拉格朗日第二类方程

1、1 第三篇第三篇 完整系统动力学完整系统动力学自由度f = 广义坐标数k2 应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格朗日方程。 拉格朗日第二类方程是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。 第六章第六章 拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程3 质点系：n个质点，受d个完整约束，取k=3n-d个广义坐标：q1，

2、.， qk ，系统的位形： 6.1 动能的广义坐标表达式动能的广义坐标表达式) 1 . 1 . 6(),.,(21tqqqrrkii)2 . 1 . 6(1trqqrrijkjjii于是：系统的动能：)3 . 1 . 6(2121211iniiiiniirmrrmTtrqriji/,/其中 都是qj和t的函数4 trtrmqtrqrmqqrqqrminiiijinikjjiiijkjkjinii1111112121)()(21111trqqrtrqqrmikiijkjjiniitrtrmqtrqrmqqqrqrminiiijikjnijiijikjkjinii 11111121)()(215

3、显然，aj、bj、c都是都是qj和t的函数令再令qrqrmaijiniij1trqrmbinijiij1trtrmciniii1qqaTjkjkj11221jkjjqbT11cT210则系统的动能： T=T2+ T1 + T0 (6.1.5)式中T2、T1 、T0 分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数6 对定常系统， 中不显含时间t，即 ，于是T1 =0，T0 =0ir0/tri)6 . 1 . 6(21112qqaTTjkjkj故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。计算出系

4、统的动能后，含有 或 的项为T2，含有 的项为T1，不含 的项为T0 。见P143例6-22q qqjq q 6.2 拉格郎日第二类方程拉格郎日第二类方程一 拉格郎日第二类方程7 设有n个质点组成的质点系，受完整约束，具有f=k个自由度，可由k个广义坐标q1， q2，. ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径 )( ), 2 , 1( ),(21anitqqqrrkiiMi的虚位移（固定时间t）：)( ), 2 , 1( .12211bniqqrqqrqqrqqrrkjjjikkiiii代入质点系动力学普遍方程：)1 .1 .3(0)(1niiiiiramF8 )1

5、.1 .3(0)(1niiiiiramF)(11dqQrFkjjjniiininiiiiiicramrF11)( 0得：第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：)()( 11111eqqramqqramramjjikjniiinijkjjiiiniiii 9)()(fqrdtdvmqrvmdtdqramjiiijiiijiii为简化上式 , 需要用到以下两个关系式：Mi点的速度： 由(a)式)(.12211gtrqqrtrqqrqqrqqrdtrdvikjjjiikkiiiii广义速度式中：jq jiiijiiijiiiqrdtdvmqramqrvm

6、dtd)(10 trqriji,由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对 求偏导：jq )(hqvqrjiji将（g）对任一广义坐标ql 求偏导：)()()(2121iqtrqqqrtrqqqrqqvlijkjjliiljjikjlli将（a）式先对ql求偏导再对t求导：11 )()()()(.)()()(21212211jqtrqqqrqrtqqrqdtdtqrtdtdqqrqdtdqqrqqrdtdlijkjljilijlikjjlililili比较（i）（j）得)(liliqrdtdqv12 将下标l换成j得：)()(kqvqrdtdjiji将（h）（k） 代入（

7、f）得：)()21()21()(22lqvmqvmdtdqvvmqvvmdtdqramjiijiijiiijiiijiii13 于是（e）式为)()21()21()21()21()(1212112211111mqqTqTdtdqqvmqvmdtdqqvmqvmdtdqqramramjjjkjjjiinijiinikjjjiijiikjnijjiikjniiiinii 14 将（d）（m）代入（c）得：),1,2,( kjQqTqTdtdjjj 0 )(11jjjkjjkjjqqTqTdtdqQ 0 )1jjjkjjqqTqTdtdQ（或：由于qj彼此独立，所以：这就是拉格朗日第二类方程。(6.

8、2.5)适用范围：完整系统。15 （2）有势力、非有势力都适用（4）不含约束力。),() 1 (tqqTTjjjFjqAQ) 3( 如果作用于质点系的力是有势力，则： jjqVQ二、保守系统的拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程而拉氏方程为：16 jjjqVqTqTdtd由于V=V（q1，q2，.，qk），不含广义速度，所以0,0jjqVdtdqV jjjjqVqVdtdqTqTdtd上式为： 0 )()(jjqVTqVTdtd或：令L=T-V拉格朗日函数拉格朗日函数),1,2,( 0 )(kjqLqLdtdjj保守系统的拉格朗日第二类方程。保守系统的拉格朗日第二类方程。17 应用拉氏方程解

9、题的步骤：应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意：，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为：),1,2,( kjQj)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或jjFjqAQ 若主动力为有势力，须将势能若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数。表示为广义坐标的函

10、数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。18 例例 图示行星齿轮机构位于水平面内。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。已知杆OA受大小不变力偶M作用后，求杆OA的运动方程。 所受约束皆为完整、理想、定常的，取OA杆转角 为广义坐标。rrRrvrRvAAA)(解解：图示机构只有一个自由度19 2222222222222)(92121 )(2121)(21)(3121 212

