岩土数值分析章

1、岩土工程数值分析岩土工程数值分析与应用与应用第一章第一章 绪绪 论论河海大学岩土工程研究所河海大学岩土工程研究所 卢廷浩卢廷浩第一节第一节 岩土工程问题的基本特点岩土工程问题的基本特点 工程类型的多样性工程类型的多样性 材料性质的复杂性材料性质的复杂性 荷载条件的复杂性荷载条件的复杂性 初始条件与边界条件初始条件与边界条件的复杂性的复杂性 相互作用问题相互作用问题 坝顶高程 2258.00 2231.00混凝土防渗墙厚1.2m坝轴 2176.001:2.03010上游护坡主堆石次堆石沥青心墙帷幕灌浆1:1.81:1.81:1.84下游护坡下游压重 2199.301:2.2上游围堰校核洪水位 2

2、254.83正常蓄水位 2253.00死水位 2248.00设计洪水位4.0堆石过渡区过渡区 2225.00 2171.00 2142.00 2144.00 2093.50 2245.00水平反滤层2101:1.75线上游围堰轴线 2204.004厚2.0m2167.00土工膜防渗墙20截流戗堤44垫层料 2253.814.0沥青砼心墙厚0.51.5m 38.8厚1.0m厚1.0m坝上0-271.46坝轴线0+000.00坝下0+237.70坝上0-122.40坝下0+221.80坝下0+160.6043.24坝下0+144.85坝下0+106.20坝下0+53.60铜止水度锌铁片基座混凝土原

3、地形线Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4- 2144.00坝上0-156.20 2044.00黏土铺盖必要时设防渗帷幕几种工程类型（例） 图 5.加 筋 挡 墙n加筋挡墙a).挡墙或边坡支护b).围岩支护图6.锚杆围岩图 8 . 混 凝 土 面 板 坝混 凝 土 面 板趾 板图7 . 心墙坝防渗墙筑坝时负摩阻图 9 . 挡 土 墙 实 际 受 力cc

4、防渗墙与覆盖层混凝土面板坝挡土墙第二节第二节 岩土工程数值分析发展的必然性岩土工程数值分析发展的必然性 为尽可能求得问题的可靠解答，人们的追求为尽可能求得问题的可靠解答，人们的追求与选择大致有三个梯次，与选择大致有三个梯次，退而择之。退而择之。 建立严格的控制物理方程建立严格的控制物理方程 严格精确解严格精确解 基于假定建立较为精确的控制物理方程基于假定建立较为精确的控制物理方程近近似理论解似理论解 必要简化假设的基础上得到的控制物理方程必要简化假设的基础上得到的控制物理方程（微分方程或微分方程组）（微分方程或微分方程组）寻求数值解寻求数值解 第三节 本课程介绍几种常用数值方法 滑移线理论与特

5、征线方法（Characteristics Line Method ，CLM）。 极限分析法（Limit Analysis Method，LAM） 有限单元法（Finite Element Method， FEM），包括土体应力变形、固结有限元及渗流有限元； 离散单元法(Discrete/Distinct Element Method，DEM)； 非连续变形分析法(Discontinuous Deformation Analysis ， DDA)； 岩土参数反分析法（Back Analysis Method ,BAM）； 三个常用软件应用（显式有限差分方法差分的拉格朗日法FLAC3D，基于非线性

6、有限元的通用分析软件的ABAQUS，基于离散元方法的PFC ） 人们的认识在不断发展深化，同时伴随其它学科的发展，例如计算方法的多样化与计算技术的发展，能够求解的岩土工程问题的范围和难度在不断扩大。从求解稳定性问题到求解变形和稳定问题， 从土体到岩体，从连续介质到不连续介质，从简单到复杂，从单一问题到综合和耦合问题等。 数值分析发展前景广阔，是学者和工程师们的新舞台。 第四节第四节 学习中应注意的问题学习中应注意的问题 （1）掌握每种方法的数学力学原理，基本假定和适用范围；（2）弄清每种方法对岩土体材料模型及其参数的要求；学习中应注意的问题学习中应注意的问题（3）弄清每种方法对岩土体材料与结构

