数字信号处理-第6章

1、第六章 小波分析的基本原理及其应用 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.1 引言引言 6.2 连续小波变换连续小波变换 6.3 离散小波变换离散小波变换 6.4 小波分析的应用小波分析的应用 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.1 引引 言言 小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。 与传统的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换， 因而能有效地从信号中提取信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解决

2、的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式。早在20世纪70年代， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后， 小 波 分 析 才 蓬

3、 勃 发 展 起 来 ， 其 中 ， 比 利 时 女 数 学 家I.Daubechies撰写的小波十讲(Ten Lectures on Wavelets)对小波的普及起了重要的推动作用。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、 量子力学、 军事电子对抗与武器的智能化， 计算机分类与识别、 数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面， 都已获得了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分

4、析、 构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等，图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率， 等等。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、 编码压缩和量化、快速传递或存储、 精确的重构或恢复。 而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前， 对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。 但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波分析为分析

5、这种非平稳信号提供了有效的处理工具。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2 连续小波变换连续小波变换 6.2.1 6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换从短时傅里叶变换到小波变换 由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得到信号频谱随时间变化的规律。 这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换: de )()(),(STFTj -*xtwxt（6.2.2） 给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 对于（6.2.

6、2）式定义的短时傅里叶变换， 如果取高斯(Gauss)函数作为窗函数，即 4221)()(tetgtw0 （6.2.3） 则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换: d)()e )(),(GTjtgxtx（6.2.4） 第六章 小波分析的基本原理及其应用 不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地确定某一个时

7、间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就可以看得到。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果 (d )(a)(b)(c)a0.01a0.001a0.00010500100010.500500100010.500500100010.50ga(t)ga(t)ga(t)(a)(b)(c)AMPLITUDE105025020015010050001020304050FREQUENCYTIMEAMPLITUDE15050020015010050001020304050100FREQUENCYT

8、IMEAMPLITUDE10050025020015010050001020304050150FREQUENCYTIMEttt第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.2 连续小波变换连续小波变换 1. 连续小波变换的定义连续小波变换的定义 设x(t)是平方可积函数，记作 ，(t)是基小波或“母小波函数”，则 )()(2RLtx )(),(d)(1),(*ttxtattxaaWTax (6.2.5) 称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和有关，其中a0 被称为尺度因子，而则反映小波函数在变换中的位移。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 之所以命名为小波变换, 主要是基于以

9、下两方面的原因： 其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有限的，“波”是指基函数是振荡的; 母小波则是指所有在变换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样的， 但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是得到尺度参数， 它被定义为频率的倒数。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 对这样的定义方式作如下说明： （1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为 tjTtt02ee)(/ (6.2.6) 它是在高斯包络下的负指数函数。 （2） 尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间

10、随a的加大而增宽。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 （3） 在a前面所加的因子的作用是保证在不同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。即，设E= |(t)|2 dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位和伸缩后得到的a(t)的能量为 a/1EtatatataE d1d122(6.2.7)第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. 2. 小波变换与短时傅里叶变换的比较小波变换与短时傅里叶变换的比较 将小波变换与短时傅里叶变换作比较，我们将会看到两者的联系。连续小波变换是短时傅里叶变换的一个发展，它的提出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作，都要与一个“窗函数”相乘，并且变换都是在时间域上

11、分段进行的。小波变换与短时傅里叶变换的不同之处在于： （1） 对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换，所以信号变换后的表现形式是不同的； （2） 窗函数的宽度在对每一个单独的频谱计算时是变化的， 这也是小波变换的一个最显著的特征。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 需要明确的是：在小波变换中的尺度类似于地图中的比例尺，大的比例对应的是一个对信号的全局的概略描述，而小的比例则相应地对应于细节性的描述。从信号频率的角度来看， 低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于在信号内部隐藏的细节信息。在实际的应用当中， 高频分量（对应小波分析的小尺度）一般并不是持续于信号的始终,而是在某些

12、时间段内出现，表现为信号上的尖峰； 低频分量通常则是有着长的持续时间。这些是多分辨分析方法的物理基础。在具体计算中，为方便起见，小波变换通常从尺度1开始，其后尺度不断增大，因此对于频率的分析也从高频分析向低频分析的方向进行。在短时傅里叶变换中， 不同的时刻和不同的频率上都采用相同的分辨率， 而小波变换则对不同的频率分量采取不同的分析精度。第六章 小波分析的基本原理及其应用 图6.2.2给出了小波变换的分辨率特性的图解。由图示可知，在分析低频成分时采用长的时间窗和短的频率窗，而分析高频成分时则采用短的时间窗和长的频率窗。值得注意的是,小波变换中的变换轴和尺度轴并不是对应于STFT中的时间轴和频率