11、121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPJvgQJTAAAO0 ; )(9261; )(926122TrRgQPTdtdrRgQPTMAQMA 20由拉氏方程：g)(92(6 0 )(926122rRQPMM rRgQP 积分，得：2122)(92(3CtCgtrRQPM22)(92(3gtrRQPM故：代入初始条件，t =0 时， 得0 0 , 02100C C QTTdtd21例例图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2，半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。解：解：系统具有一自由度，保守系统。以物块C的平衡位置为原点，取x为广义坐标：22222121212121

12、BBAAAJvmJxmT2222222221)(2121)2(21)2(212121RxRmxmRxRmxm221)78(161xmm以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则22gxmxkVst12)2(21静止平衡时弹簧的伸长stgmkst12静止平衡时有：gxmxkxmmVTLst12221)2(21)78(161xmmxL)78(8121xmmxLdtd )78(8121kxgmxkxLst4121)2(1代入到拉氏方程 得：0 xLxLdtd02)78(21kxxmm 23 例例 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l

13、 ， 摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。解解：系统为保守二自由度系统。取x , 为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正。cos2 )sin( )cos(222222l xlxllxvB24cos21)(21 )cos2(2121212122222212222212221l xmlmxmml xlxmxmvmxmTB以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点，则：cos2122glmkxVkxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmVTL , cos)(cos21cos21)(21 22122222222125 sincos)(sinsin

14、, cossincos)(22222222222221 l xml xmlmLdtdglml xmLl xmlmLlmlmxmmxLdtdkxxLlmxmmxL , cos)(221由拉氏方程： 0)( 0)(LLdtdxLxLdtd并化简得：0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 26 0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。0 0)(22221glxkxlmlmxmm 上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o, cos 1,

15、 sin ，则27 6.3 拉格朗日方程的第一积分拉格朗日方程的第一积分 拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶非线性微分方程组，要求它们的积分一般是很困难的。但是 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。 保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。 一、能量积分一、能量积分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - V 中不显含t ，即 ， 则),(jjqqLL28 )(dd1jjjkjjqqLqqLtL 0)(dd 1LqqLtjkjj或写成)( 1常数hLqqLjkjj (6.3.8)由保守系统的

16、拉氏方程可知：)(dd jjqLtqLjkjjjjjjkjqqLtqqLqqLttL 11dd)(dddd 上式称为广义能量积分或雅可比积分。 称为广义能量。)(1LqqLjkjj29于是 L= L2 + L1+ L0 (6.3.9)广义能量积分的意义：T=T2+ T1 + T0L=T-V=T2+ T1 + T0 -VV(q,t)中不含广义速度，令L2=T2L1=T1L0=T0-V(6.3.10)L2 、 L1 、 L0分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数。 由欧拉齐次函数定理：齐次函数对各变量的偏导数乘以对应的变量，相加起来，就等于这函数乘以它的次数。30(2L2 + L1)(L2 +

17、L1 + L0 )=h则由式(6.3.8)，得 这是广义能量积分的另一种表达形式。1210111212LLqqLqqLqqLqqLjkjjjkjjjkjjjkjj或 (2T2 + T1)(T2 + T1 + T0V )=h即 T2T0 +V =h (6.3.11)对定常系统：对定常系统：(由式6.1.6)， T=T2，T0 =0，则得即 T +V =h (6.3.12)广义能量积分退化为能量积分能量积分，即机械能守恒。31对完整保守系统且对完整保守系统且L 中不显含中不显含t 广义能量积分。对非定常系统：对非定常系统：T2T0 +V =h (6.3.11)对定常系统：对定常系统：T +V =h

18、 (6.3.12)能量积分能量积分机械能守恒。结论：结论：T2T0 +V广义能量32二、循环积分二、循环积分 如果保守系统的拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qj , 则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当qj( jk ) 为系统的循环坐标时，必有0jqL于是拉氏方程成为0)(dd jqLtCqLj 或：循环积分循环积分 (6.3.15)33 jjqLp 定义：广义动量广义动量0jqV因L = T - V，而V中不显含 ，即jq 因此循环积分表示广义动量守恒广义动量守恒。注意，广义动量表示动量或动量矩。 jjqTp 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐

19、标，便有几个相应的循环积分。 能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。34 例如：自由质点，f=k=3。q1=x， q2=y，q3=z 。 （由理论力学知，质点在有心力作用下的轨迹为平面曲线）又例如：万有引力场中的质点的运动： f=k=2。q1=r， q2=。mgzzyxmL)(21222x、y为循环坐标。1CxmxLpx2CymyLpy动量守恒35 解解：（1）研究对象：小环 f=k=1，q= q例例：半径R的大圆环在水平面内以匀绕O转动，质量为m的小环在其上无摩擦地滑动，求小环运动微分方程的第一积分。)()(21222rMmGrr

20、mL为循环坐标。CmrLp2动量矩守恒 （2）小环坐标：以上两例均有能量积分。36 V=0（水平面） (4)计算L(3)小环的约束方程非定常约束（方程中显含t）)cos(cos)cos(cosqqtRtRRRx)sin(sinqtRtRy222)()(RyyxxCC222)sin()cos(RtRytRx即：)(2122yxmT )cos1 ()cos1 (2122222qqqqmRmRmRT2T1T037 (5)L中不显含t，有广义能量积分（非定常约束）： T2T0 +V =h )cos1 ()cos1 (2122222qqqqmRmRmRVTL（常量）得：hmRmR)cos1 (212222qq38 例例 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的首次积分。解：解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受