数学分析(华中师范版)

1、第五至八章第五至八章 复习复习一、基本概念一、基本概念导数与微分导数与微分，左右导数，左右导数，导数的几何解释。导数的几何解释。极值点与极值，极值点与极值， 凹凸函数凹凸函数， 拐点拐点，闭区间套，闭区间套，聚点，聚点，高阶导数高阶导数，高阶微分，高阶微分，有限覆盖，有限覆盖，0000000)()(lim)()(limlim)(0 xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx .),(AdxxAdyxoxAy 则则当当原函数与不定积分。原函数与不定积分。二、基本计算二、基本计算高阶导数的求法，二阶微分的求法，高阶导数的求法，二阶微分的求法，函数单调性和极值的判定方法，函数单调性和极值的判定方法，函

2、数最值的求法，函数最值的求法，凹凸函数和拐点的判定方法，凹凸函数和拐点的判定方法， 函数作图步骤，函数作图步骤，导数的计算，微分的计算，导数的计算，微分的计算，四则运算、复合函数、反函数、对数求导法、参数四则运算、复合函数、反函数、对数求导法、参数方程确定的函数求导、分段函数求导（两种方法）方程确定的函数求导、分段函数求导（两种方法）求曲线的切线和法线，求曲线的切线和法线，各类不定积分的计算。各类不定积分的计算。三、基本理论三、基本理论极限、连续、可导、可微四者之间的关系。极限、连续、可导、可微四者之间的关系。一阶微分形式不变性，一阶微分形式不变性，四个中值定理（四个中值定理（Rolly,La

3、grange,Cauchy.Taylor)及其及其相互之间的关系。相互之间的关系。5个简单函数的带两种余项的个简单函数的带两种余项的Taylor展开式。展开式。关于实数系完备性的关于实数系完备性的6个等价定理，个等价定理，它们在有理数它们在有理数系都不成立。系都不成立。.)1(),1ln(,cos,sin, xxxxex 三、常数和基本初等函数的导数公式三、常数和基本初等函数的导数公式;0)( )1( C;cos)(sin )3(xx ;sin)(cos )4(xx ;sec)(tan )5(2xx ;csc)(cot )6(2xx );0( )( )2(1 xx;tan sec)(sec )

4、7(xxx ;cot csc)(csc )8(xxx ;ln)( )9(aaaxx ;)( )10(xxee ;ln1)(log )11(axxa ;1)(ln )12(xx ;11)(arcsin )13(2xx ;11)(arccos )14(2xx ;11)(arctan )15(2xx .11)cotarc( )16(2xx 常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()()2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(单调性和极值的判定步骤单调性和极

5、值的判定步骤1. 在在 f 的定义域上求的定义域上求 f 的零点及的零点及 f 不存在的点；不存在的点；2. 用用 f 的零点及的零点及 f 不存在的点将不存在的点将 f 的定义区间划的定义区间划分为子区间；分为子区间；3. 根据根据 f 在各子区间内的符号及在各子区间内的符号及 f 在各子区间端在各子区间端点处的连续性确定点处的连续性确定 f 的严格单调性和极值。的严格单调性和极值。4. 二、三两步可借助于表格方式完成。二、三两步可借助于表格方式完成。求最值的步骤求最值的步骤: :1.求稳定点和不可导点求稳定点和不可导点;2.求区间端点及稳定点和不可导点的函数值求区间端点及稳定点和不可导点的

6、函数值,比较大小比较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)函数凹凸性和拐点函数凹凸性和拐点一般二阶导数可解决一般二阶导数可解决xyo1x2x)(xfy 切线切线曲线曲线弦弦xyo1x2x弦弦曲线曲线切线切线凸函数凸函数凹函数凹函数)(xfy ),()1()()1(2121xfxfxxf ),()1()()1(2121xfxfxxf 000 xxxfxfxf 000 xxxfxfxf 0)( xf0)( xf凹凸与拐

7、点的判定步骤凹凸与拐点的判定步骤不不存存在在的的点点；的的零零点点以以及及求求 )( )( )1(xfxf 间间；的的定定义义区区间间分分割割为为子子区区用用上上述述点点将将 )( )2(xf与与拐拐点点。确确定定凹凹凸凸在在各各子子区区间间上上的的符符号号以以确确定定 )( )3(xf 。两两步步可可用用列列表表方方式式完完成成、 )3()2(函数作图的步骤：函数作图的步骤：1. 确定确定 Df ; 4. 用用这这些些点点把把 Df划划分分为为子子区区间间；讨讨论论 f 、f 在在各各子子区区间间内内的的符符号号，确确定定 f 的的升升降降与与极极值值、凹凹凸凸与与拐拐点点（可可列列表表）

8、； 2. 讨讨论论 f 的的初初等等性性质质（奇奇偶偶性性、周周期期性性、正正负负、曲曲线线与与坐坐标标轴轴的的交交点点等等）; 3. 求求)(xf 和和)(xf 的的的的零零点点及及不不存存在在点点; 5. 确定渐近线确定渐近线;(复习第复习第3章第章第5节节) 6. 算算出出 f 在在 f 、f 的的零零点点、不不存存在在的的点点处处的的函函数数值值，定定出出的的图图形形上上相相应应点点。必必要要时时可可补补充充一一些些点点，以以保保证证图图形形足足够够精精确确； 7. 作作图图。 2、常用积分方法。、常用积分方法。 1）恒等变形（）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角加一项减一项、