7、的相互作用模型及其参数的要求，包括岩石块体之间的关联和相互作用；（4）分析岩土体是否存在渗流和与水的相互作用或其它耦合问题。学习中应注意的问题学习中应注意的问题（5）分析初始条件、边界条件和荷载特征等，确定模拟思路，正确建模；（6）对于反演分析，要研究和分析已知数据，明确待求未知量，选择恰当方法。应用时注意几个主要环节应用时注意几个主要环节（1）研究分析对象，明确计算目的，选择数值分析方法，确定建模方案； （2）确定运用的模型及其参数；（3）确定边界条件与初始条件；坝顶高程 2258.00 2231.00混凝土防渗墙厚1.2m坝轴 2176.001:2.03010上游护坡主堆石次堆石沥青心墙帷

8、幕灌浆1:1.81:1.81:1.84下游护坡下游压重 2199.301:2.2上游围堰校核洪水位 2254.83正常蓄水位 2253.00死水位 2248.00设计洪水位4.0堆石过渡区过渡区 2225.00 2171.00 2142.00 2144.00 2093.50 2245.00水平反滤层2101:1.75线上游围堰轴线 2204.004厚2.0m2167.00土工膜防渗墙20截流戗堤44垫层料 2253.814.0沥青砼心墙厚0.51.5m 38.8厚1.0m厚1.0m坝上0-271.46坝轴线0+000.00坝下0+237.70坝上0-122.40坝下0+221.80坝下0+16

9、0.6043.24坝下0+144.85坝下0+106.20坝下0+53.60铜止水度锌铁片基座混凝土原地形线Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4- 2144.00坝上0-156.20 2044.00应用时注意几个主要环节应用时注意几个主要环节（4）模拟荷载及荷载的动态变化；（5）确定计算的收敛评判依据；（6）考察各环节简化的合理性，考题，否则应调整建模

10、及有关计算模型与参数；（7）确定后处理方法及成果的整理与分析方案。（8）应用商业软件之前，要先弄清原理 教材：卢廷浩等，岩土工程数值分析与应用 河海大学出版社，2012.12参考文献参考文献1 刘汉东、张勇、贾金禄编著，岩土工程数值计算方法（M），黄河水利出版社，1995.12。2 (美)C.S.德赛、J.T.克里斯琴主编，卢世深、潘善德、王钟琦等译，岩土工程数值方法（M），中国建筑工业出版社，1981.8。3 中国力学学会计算力学委员会主办，第一届全国计算岩土力学研讨会论文集（M），西南交通大学出版社，1987.11。4 龚晓南主编，土工计算机分析，中国建筑工业出版社（M），2000.10。

11、5 廖红建、王铁行，岩土工程数值分析，机械工业出版社（M），2006.2。 更多岩土工程数值分析岩土工程数值分析与应用与应用第二章 滑移线理论与特征线法河海大学岩土工程研究所河海大学岩土工程研究所 卢廷浩卢廷浩概 述 对于土体，滑移线理论、极限分析理论与力的极限平衡理论同属极限状态理论的范畴，都是求土体达到极限状态时解答的理论方法。这些理论方法都是假定分析对象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑材料到达极限状态的过程，即不考虑材料的具体应力应变关系，从而求得土体达到极限状态时的解答，但他们各自求解问题的视角和方法不同。关于力的极限平衡理论 力的极限平衡理论假定土体为理想刚体，依据于经典静力学中刚

12、体平衡理论推求极限状态解答，简称为极限平衡法。该方法最为人们所熟悉，其突出优点是简单，应用广泛。例如，经典土压力计算理论，假定滑动面的土坡稳定安全系数计算，地基极限承载力计算等。 关于极限分析理论 极限分析理论假定土体为弹性理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应用虚功率方程推导弹性理想塑性体或刚塑性体的普遍定理上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。关于滑移

