计算机图形学习题解答

1、计算机图形学习题解答解: (1)根据题意斜率 ,直线方程为 .因此x是最大位移方 向，每次在x方向上加1，y方向上减1或减0。假设当前点为P(xi,yi), 那么下一个点在Pd(xi+1,yi-1)与Pu(xi+1,yi)中选一.以M表示Pu与Pd 的中点,即M(xi+1,yi-0.5).用中点Bresenham算法画直线段的原理推导起点为(0,0),终点为(8,-6)的直线绘制过程.(2)构造判别式：(3)误差项递推：(4)d的初始值当di0时，那么取Pd。当di=0时，约定取Pd,即判别式及坐标值x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 0 -1 -2 -2 -3 -4 -5 -5 -6d

2、 0 -1/4 0 -1/4 1/4利用中点Breshham画圆算法的原理推导第一象限x=y到y=0圆弧段的扫描转换算法。解: (1最大位移方向为y，其根本原理是：每次y方向上走一步，x方向上或加1，或加0。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xi,yi)，那么，下一候选像素点只能是右下方的Pu(xi+1,yi-1)和正下方Pd(xi,yi-1)。 2构造判别式： d=F(xm,ym)=F(xi+0.5,y-1)=(xi+0.5)2+(yi-1)2-R2 当d=0时，取Pd(xi,yi-1)。3误差项递推公式: 当d0时，取Pd，那么要判断再下一个像素，应计算: d=F(xi+0.5,yi-2)

3、=(xi+0.5)2+(yi-2)2-R2 =d+3-2yi因此，d增量为3-2yi。4d的初始值为1.25-R.131/233-166-1361/46511234567505.11 解：ET表如下：y=43.561/466-1651750A6A5A4A5A4A3A2A3当扫描线Y=4时的有效边表如下：如下图四边形 ABCD，求绕P5，4)点分别旋转45和90的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：6.13 解:根据条件,可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率k=5/4. 由编码规那么，可得A的编码为1010，B的编码为0101。 A|B=11110,

4、A&B=0 对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由A的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。其坐标计算如下： 那么,可得P1的编码为0000,P2的编码为0010,故P1为实交点,丢掉P1A.又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由B的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)和P4(x4,y4)。其坐标计算如下： 那么,可得P3的编码为0100,P4的编码为0000,故P4为实交点,丢掉P4B. 所以,裁剪后窗口内的直线段为

5、P1P4,坐标分别为(2,7/4)和(3/5,0).6.17 解: 根据条件,令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 那么，p1= -x =4,p2= x =-4,p3=- y =5,p4= y =-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，那么直线段与窗口边界的交点为：求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).7.5 求将图7-41中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的标

6、准化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。A(-2,2,2) B(-2,6,2) C(2,6,2 ) D(-2,6,2)7.6 假定一空间直线AB的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)，试写出绕AB旋转300的三维复合变换矩阵。试作出图7-41中四面体的三视图，要求写清变换式。主视图：A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)俯视图A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2)侧视图A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)5.2 利用DDA算法扫描转换直线段p1p2，其中p1为(0,0)，

7、p2为(20,15) 。答：1根本原理：根据题意斜率 ,因此x是最大位移方向，每次在x方向上加1，y方向上加k。即有：(2)由于在光栅化的过程中不可能绘制半个像素，因此对求出的yi+1的值需进行四舍五入，即round(yi+1)=(int)(yi+1+0.5)。解得像素序列如下：x01234567891011121314151617181920y012234556788910111112131414151234567891011121314151617181920123456789101112131415xyoxyd00-1/411021-3/432-1/243-1/454064-3/475-

8、1/286-1/4970107-3/4118-1/2129-1/4131001410-3/41511-1/21612-1/4171301813-3/41914-1/21234567891011121314151617181920123456789101112131415xyoxyd000.75110.5211.25321430.75540.5641.25751860.75970.51071.2511811290.7513100.514101.251511116120.7517130.518131.251914120150.75解: 根据题意斜率 ,因此x是最大位移方向，每次在x方向上加1，y方

9、向上加1或加0。改进的Bresenham算法误差项的计算d初=0，每走一步：d=d+3/4 一旦y方向上走了一步，d=d-1xye00-2011-3021032-1043-2054-3064075-1086-2097-301070118-10129-201310-30141001511-101612-201713-30181301914-102015-20解: 根据题意斜率 ,因此x是最大位移方向，每次在x方向上加1，y方向上加1或加0。改进的Bresenham算法误差项的计算e初=-x=-20，每走一步：e=e+ 2y=e+30一旦y方向上走了一步，e=e- 2x=e-40e+ 2y1003

10、020100302010030201003020100302010椭圆的长半轴a=12,b=8.用中点Bresenham画椭圆算法确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置,初始点为(-12,0).解: 根据题意,先绘制椭圆弧的下半局部. y是最大位移方向,每次走一步,在y方向上加1,x方向上加1或加0.构造判别式:误差项递推:下面绘制椭圆弧的上半局部. x是最大位移方向,每次走一步,在x方向上加1,y方向上加1或加0.构造判别式:误差项递推:初始值 d2用下半局部计算的最后像素点的坐标值来计算。xyd-120-608-121-176-122544-113144-104-1116-95-764-864

11、-76-828-67484-57-92-481764-381444-281252233-166-1361/46511234567505.11 解：ET表如下：y=43.561/466-1651750A6A5A4A5A4A3A2A3当扫描线Y=4时的有效边表如下：试推导将二维平面上任意直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)转换成与x轴重合的变换矩阵。解：1先将p1(x1,y1)平移到原点； 2顺时针旋转 ；其中：如下图四边形 ABCD，求绕P5，4)点分别旋转45和90的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：(1)(2)6.13 解:根据条件,可得wxl