13、轴， 它们只是在变换运算中的计算的样本。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.2 小波变换的分辨率特性的图解 时间频率第六章 小波分析的基本原理及其应用 3. 3. 连续小波变换的频率域表达式连续小波变换的频率域表达式在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, 可以得到 ajjXaaxde )()(2),(WTj*其中X()和()分别对应于信号x(t)与母小波函数(t)的傅里叶变换。 (6.2.8)式可以由傅里叶分析理论简单得到证明： )()()()(*jjXttx所以有 )()()(1*ajjXaattxa第六章 小波分析的基本原理及其应用 推出 eajjXaajxd)

14、()(2),(WT*从以上的表达式可以看到, 从频域上来看，对信号进行小波变换的傅里叶变换相当于信号的频谱与小波函数频谱共轭的乘积， 因此相应地有如下结论： 第六章 小波分析的基本原理及其应用 （1） 如果()是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号X()频域上局部性质的能力。 例如，对于Morlet小波的频谱 便具有这样的特点， 如图6.2.3(a)所示它是中心频率在0的高斯型函数。 tTtt02j/-ee)(420)(e/)(TT第六章 小波分析的基本原理及其应用 （2） 对应于从母小波函数经过伸缩和平移后得到的小波基而言，膨胀系数a取得越大，则小波基的支撑区域越大，

15、而反映在频域上，则相应的小波基的傅里叶变换的宽度就越大。在后续的部分可以证明：在小波变换的结果中，大的尺度对应的是信号中的低频分量，而小的尺度则对应于信号的高频部分。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 （3） 采用不同的尺度a作处理时，各个(a)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率带宽”为常数。 仍以Morlet小波为例：当a=1 时，(t)的傅里叶变换的中心频率为0，带宽为 。而取a2 时, (t/2)的傅里叶变换为，因此这时的中心频率为0 /2，而相应的带宽也降到， 如图6.2.3(b)所示。 显然， 两种情况下具有相同品质因数， 即 T/12202-e

16、/2)2(2TTT/1TTQ/12/1200第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.3 尺度伸缩时小波函数的恒Q性 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.3 连续小波变换的性质连续小波变换的性质 根据连续小波变换的定义, 可以得到如下的性质： 1. 叠加性叠加性 如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,)，y(t)的连续小波变换是WTy(a,)，则z(t)=k1x(t)+k2y(t) 的连续小波变换是k1WTx(a,)+k2WTy(a,)。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. 时移性质时移性质 如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,)，则x(t-t0)的连续小波变换是WT

17、x(a,-t0)，也就是说，x(t)的时移-t0对应于小波变换的移位t0 。 3. 尺度变换尺度变换 如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,)，则有 的连续小波变换是 tx0,WTax。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 4. 交叉项的性质交叉项的性质 由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx(a,)|2却有以下交叉项的表现： 设x(t)=x1(t)+x2(t)，则有 212121cos| ),(WT| ),(WT|2| ),(WT| ),(WT| ),(WT|222xxxxxxxaaaaa其中 和 分别是 和的辐角。 1x2x),(W

18、T1ax),(WT2ax第六章 小波分析的基本原理及其应用 5. 5. 小波变换的内积定理小波变换的内积定理 以基小波(t)分别对x1(t)和x2(t)作小波变换。设x1(t)的连续小波变换是 )(),(),(WT11ttxaax(6.2.10) x2(t)的连续小波变换是 )(),(),(WT22ttxaax(6.2.11) 其中 atata1)(第六章 小波分析的基本原理及其应用 则有 )(),(),(WT),(WT2121txtxcaaxx式中 cd)(20(6.2.12) 该定理称之为小波变换的内积定理，也称为Moyal定理。 (6.2.12)式可以写为更加明确的形式， 左边的内积是对

19、a和的双重积分，有 ttxtxcttxttxaaaad)()(d)(),()(),(d*212102(6.2.13) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.4 小波变换的反演以及对基小波的要求小波变换的反演以及对基小波的要求 1. 容许条件容许条件 当 tcd| )(|)(20时才能够由函数的小波变换WTx(a,)反演出原函数x(t)。这时有 d1),(WTd1d)(),(WTd1)(2020 ataaaactaaactxxax(6.2.14) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 在上面的表达式中 tcd| )(|)(20就是对(t)提出的容许性条件。 从上面的容许性条件我们也可以看到：