13、线理论 土力学中的滑移线理论是从经典塑性力学的基础上发展起来的。假定土体为理想刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。 滑移线理论是基于平面应变状态的土体内当达到“无限”塑性流动时，塑性区内的应力和应变速度的偏微分方程是双曲线这一事实，应用特征线理论求解平面应变问题极限解的一种方法，称为滑移线法。 滑移线概念 基本假定 基本方程 平衡方程为 sinyxxxycosxyzxz22sin22xxxz22zz（）（+c ctg ）土体屈服条件为土体屈服条件为水平线滑移线族曲线13族曲线- 在平面应变问题中，都有两个正交主应力，将各点主应力方向连续地连接起来就是主应力迹线。土体处于屈

14、服状态时，每一点都存在一对剪破面，即面和面，将平面上各点剪破面连续地连接起来就可以得到两族曲线，称为滑移线（或滑动线）。滑移线上一点的切线就是该点的滑动面方向。滑移线概念应力分量表达（一点应力状态） 当土体达到塑性极限平衡时（达到塑性屈服），土体单元将一对剪破面，剪破面与大主应力的夹角为 。 设大主应力 与 轴的夹角为 ，则三个应力分量 可分别表达为 式中 称为平均法向引用应力 421x,xzxz (1 sincos2 )xc ctg (1 sincos2 )zc ctg sinsin2xz2xz（)+c ctg2 c ctg3 1应力分量表达（放大图）2 c ctg3 1滑移线与滑移线方程

15、线和 线的微分方程为 ()dztgdx()dztgdx族曲线13族曲线-应力平衡方程的特征线方程 特征线方程 推导 特征线方程组 极限平衡方程改写 这是一个以x，z ， , 为变量的空间曲面方程是一阶拟线形偏微分方程组。直接求解极其困难。数学上的一阶拟线形偏微分方程组一般形式为(1 sincos2 )sinsin22 sin (sin2cos2)sinxzxzsinsin2(1 sincos2 )2 sin (cos2sin2)cosxzxz 1111122222ABCDExzxzABCDExzxz该式是关于 为变量，由系数 构成的代数方程组，其中系数 是的函数。 ,xzxz1122,.,A

16、BD E1122,.,A BD E, ,x y 该方程组的系数行列式为 展开行列式，令 ，有 其中 11112222ABCDABCDdxdzdxdz 0 2()()0dzdzABCdxdx在某区域内，如果 则方程有两个实根， 表示一阶拟线形偏微分方程组为双曲线型的，在该区域内有两族实的特征线。1212121212211212AC AACBBCC BADA DCD BB D240BAC242dzBBACdxA 如果 ，则方程有一个实根，表示一阶拟线形偏微分方程组为抛物线型的，只有一族特征线； 如果则 方程没有实根，表示一阶拟线形偏微分方程组为椭圆型的，不存在实的特征线。 240BAC240BAC

17、特征线方程推导 上式是关于 、 的一阶拟线形偏微分方程组，直接求解这个偏微分方程组极其困难。由于两族滑移线自己的夹角是 为此可以将方程改写：以 乘第一个方程；以 乘第二个方程，然后相加，得22()422sin()-cos()特征线方程推导空间曲面方程以 为变量空间曲面方程 sin()cos()2cos()2xcoscoscos() 0tgtgxzz , x z， 特征线方程推导 在xoz平面内一定存在某曲线 ，该曲线上 和 正好满足方程；沿该线 、 可以表达为( , )( , )x zx zz=z(x)求全微分改写上式得 将其代入式整理后得到 d =d =dxdzxzdxdzxz=ddxxzd

18、z=ddxxzdz式中sin()sin()2xcossin()cos()cos()cos()2cossin()cos()tgxdxdztgzzdxdz2sin()cos()cosdtgddxdz 当右端项分子分母同时为0，左端的导数值不定， 称为特征线。特征线的方程组：z=z(x)()dztgdx2sin()cos() cosdtgddxdz 方程组是曲面方程，仍难以求得解析解，只能沿着曲面方程的特征线才能求得解答，因此称为特征线法。 比较滑移线的定义与此处的特征线方程，可知此处数学上的特征线就是物理概念上的滑移线。 应力间断线应力间断线（l线）推导2221zc22( ,)21( ,) 图7.

