选择平面闭合曲线的选择 图 奈氏回线 js j j0C1RC2s平面第三节 频率域稳定判据 可取下图所示的两种形式可取下图所示的两种形式图：图：G(s)H(s)G(s)H(s)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 图：图：G(s)H(s)G(s)H(s)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 第三节 频率域稳定判据4 4、G(s)H(s)G(s)H(s)闭合曲线的绘制闭合曲线的绘制1 1）若）若G G( (s s) )H H( (s s) )无虚轴上极点无虚轴上极点GH,0,sj ,0 , 90jse ()nm(, 0)Kj()nmK在在时，

59、对应开环幅相曲线；时，对应开环幅相曲线；GH在在时，对应原点时，对应原点或或点点，为系统开环根轨迹增益。为系统开环根轨迹增益。2 2）若）若G G( (s s) )H H( (s s) )有虚轴极点。当开环系统含有积分环节时，有虚轴极点。当开环系统含有积分环节时，111( )( )( )(0,( 0)G s H sG sGjs 1(0 ),(0 )( 0 )( 0 )( 90 )( 0 )AG jH jGj 第三节 频率域稳定判据 在原点附近，闭合曲线在原点附近，闭合曲线为为,0 , 90jse，且有，且有11()( 0)jGeGj故：故：)111()()( )( )jjjjGejGjeseG

60、 s H see 对应的曲线为从对应的曲线为从1( 0)Gj点起，半径为点起，半径为、圆心角为、圆心角为() 的圆弧，即可从点的圆弧，即可从点( 0 )( 0 )G jH j圆心角为圆心角为90的圆弧，如图的圆弧，如图5-31(a)中虚线所示。中虚线所示。起时针作半径无穷大、起时针作半径无穷大、第三节 频率域稳定判据第三节 频率域稳定判据当开环系统含有等幅振荡环节时，设当开环系统含有等幅振荡环节时，设1111221( )( )( )(0,()()nnG s H sG sGjs 111(90 )11221( )( )()()(2)(2)jjnnjjnneG s H sGjeGjjee 上述分析表