20、能够用来作为基小波(t)的函数，最起码要满足(=0)=0。这说明()必须具有带通性质，而且(t)必然是具有正负幅度交替的振荡波形，这也是“小波”之名的由来。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 证明证明 因为 0d )()0(de )()(tttttj所以 第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. 2. 能量的比例性能量的比例性 根据分析, 对连续小波变换能够得到类似于傅里叶分析中的巴塞瓦尔定理的结论，即小波变换的幅度平方的积分和信号的能量成正比, ttxcaaaxd| )(|d| ),(WT|d2202(6.2.15) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 3. 正规性条件正规性条件 对于函数

21、而言，当满足小波变换的容许性条件时，就可以作为基本的小波函数，但是在实际上的要求往往要更高一些， 对基小波函数还提出了“正规性条件”。 这是为了使()在频域上有更好的局部特性。而为了达到此目的，要求|WTx(a,)|随着a的减小而迅速减小。这就要求(t)的前n阶原点矩等于0， 而且n值越高越好，即要求： , 0d)(tttpp=1n (6.2.16) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 此要求的相应频域表示为：()在=0 处有高阶零点， 且阶次越高越好（一阶零点为容许条件）, 0)0(),()(001n(6.2.17) 式中，n愈大愈好。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 4. 小波变换的重

22、建核（小波变换的重建核（Reproducing Kernel）与重建核方程）与重建核方程 重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性。即a-在半平面上的各个点的小波变换是相关的。 在(a0,0)处的小波变换WTx(a0,0)可以表示成半平面(aR+, R)上其它各处WT值的总贡献： d),(),(WTd),(WT0002000aaKaaaaxx第六章 小波分析的基本原理及其应用 在上面的表达式中， )(),(1d111d)()(1),(000000*0*00ttctataatactttcaaKaaaa(6.2.19)可以看出,K是小波函数a(t)与 的内积，它反映的是两者的相

23、关程度，称为重建核；而(6.2.18)式称为重建核方程。 )(00ta第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.5 6.2.5 几种常用的基本小波基几种常用的基本小波基 1. Morlet1. Morlet小波小波 Morlet小波是高斯包络下的单频率复正弦函数， 即 22002)-( -j2e2)(ee)(tttt(6.2.20) (6.2.21) 图6.2.4是Morlet小波（0=6），其中，实线代表实部，虚线代表虚部。这是一个经常会用到的小波，从它的表达式以及傅里叶变换中我们可以看到， 该小波的时域和频域的局部特性都比较好。虽然从严格的意义上来讲， 它并不是有限支撑的， 同时也不满足

24、容许条件，因为(=0)0。 不过在实际工作中，只要取05，便近似地满足这一条件。另外， 由于()在=0 处的斜率很小，所以它在=0 处的一、 二阶导数也是近似为 0 的。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.4 Morlet小波时频域波形第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. Marr2. Marr小波（墨西哥草帽小波）小波（墨西哥草帽小波）Marr小波是高斯函数的二阶导数（差负号）， 它的表达式如下： 222222e2)(e )1 ()(ttt(6.2.22) (6.2.23) 其波形图见图6.2.5。在=0 处，()有二阶零点，所以满足容许条件，而且其小波系数随衰减得很快。M

25、arr小波比较接近人眼的空间响应特性。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.5 Marr小波时频域波形 第六章 小波分析的基本原理及其应用 3. DOG3. DOG（Difference of GaussianDifference of Gaussian）小波）小波DOG小波是两个尺度差 1 倍的高斯函数之差， 其表达式为 22222282ee2)(e21e)(ttt (6.2.24) (6.2.25) 其波形图见图 6.2.6。 它也保证(=0)=0及 ，即在=0 处有二阶零点。 0)0(/ )(第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.6 DOG小波时频域波形 第六章 小

26、波分析的基本原理及其应用 4. Harr4. Harr小波小波 Harr小波函数是一组互相正交归一的函数集，它是支撑域在t0,1范围内的单个矩形波, 即 12112101)(ttt(6.2.26) 由于 , 但, 因此，()在=0 处只有一阶零点。 0d)(tt 0d)(ttt第六章 小波分析的基本原理及其应用 Harr小波在时间域上是不连续的，因此作为基小波性能并不是很好，但它同时也具有如下的优点：一是计算方便；二是(t)不但与(2jt)(jZ)相正交，即(t)(2jt)dt=0, 而且也与自己的整数位移正交，即 (t)(t-k) dt=0。 因此，在a=2j的多分辨率系统构成一组最简单的正