19、2应力间断线应力间断线推导t1t212tttn1n2n切向正应力间断滑移线的基本性质 应用特征线法求解极限荷载时必须首先根据滑移线性质构造应力场。根据滑移线的定义，可推得具有如下基本特性。滑移线上的剪应力等于岩土体的抗剪强度（极限状态），滑移线网与屈服准则有关。两族滑移线的夹角与内摩擦角 值有关，粘聚力c不影响滑移线的两族滑移线的夹角和形状，而土体自重 影响滑移线网的形状但不影响两族滑移线的夹角。 滑移线的基本性质沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条滑移线上的 变化与 的变化呈比例， 的变化（滑移线的曲率变化）愈大相应的 变化也愈大；如若某段滑移线为直线，则该直线段滑移线上的 ， 值和应力

20、分量均为常量。两条 族被两条 族滑移线所切割的两滑移线段转角相等，同理两条 族被两条 族滑移线所切割的两滑移线段转角也相等（Henky第一定律）。若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族滑移线的曲率半径的变化（Henky第二定律）。 特征线方程组的差分解法差分方程组111222()()()()mmmmzztgxxzztgxx11111222222()sin()()cos()()cos2()sin()()cos()()cosmmmmmmmmtgxxzztgxxzz 提高差分解精度 依据问题定性作出较密的滑移线网格；逐点进行一次差分计算后，再在前一次差分计算结果的基础上进行逐次迭代计算 ，以1212

21、1212,x x z z 进行下一次迭代 差分计算看似繁琐，但应用计算机采取编程计算就极简单而且快捷 1111(),(),(),(),22221111(),(),(),()2222amibmiamibmiamibmiamibmixxxxzzzz分别代替边界已知值换算 由 换算成p,， 221()sinnttpc ctgp 图8.1c ctg 1土体单元极限平衡状态 土体单元极限平衡状态 （推导）222 2c ctg 图2.9 边界上应力状态摩尔圆 土体单元极限平衡状态 （推导）1()pO NO N或由图可见NO Q O Q2()O QN -或 OQN1（引用应力）（引用应力对法线的倾角）（平均

22、法向引用应力）（方向对边界倾角的2倍） 222 2c ctg 边界已知值换算推导点 和点 对应着两种应力状态，即被动状态和主动状态。 在上式分别合成一个式子，有（ ）NNN22m 1()2msinsin()sin2sin()pp N2(21)m 1()22msinsinsin2sin()pp 1(1)()42mKK1K 处，或按正弦定律 在处， 或按正弦定律 图2.10 主动与被动状态判别 1sinsinsin 因为线段长sinsin sinQT 主动与被动状态判别ntntn2tnn1()2tnnN若边界顺着边界荷载极限平衡状态，则单元的侧向应力必小于法向应力即，有，从而，这种情况恰与莫尔圆上

23、的点相一致，就相当于取式（2-24）中的K1；的运动方向下压使土体单元处于222 2c ctg 按该式计算的值最小，称主动状态或最小应力状态。主动与被动状态判别ntn1()2tnnN若边界逆着边界荷载极限平衡状态，则单元的侧向应力必大于法向应力即，有，从而，这种情况恰与莫尔圆上的点相一致，就相当于取式（2-24）中的K+1；的运动方向下压使土体单元处于222 2c ctg 按该式计算的值最大，称被动状态或最大应力状态。tn1()2tnn边界已知值换算由 换算成p,或,nt 当差分计算到未知边界后，一般应完成这种换算，以便于设计使用。换算可采用如下两种方法之一进行。 p,nt(1 sincos2