9、乘一项除一项、三角 恒等变形）；恒等变形）； 3）分部积分法）分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积常可用于两个不同类型函数乘积的的积分；的的积分； “对反幂三指，前者设为对反幂三指，前者设为u” 2）换元法：）换元法： 第一类（凑分法）第一类（凑分法）不需要变换式可逆；不需要变换式可逆； 第二类第二类变换式必须可逆变换式必须可逆； ;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx凑微分常见类型凑微分常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxx

10、xf 凑微分时常用到：凑微分时常用到：;22dxxdx ; 1 , 11- nndxdxxnn ;xxdedxe ;21xddxx );ln(1cxddxcx ;sincosxdxdx ;arctan112xddxx ;tansec2xdxdx . 0 ),(1 abaxdadx凑微分法就是设法把凑微分法就是设法把, )()()( xdxgdxxf 凑成凑成 一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。三角代换三角代换去掉如下二次根式：去掉如下二次根式：22)1(xa 可令可令,sintax 22)2(xa 可令可令,tantax 22)3(

11、ax 可令可令,sectax tax22xa tax22ax tax22ax 常用代换常用代换:当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令x=tn, （其中（其中n为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,当分母的阶当分母的阶分子的阶时分子的阶时, 可考虑试用可考虑试用倒代换倒代换：.1tx .2)()3(lim,)( . 10000hxfhxfaxfh 求求已知已知练习题：练习题：2. 求下列函数的导数与微分：求下列函数的导数与微分：xey1sin)1( xeeey )2(,0),1ln(0,)( )3( xxxxxf设设3

12、221ln)4( xxyxexxxy23)4(1)1( )5( xxysin)6( 31sin )7( xexxy )2()( )8( xxxxf., )9(dxdyyxxy求求 . )0( , )100()2)(1()( )12(fxxxxxf 求求设设)1(sin2)13(xfey .)1 , 0(3 . 3的的切切线线和和法法线线方方程程在在点点求求曲曲线线xeyx . 0 ,0,00,1sin)( 4.处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论 xxxxxxf).0( ),( )10(22fefeyxx求可导。可导。仅在点仅在点证明：证明：0)()( . 52 xxDxxf.,

13、. 6)100(22yexyx求求设设 . d , )( , )(sin . 82yxfxfy求求二阶可导二阶可导其中其中设设 .dd )( arctan )1ln( 7.332xyxyyttytx的的函函数数确确定定的的隐隐、求求 处可导？处可导？在在为何值时，为何值时，、问问设设 0 )(b a , 0 a in; 0 be )( 9.2 xxfxxsxxfx. , 1 .13exexx 证明证明).10( ,)1(ln)(1 .1022 xxxx证明：证明：1111. . 计算计算 403cos2lim2xxexx . . 公式。公式。处的处的和和在在写出写出Taylorxxxxf10)

14、2ln()( .12 处的泰勒公式。处的泰勒公式。在在写出写出1)( .14 xxxf.,1.152并并作作函函数数的的图图形形渐渐近近线线拐拐点点凹凹凸凸区区间间极极值值的的单单调调区区间间求求函函数数 xxxy16. 求下列数集的聚点：求下列数集的聚点：1)1( )1(nnSn |)1( )2(1 NnnSn)1 , 0( )3( S)1(1 )4(nSn )()()()( ,),(,)( .17ff b-aa-afbbf bababaxf 使使）（可导，证明可导，证明连续，在连续，在在在)()1(),(, 0, .18baebeaebabaab 使使证明证明.lim, 2 , 1, ,s

15、up .191axnxxSxSaaSSnnnnn 使使存在数列存在数列则则且且设设是非空有上界的数集，是非空有上界的数集，证明：若证明：若 叙述实数的有限覆盖定理，并举例说明叙述实数的有限覆盖定理，并举例说明将其中闭区间改为开区间不成立。将其中闭区间改为开区间不成立。 叙述实数的闭区间套定理，并举例说明叙述实数的闭区间套定理，并举例说明它对开区间套不成立。它对开区间套不成立。 证明聚点的三个定义的等价性证明聚点的三个定义的等价性.求下列不定积分求下列不定积分: :dxxxxx )1(122dxxxx )1(21222(1)(2) dxx2cos11(3)(4)(5) xdx2cotdxxx )ln21(1dxex 11(6).0(122 adxax).0(122 adxax.423dxxx (6)(7)(8)(9)(9).11dxex (11(11 ).)1(13dxxx (10)(10) xdxx ln3(12)(12) xdxx23sincos dxxx34sincos dxxx22cossin xdxcos1 dxxxxcos1sin P88-89. 例例2, 例例4, 例例5 P94. 3, 4, 5, 6, 7, 8 P100. 例例10, 例例11, P102. 1, 2, 3,