27、交归一的小波族。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 5. 样条小波（样条小波（Spline Wavelet） 样条函数在曲线拟合中是用来使拟合的曲线不但本身平滑， 而且导数也平滑的函数。因此，它必定是低通函数，不是带通函数，不能用作小波。但是，样条函数却能够导出一组具有带通性质的小波函数。下面对样条小波作以简单说明。 三次样条函数在任意两个整数k, k+1 之间，用一个三次多项式来表示，而且整个曲线一次连续可微。三次样条小波的频率域表达式是 88482j2)(2)(e (6.2.27) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 式中 2sin322cos702cos2sin2)(2cos2sin3

28、02cos305)(2sin105)()()(6424222218218NNNN8()是的 6 阶导数。三阶样条小波的图形见图6.2.7，它在 =0 处有三阶零点。 2sin4/1)(22 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.7 三次样条小波时频域波形 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6. Daubechies小波小波 法国学者Daubechies对尺度取 2 的整数次幂，即a=2j,jZ+ 条件下的小波变换进行了较为深入的研究, 提出了一类具有以下特点的小波，该小波故命名为Daubechies小波。 （1） 在时域上是有限支撑的，即(t)的长度有限。而且其高阶原点矩 N的值越

29、大，(t)的长度就越长。 （2） 在频域上，()在=0 处，有N阶零点。 （3） (t)和它的整数位移正交归一， 即 ,N,0, 0d)(NNptttpktkttd)()(第六章 小波分析的基本原理及其应用 有关(t)的若干结果列举如下： （1） 小波函数(t)可以由所谓的“尺度函数”（Scaling function）(t)求出来。(t)的长度有限，支撑域在t=0(2N-1)范围内。图6.2.8左边示出不同N值下的 (t)波形。 （2） (t)是(2t)的位移加权和： )2()(ktgtkk(6.2.28) k的范围为2-2N1。N值不同，权重gk的值也不同，如表6.2.1所列。由于(t)是

30、有限支撑的，因而由式(6.2.28)求得的(t)也是有限支撑的。它的长度和(t)一样，也是 2N-1，如图6.2.8 右边所示。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.8 N=2,3,4,5,7,10 时各阶Daubechies小波(t)和相 应的尺度函数(t)(一) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.8 N=2,3,4,5,7,10 时各阶Daubechies小波(t)和相 应的尺度函数(t)(二) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.3 离散小波变换离散小波变换 从连续小波变换的重建核方程的讨论中可以看到： 对一维信号x(t)作小波变换的结果为二维的WTx(a,

31、)，其信息是有冗余的。因此从数据压缩以及节约计算的角度上看，我们希望只在一些离散的尺度和位移的取值下计算小波变换，而又不至于丢失信息。 这样将具有很大的实用意义。 小波变换的离散化首先是变换尺度的离散化，目前通用的做法是对尺度按照幂级数作离散化。即令a取, 此时对应的小波函数为 jaaa01000, 2 , 1 , 0),(02j0jtaaj。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 再来看对于位移的离散化，当 时， 即对应j=0的情况，可以以某一个基本的间隔0作均匀地采样。而在其它的尺度下，由于 宽度是(t)的 倍，因此采样间隔相应地也扩大为原来的 倍（相当于其频率降低为原来的）。也就是说， 在

32、某一个j值下沿轴以为间隔均匀采样仍然可以保证信息不丢失。这样，在计算中小波函数a(t)将被改写为 100aa)(0tajja0ja0ja0/ 100ja)(002000020ktaakataajjjjj(6.3.1) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 记为 。 在这些点上计算得到的小波变换记作： )(00,tkajtttxkakajxjd)()(),(WT*,0000j=0,1,2,; kZ Z(6.3.2) 这种小波变换通常被称为“离散小波变换”, 也称为离散a,栅格下的小波变换。 在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，此时a取值为 20,21,2j。如果采用对数坐标，并以ln2为坐标

33、单位，则a的离散值将如图 6.3.1 纵轴所示。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.3.1 a-平面的二进离散栅格 TskTs01234567123j ln2第六章 小波分析的基本原理及其应用 在a=2j 时沿轴的相应的采样间隔是2j0，即j每增加 1， 采样间隔将扩大 1 倍。此时a-平面内的采样点将如图 6.3.1 所示。 此时， 连续小波变换中的基函数a(t)变为 )2(202/ktjj记为jk(t),j=0,1,2,;kZ Z。为了书写简便，往往认为0=1 （也就是把轴用0加以归一），这样就有 )2(2)(2kttjjjk(6.3.3) 相应地，离散小波变换可表示为 tttx