24、 )nc ctg sinsin2tp,方法1：利用式，反求，方法2：先由莫尔圆上直接求出然后求出再求求出边值问题 第一种边值问题（柯西问题） 第二种边值问题（古尔斯问题，黎曼问题）特征曲线A 2A o 2o 1zxoooA 2A zx光滑边界ooA 2A zx光滑边界特征曲线A 2A o 2o 1zxo边值问题 第三种边值问题（混合问题） 第四种边值问题图8.7图8.6o光滑边界光滑边界zxoA a1zxA o 特征线光滑边界A 3地基极限承载力 边界条件 已知条件有：地基土性参数 ； 边荷载 ；以及基底荷载之倾角 （由上部结构荷载水平与垂直分量确定）。 目的是：求基底面极限承载力及其分布 ,

25、 , cqdc ctg 地基极限承载力 滑移线网格与节点图 10.1112 12A地基极限承载力 分析边界条件 初绘滑移线网、节点编号 计算表格（步骤），或编程 分区解答（或输入程序计算信息） 极限荷载、实际荷载分析边界条件和 OB为未知边界换算图 10.1112 12Ax0OA为已知边界，OB为未知边界（基底面）。分析应力边界的土体单元不难发现，未知边界基底面OB将顺着p下压，BOD为主动区，根据前面的分析应取K K1 1，将m0，代入式（2-24），取轴与基底面一致即，得1()22sin()sinp1sinsinsin 222 2c ctg 分析边界条件和 已知的边界OA 换算图 10.1

26、112 12A222 2c ctg 0分析应力边界的土体单元不难发现，未知边界OA有外移（隆起）的趋势，AOC为被动区，因此应取K K+1+1，将m0，代入式（2-27） ，得 01 sinq网格节点编号图 10.1112 12A 地基极限承载力计算格式 AOC区解答COD区解答 COD区为主动区与被动区之间的过渡区，其中O点是该区 族滑移线的会交点，也可以将O点看着为 族滑移线缩于一点。该点是奇点，发生了理论上的应力间断。 COD区解答COD区解答DOB区求解 01()22z求基底OB面上的极限荷载和设计荷载 饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土

27、地基极限承载力2usczD饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力土坡稳定 坡顶极限承载力A图 11.1坡顶极限承载力坡顶极限承载力A图 1 1 . 1坡顶极限承载力极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线 01族族设计A极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线01族族设计A01族族设计A极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线竖直坡的临界高度竖直坡

28、的临界高度 竖直坡的临界高度 极限平衡理论的轴对称解答极限平衡理论的轴对称解答 极限平衡理论的轴对称解答极限平衡理论的轴对称解答 极限平衡理论的轴对称解答极限平衡理论的轴对称解答 极限平极限平衡理论衡理论的轴对的轴对称解答称解答 极限平衡理论的轴对称解答极限平衡理论的轴对称解答 极限平衡理论的轴对称解答极限平衡理论的轴对称解答讨 论 在滑移线理论中，由于假定土体符合莫尔库仑准则，是理想弹塑性或刚塑性体，故不涉及具体的应力应变关系，所以滑移线理论与特征线方法是求解极限平衡问题时的解答。 同时由于难以求得应力平衡方程的解析解，基于应力平衡方程是双曲线型方程其几何上的特征线就是物理上滑移线，从而求得

29、极限平衡解答。因为最终是用数值方法求解，故解答是近似解。 讨 论 对于非均匀土体（符合本方法的基本假定），滑移线理论与特征线方法可以近似应用，但由于基本方程是假定均质条件下推导的，应用特征线求解时相应区域的参数要随之变化，界面处特征线将发生偏转，因而只能说可以近似应用。对于复杂应力条件和复杂边界条件等问题，用滑移线理论与特征线方法求解目前尚存在困难。 讨 论 当前岩土材料的滑移线理论都采用经典塑性理论中的关联流动法则，由此得出应力特征线与滑移线一致。而试验得知，岩土材料并不一定服从关联流动法则，因而应力特征线与滑移线可能不重合。 广义塑性力学的出现，从理论上证明了塑性势面与莫尔 库仑屈服面之间