12、=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率k=5/4. 由编码规那么，可得A的编码为1010，B的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由A的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。其坐标计算如下： 那么,可得P1的编码为0000,P2的编码为0010,故P1为实交点,丢掉P1A.又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由B的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)

13、和P4(x4,y4)。其坐标计算如下： 那么,可得P3的编码为0100,P4的编码为0000,故P4为实交点,丢掉P4B. 所以,裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为(2,7/4)和(3/5,0).6.17 解: 根据条件,令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 那么，p1= -x =4,p2= x =-4,p3=- y =5,p4= y =-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，那么直线段与窗口边界的

14、交点为：求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).7.4 求将图7-40中的物体ABCDEFGH进行如下变换的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的标准化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。 (1)平移使点C与点P1，-1，0重合。 (2)绕z轴旋转60。解:7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-41中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。解:推导略.正等测变换正二测变换7.9 求图7-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。解:斜等测变换斜二测变换:控制点有:p0(-16,0),p1(-10,10),p2(10,10),p3(16,0),p4

15、(10,-10),p5(-10,-10),p6(-16,0),P7(-10,10).推导:二次均匀周期性B样条曲线,其中参数t的区间为0,1)，并求出t=0.05,0.1,0.15,1这20点的坐标并画出此曲线。解：根据题意，可得m=3,n=7,m+n=10,那么节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)。根据以下基函数的式子：求得：以上B样条曲线的定义范围为2,8)，假设将参数t的定义范围为0,1)，那么基函数描述如下：故p(0)=(-13,5) p(0.05)=(-10.57,7.55) p(0.1)=(-6.88,9.2) p(0.15)=(-1.93,9.95) p(0

16、.2)=(3.72,9.8) p(0.25)=(8.25,8.75) p(0.3)=(11.52,6.8) p(0.35)=(13.54,4) p(0.4)=(14.04,1) p(0.45)=(14.26,-2) p(0.5)=(13,-5) p(0.55)=(10.57,7.55) p(0.6)=(6.88,-9.2) p(0.65)=(1.93,-9.95) p(0.7)=(-3.72,-9.8) p(0.75)=(-8.25,-8.75) p(0.8)=(-11.52,-6.8) p(0.85)=(-13.54,-4) p(0.9)=(-14.04,-1) p(0.95)=(-14.2

17、6,2)5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程。解：1)根本原理：根据题意斜率k-1,因此y是最大位移方向，每次在y方向上减1，x方向上或加1，或加0。假设当前点是P(xi,yi),那么下一点在Pr(xi+1,yi-1)与Plxi,yi-1)中选一。设M是Pr和Pl的中点，即M=(xi+0.5,yi-1)，Q是理想直线与垂直线y=yi-1的交点；假设M在Q的左方，那么Pr(xi+1,yi-1)离直线近，应取为下一个像素；否那么应取Pl(xi,yi-1)。2构造判式如下： d=F(xM,yM)=F(xi+0.5,yi-1)=yi-1-k(xi+0

18、.5)-b 当d0时，取Pl。3误差项递推公式: 当d0时，取Pl，那么要判断再下一个像素，应计算: d=F(xi+0.5,yi-2)=yi-2-k(xi+0.5)-b =yi-1-k(xi+0.5)-1-k=d-1因此，d增量为-1。利用中点Breshham画圆算法的原理推导第一象限x=y到y=0圆弧段的扫描转换算法。解: (1最大位移方向为y，其根本原理是：每次y方向上走一步，x方向上或加1，或加0。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xi,yi)，那么，下一候选像素点只能是右下方的Pu(xi+1,yi-1)和正下方Pd(xi,yi-1)。 2构造判别式： d=F(xm,ym)=F(xi+0

19、.5,y-1)=(xi+0.5)2+(yi-1)2-R2 当d=0时，取Pd(xi,yi-1)。3误差项递推公式: 当d0时，取Pd，那么要判断再下一个像素，应计算: d=F(xi+0.5,yi-2)=(xi+0.5)2+(yi-2)2-R2 =d+3-2yi因此，d增量为3-2yi。5.4 将中点Bresenham画直线段算法推广以便能画出任意斜率的直线要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程。答：根本原理：假设0=k=1的直线段上点P1的坐标为 (y,x); k=1的直线段上点P1的坐标为(y,x); 0k=-1的直线段上点P1的坐标为(-x,y); k-1的直线段上点P1的坐标为(

20、-y,x); 因此，在绘图过程，首先要判别k的值，对直线两端点做相应的处理。试推导将二维平面上任意直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)转换成与x轴重合的变换矩阵。解：1先将p1(x1,y1)平移到原点； 2顺时针旋转 ；其中：6.4 点P(xp,yp)及直线L的方程Ax+By+C=0，试推导一个相对L作对称变换的变换矩阵T，使点P的对称点为P=PT。解：假设A和B都不等于0，那么其中：如下图四边形 ABCD，求绕P5，4)点分别旋转45和90的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：(1)6.13 解:根据条件,可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率

21、k=5/4. 由编码规那么，可得A的编码为1010，B的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由A的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。其坐标计算如下： 那么,可得P1的编码为0000,P2的编码为0010,故P1为实交点,丢掉P1A.(2)7.4 求将图7-40中的物体ABCDEFGH进行如下变换的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的标准化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。(1)平移使点C与点P1，-1，0重合。(2)绕z轴旋转60。解:7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-41中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。解:推导略.正等测变换正二测变换7.9 求图7-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。解:斜等测变换斜二测变换7.5 求将图7