34、kjjkxd)()(),(WT*(6.3.4) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 在对信号采用离散小波分析之前， 首先要解决以下两个方面的问题。 问题一： 信号的离散小波变换能不能完整地表征信号x(t)？ 也就是说, 由离散小波变换的结果能否稳定地重建信号x(t)? 问题二： 是不是任意的函数x(t)都可以表示为以小波函数 为基本单元的加权和， )(00,tkaj)()(00,tctxzkkajkzjj如果是，各个权重cjk应当如何去求？ 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.3.1 框架的概念框架的概念 定义线性变换Txj=x(t),j(t)，简单记作x,j,jZ。 如果要求能够用Tx表

35、征x，则该变换应该至少能够满足下列条件： (1) 惟一性：如果x1=x2，则Tx1=Tx2必定成立。 (2) 正变换的连续性：如果x1与x2很接近，则Tx1= x1,j(jZ)，也必然与Tx2= x2, j (jZ)很接近。表达成数学形式， 也就是要求 22|,|jjxBx0B 第六章 小波分析的基本原理及其应用 这是因为，令x=x1-x2， 代入上式便得到 221221|,|jjjxxBxx(6.3.5) 当x1与x2很接近时，x1- x22将任意小。由上式可以看到此时也将任意小，即T x1 和T x2很接近。 jjjxx221|)T()T( |第六章 小波分析的基本原理及其应用 如果进一步

36、要求此变换的反演也是连续的， 这时就要满足下述的第三个要求： (3) 反演连续性：当x1,j(jZ)与x2,j(jZ)十分接近时，x1,x2也十分接近。即要求： jjxAx22|,|0A (6.3.6) 把(6.3.5)式和(6.3.6)式合到一起， 得到如下条件: jjxBxxA222|,|(6.3.7) 合理的Tx变换应该满足以上的条件。 满足该条件的j|jZ Z便称为构成一个“框架”。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 对(6.3.7)式的含义还可以作这样的解释：范数x0 的任意函数，其在框架上的投影x,j至少有一个不为 0；范数x的任意函数，其在框架上的各个投影的平方和必定小于无穷。

37、 当A=B时, 称之为“紧框架”（Tight Frame），此时有。 如果此时不但有A=B，同时还有A=1，则有 。由此可以看出， 此时各个j构成一组规范正交基。 22|,|xAxjj22|,|xxjj第六章 小波分析的基本原理及其应用 设有j|jZ，满足如下要求： （1） zjzjjjBAccA0 ,22（2） 当 0jzjjc时, 便有cj=0，也就是要求j|jZ 是一组线性独立的基。此时称j|jZ为一组Riesz基。 通过比较, 可以看到框架与Riesz基的含义是很相近的， 只是后者的要求更强一些， Rieze基除了要满足条件（1）外, 还要满足线性独立的要求。 第六章 小波分析的基本原

38、理及其应用 6.3.2 通过框架对原函数进行重构通过框架对原函数进行重构 如前所述，在A =B =1的情况下，j是一组规范正交基， 因此重建公式是 )(,)(txtxjzjj(6.3.8) 在紧框架的情况下，重建的工作也不难，表达式为 )(,1)(txAtxjzjj(6.3.9) 但是在的AB情况下，重建工作相对而言困难一些。为了说明此点， 定义算子F如下： )(,1FtxAxjzjj(6.3.10) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 并记作g, 则其逆运算可以表示为 jzjjjzjjxxFgx111 -F,F (6.3.11) 令F-1j=j, 则上式又可以写为 jzjjxx, (6.3.

39、12) 联系小波变换j=jk, 则可以表示为 jkzjjjkxtx,)( (6.3.13) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (6.3.12)式和(6.3.13)式就是重建的形式上的公式表示。该公式的意义在于指出为对原函数进行重建时所需要的基函数是j,jk,而不是j和jk。但是，此式只具有形式上的意义， 还不能直接用于计算，因为jk=F-1jk的具体计算方法还不明确，而且也不能保证jk可以由一个基本小波函数通过位移和伸缩得到： )()(,020tktaatkjjjjk (6.3.14) 只有在(6.3.14)式成立的条件下，才会有 )(,)(,txtxjkkjzj (6.3.15) 这样的

40、)(jjk或称为jk（或j） 的“对偶”（dual）。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (1) 也构成一个框架， 其上、下界恰好与j的上、下界成倒数关系, 即 j|,|1221xAxxBzjj(6.3.16) (2) 在A与B比较接近时，作为一阶近似，可以取： jjBA2(6.3.17) 因此有 )(,1)(txBAtxjzjj(6.3.18) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 更确切地说， 此时 RxtxBAtxjzjj)(,2)(其中Rx表示对x(t)作一阶逼近的残差。 (6.3.19) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (3) 如果希望把j求得更加精确， 则可以用级数展开： jk

41、kjRBA02(6.3.20) 式中 ddIABABRIABABId是单位算子, xId=x。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.3.3 小波框架小波框架 (1) 小波框架的定义： 当由基小波(t)经过伸缩与位移而引出的函数族，具有满足(6.3.21)式的要求时，便称jk(t)|jZ+,kZ构成一个框架： ZkZjkttjjjk,| )2(2)(2222|,|xBxxAkjkj0AB (6.3.21) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (2) jk(t)的对偶函数也构成一个框架。其框架的上、下界为jk(t)框架上、下界的倒数： )2(2)(2kttjjjk21221|,|xAxxBkj

42、kj(6.3.22) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (3) 对信号进行重建。 对于紧框架, 有 22|,|xAxkjkj(6.3.23) 所以有 )(),(WT1)(,1)(tkjAtxAtxjkkxjjkkjkj(6.3.24) 对于一般的情况，当A、B比较接近时，作为一阶逼近，可以取： )(2)(tBAtjkjk(6.3.25) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 所以 )(,2)(,)(txBAtxtxjkkjkjjkkjkj(6.3.26) 逼近误差的范数为 |xABABxR(6.3.27) 从该式可以看出，A和B越接近，则误差越小。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (4)

43、在一般的情况下，框架中的各个jk(t)并不正交，甚至还有可能线性相关， 因此经过框架处理后所含的信息是有冗余的。 在紧框架的情况下, )(),(WT1)(tkjAtxjkkxj(6.3.28) 又，在(j0,k0)处的WT为 tttxkjkjxd)()(),(WT*0000(6.3.29) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 将(6.3.28)式代入(6.3.29)式，可以得到 ),(WT),;,(1d)()(),(WT1d)( )(),(WT1WT00*0000kjkjkjKAtttkjAtttkjAxkjkjkjkxjkjkjkxjx(6.3.30) 式中 )(),(d)()(),;,(0

44、000*00tttttkjkjKkjjkkjjk第六章 小波分析的基本原理及其应用 和连续小波变换相同，(6.3.30)式给出在任意一点(j0,k0)处小波变换的值与栅格上其它各点的小波变换的内在联系，称之为重建核方程，K被称为重建核。该式说明, 并不是任意函数F(j,k)都可以作为离散栅格上的小波变换，而是必须满足(6.3.30)式。只有当K(j0,k0; j,k)=(j-j0, k-k0)时，信息才是没有冗余的， 此时, 各个jk(t)相互正交。例如支撑宽度为 1 的Haar小波便具有这一性质。 因为就位移来看，(t-k1)与(t-k2)不重叠，所以相互正交，如图6.3.2(a)所示。就尺

45、度而言，j1k(t)与j2k(t)也正交， 如图6.3.2(b)所示。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.3.2 Haar小波的正交性 第六章 小波分析的基本原理及其应用 从频率域上看，还可以推导出小波框架的下列性质： (1) 满足小波框架条件的jk(t)，其基本小波函数(t)必定满足容许性条件。这是因为由小波框架条件可以演化出下式： BA22n1d| )(|22n120 (6.3.31) 可见()满足容许条件。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (2) 小波框架的频率域表示： 2| )2(|zjj式中 0 (6.3.32) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.3.4 多分辨率

46、分析与离散序列的小波变换多分辨率分析与离散序列的小波变换 1. 由理想滤波器组引入由理想滤波器组引入 当信号的采样频率满足采样定理要求时，归一化频带=/fs被限制在-+之间，fs为采样频率。此时可以分别用理想低通与高通滤波器H0与H1将它分解（对正频率而言）为频带在0/2 的低频部分，和频带在/2的高频部分， 分别反映信号的概貌与细节， 如图 6.3.3 所示。 处理后两路输出必定正交（因为频带不交叠）， 而且由于两种输出的带宽均减半， 因此相应的采样频率可以减半， 而不至于引起信息的丢失（带通信号的采样频率决定于其带宽， 而不是取决于其频率上限）。 这就是图 6.3.3 上在滤波后引入“二抽

47、取”环节的理由。 所谓的二抽取, 就是将输入序列每隔一个输出一次（例如只取偶数），组成长度缩短一半的新序列。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.3.3 频带的理想划分示意图 H0()H1() 2 22x(n)高频部分细节部分低频部分平滑概貌20(a)221)(1H221)(0H(b)(c)第六章 小波分析的基本原理及其应用 1） 频率空间的划分 如果把原始x(n)占据的总频带（0）定义为空间V0， 经过第一级分解后，该空间被分解为两个子空间：低频的V1（频带 0/2）和高频的W1（频带/2）。经过第二级分解后，V1被分解为低频的V2（频带0/4）和高频的W2（频带/4/2），如图 6

48、.3.4(b)所示，这种子空间的分解过程可以记作： jjjWVVWVVWVV1221110,其中,各个Wj是反映Vj-1空间信号细节的高频子空间;Vj是反映Vj-1信号概貌的低频子空间。将上式分别代入，可以看到这些子空间之间有以下的性质： 第六章 小波分析的基本原理及其应用 逐级包含： 110VVV逐级替换： jjVWWWVWWVWV21221110式中, 符号表示“直和”; 符号ab表示b被a包含。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 2） 各个带通空间Wj的恒Q特性 由图6.3.4(b)可以看到,W1空间的中心频率为，带宽为 ；而W2空间的中心频率为 ，较W1减半，而其带宽为 ，也较W1减

49、半。 可见, 各个Wj的品质因数是相同的。 432834第六章 小波分析的基本原理及其应用 3） 各级滤波器的一致性 各级的低通滤波器H0和高通滤波器H1是一样的。这是因为前一级输出被二抽取，而滤波器的设计是根据归一频率来进行的。例如，第一级H0的真实带宽是（Ts是采样间隔），其归一化频率则是 。第二级H0的真实带宽是 ，但是归一化频率却仍然是 ，这是因为第二级输入的采样间隔是2Ts，而 s20T20s40T20224ss TT第六章 小波分析的基本原理及其应用 4） 树形分解带来的好处其一，由于在树形分解中采用的滤波器都是一样的，这样可以大大减少对于滤波器进行设计的工作量。 其二， 树形分解

50、的计算量较小。如果如图 6.3.4 所示， 在第一级的计算量是c0(2滤波器阶数总样本数)， 则以后的各级由于样本数的减半，相应的计算量也减半。 最后, 最重要的是树形分解适应“由粗及精”的多分辨率分析过程。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 H0()H1()x(n) 2 2H0()H1() 2 2H0()H1() 2 2V4W4W3W2W1V3V2V1V00168163483243(a)(b)21W242W483W201V402V803V图 6.3.4频带的逐级划分示意图第六章 小波分析的基本原理及其应用 其三， 信号经过分解后可以进行传输， 然后在接收端进行重建。重建是分解的逆过程，其基

51、本步骤如图 6.3.5 所示， 每一个支路先作“二插值”（即在输入序列每两个相邻的样本之间补一个 0， 使数据长度增加 1 倍），从而恢复二抽取前序列的长度。 然后作相应的低通滤波G0()或者带通滤波G1()，其目的在于平滑补零后的波形，也就是去掉补零后产生的镜像谱。在H0和H1是理想滤波器的情况下，令G0=H0， G1 =H1即可。从时域上来看，理想滤波就是将各个样本值乘以插值函数（sinc函数），再移位求和，以恢复原信号。在逐级重建的过程中就实现了对信号由粗及精的观察。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.3.5 信号重建示意图 x (n)G0() 2G1() 2G0() 2G1(

52、) 2G0() 2G1() 2第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. 由函数空间的剖分对多分辨分析的解释由函数空间的剖分对多分辨分析的解释 1） 函数空间的逐级划分 其出发点与上节相似，即把空间作逐级二分解, 从而产生一组逐级包含的子空间：j是-+范围的整数，j值越小, 空间越大。图 6.3.6 表示了这一剖分的示意图。而且这样的划分是完整的，这是指： ,1221110jjjWVVWVVWVV第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.3.6 函数空间的二剖分 V1W1V0W0V2W2Vj1VjWjVjVj1Vj1第六章 小波分析的基本原理及其应用 (1) 当j-时，VjL2(R)，包含整个

53、平方可积的实变函数空间。 在逐级包含的情况下，上式等效为： (2) 当j+时，即空间最终剖分到空集为止。在逐级包含的情况下，上式等效为： 。上述的剖分显然保证了空间Vj与空间Wj正交，并且各个Wj之间也是正交的， 即： VjWj, WjWj , jj。 )(2RLVzjj。 0zjjV第六章 小波分析的基本原理及其应用 进一步还要求剖分具有如下的两项特性： (1) 位移不变性：函数的时移不改变其所属的空间。即： 如果x(t)Vj，则x(t-k)Vj仍然成立。 (2) 二尺度伸缩性：如果x(t)Vj，则必然有 11)2(,2jjVtxVtx第六章 小波分析的基本原理及其应用 2） 在上述的基础上

54、对各个子空间内的结构作进一步的分析 (1) 子空间V0：设V0中有低通的平滑函数(t)，它的整数位移集合(t-k); kZ是V0中的正交归一基。称(t)为尺度函数（Scaling Function）。正交归一性可以记为 (t-k), (t-k)=(k-k) (6.3.34) 或者记作： 0k(t), 0k(t)=(k-k) (6.3.35) 其中0k是 )2(21)(2/kttjjjk在j=0时的另一种表现形式。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 同时, 根据正交归一化性， 有 (t) dt=1 (6.3.36) 因此,在V0中的任意函数必定可以被表示为0k(t)|kz的线性组合。也就是说，

55、设P0 x(t)代表x(t)在V0上的投影，则必有 kkktxtxP)()(0)0(0(6.3.37) 其中， 是线性组合的各个权重，其值求法如下：把上式两边对0k(t)作内积， 由(6.3.35)式的正交归一性, 得 )0(kx)(),()(),(000)0(ttxttxPxkkk(6.3.38) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (2) 子空间V1：如果(t)V0，则根据二尺度伸缩性， 必定成立。而且如果0k(t)|kZ是V0中的正交归一化的基，则1k(t) | kZ，必然是V1空间中的正交归一化基。 即： 12Vt) ()(),(11kkttkk(6.3.39) 因此,V1中的任何函数

56、，如P1x(t)，必然可以被表示为1k(t)|kZ的线性组合： kkktxtxP)()(1)1(1(6.3.40) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 而且其权重为：。P1x(t)被称作是x(t)在V1中的平滑逼近。它也同时就是x(t)在分辨率j=1下的概貌，x(1)k也被称为是x(t)在分辨率j=1下的离散逼近。 )(),()(),(111)1(ttxttxPxkkk第六章 小波分析的基本原理及其应用 (3) 子空间W1：如果在子空间W0中能够找到一个带通函数(t)，其整数位移的集合(t-k)|kZ，构成W0中的正交归一基，则同样根据二尺度变换性，必然有 成立， 而且必然构成W1空间的一组正

57、交归一基： 12Wtzkkttk221)(1) ()(),(11kkttkk(6.3.41)又由于(t)是带通函数， 所以有 0d)(tt(6.3.42)第六章 小波分析的基本原理及其应用 因此，W1中的任意函数必然可以表示为1k(t)|kz的线性组合。可以这样解释，设D1x(t)是x(t)在W1上的投影，则必然有 )()(1)1(1tdtxDkkk(6.3.43) 而且权重为)(),()(),(111)1(ttxttxDdkkk(6.3.44) 因为在对函数空间的划分中有：V0=V1W1，所以有 )()()(110txDtxPtxP或者 )()()(101txPtxPtxD(6.3.45)

58、(6.3.46) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.3.5 尺度函数和小波函数的一些重要性质尺度函数和小波函数的一些重要性质 1. 1. 二尺度差分方程二尺度差分方程 二尺度差分方程是空间逐级剖分赋予(t)和(t)的最基本的性质。它是许多其它的性质的基础。它阐明了任意两个相邻空间划分Vj-1Vj, Wj内基函数j-1,k(t), jk(t)和jk(t)之间的内在联系。 由于 jjjjVtt221)(2/0第六章 小波分析的基本原理及其应用 而Vj包含在Vj-1中，因此j0(t)必定可以被表示为j-1,k(t)=2-(j-1)/2(2-(j-1)t-k)的线性组合，因为j-1,k(t)是V

59、j-1空间的正交归一基， 即 )()(, 100thtkjkkj(6.3.47) 整理后, 得 kthtjkkj10222(6.3.48) 类似的分析可应用在Wj与Vj-1之间，得 kthtjkkj11222(6.3.49) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 (6.3.48)式和(6.3.49)式就是二尺度差分方程，h0k与h1k分别是线性组合的权重。 它们可以通过如下的计算来得到： )(),(d)(221d2222)(),(010*1*2/ )1(2/, 100tttktttktttttthkjjjjkjjk12jtt(6.3.50) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 利用相同的方法可以

60、得到 )(),(0101tthkk (6.3.51) 二尺度差分关系存在于任意两个相邻的分辨级j-1和j之间。 需要指出的是, 在上面的差分方程中的权重h0k、h1k是与 j 的具体值没有关系的，不论是对哪两个相邻的空间, 它们的值都是相同的。 第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. 2. 其它性质其它性质（1） h0k、h1k的总和： kkkkhh0,210（2） 频域关系表达式： )()()2(20H)()()2(21H, (6.3.53) (6.3.52) （3） 频率域的初值： 0)0(,2)0(10HH(6.3.54) 第六章 小波分析的基本原理及其应用 （4） 递推关系。()、(