30、成一定的角度，因而应研究采用非关联流动法则来研究滑移线 （进行中）。 滑移线理论与特征线方法用于求得某些问题的数值解是其重要的方面，并且尚应继续深入研究并扩大应用范围。滑移线理论与特征线方法的另一个重要作用是，可以经常用于对某些问题进行定性分析和判断，因而其基本概念有着广泛应用。 谢 谢天命之谓性，天命之谓性，率性之谓道，率性之谓道，修道之谓教。修道之谓教。 -中庸第三章 极限分析法河海大学岩土工程研究所卢廷浩岩土工程数值分析岩土工程数值分析与应用与应用第一节 概述 极限分析理论假定土体为弹性理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值

31、并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。 极限分析理论就是应用弹性理想塑性体或刚塑性体的普遍定理上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。第二节 上、下限定理1、静力容许的应力场、静力容许的应力场 设有物体V，其表面A，面力 和体力 已知。若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条件，则称为静力容许应力场。 在体积V内满足平衡方程，即 在边界上满足边界条件，即 在体积V内不违反屈服条件，即 由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定

32、是极限状态时真实的应力场。iif上、下限定理2、机动容许的位移速率场、机动容许的位移速率场 ui ui 在物体V上，若设定一组位移速率场，满足以下条件，为机动容许的位移速率场。 在体积V内满足几何方程，即 则称)(21*,*,*ijjiijuu在边界Su上满足位移边界条件，或速度边界条件，并使外力做正功。由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的位移速率场必定是机动容许的位移速率场；但机动容许的位移速率场不一定是极限状态时真实的位移速率场。上、下限定理3、速度间断面、速度间断面 速度间断面(平面上是间断线)是两个速度不同区块存在的过渡薄层，是速度场中从一个速度区过渡到另一个速度不同的区域的薄层

33、的极限情况，一般是刚性区与刚性区或刚性区与变形区的边界，如单剪情况速度间断面的存在将产生能量耗散。 设物体内部存在若干个速度间断面（i=1、2、3.），将物体分成有限个子块，每个子块内部的速度是连续的。 tgvvvvititinin)1 ()2()1 ()2(上、下限定理4、虚功方程与虚功率方程、虚功方程与虚功率方程 虚功原理表明：对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的虚功。 同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变形功率。 如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为：

34、 以上几个定理的证明可参考土力学有关书本，这里从略。根据虚功率方程可以证明极限分析中两个重要的定理，即上下限定理。dvdAuFdAuTijAvijViiii*0*dsvtgdvdvuFdAuTtsnijAvijviiii )(*0*vtdvdvuFdAuTijAvijViiii*0*式中，S速度间断面； 速度间断面两侧切向 速度的变化。上、下限定理上、下限定理5、下限定理、下限定理： 在所有与静力容许的应力场满足 相对应的荷载中，极限荷载最大。 （证明） Fij（） 0上、下限定理上、下限定理6、上限定理： 在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的

35、极限荷载为最小。 （证明）下限定理证明下限定理证明 证：设 为真实的应力场，对应的表面力为Ti， 为真实的位移速率场，由几何方程求得真实应变率为 ，真实速度场中可能存在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为 ；在Su上给定速度为 ，在ST上给定表面力为 ，给定的体力为Fi。 ij uiijvtiu iT下限定理证明下限定理证明由虚功率方程得 又设另一静力容许的应力场，对应的表面力为，由虚功率方程得 LtsLnijvijisiviidsvtgtdvdsuTdvuF )(00LsLtvijijsiiviidsvCdvdsuTdvuF下限定理证明下限定理证明上述两式相减得 LtsLnjivijijis

36、iidsvtgCdvdsuTT )()()(00由Drucker公式得到ijijij)(00 由于Ctgn )(tnvtgC同时 0，即剪应力做正功率知0。0()iiisTT u dsdsuffdsuTTiiiivisi*)()(dsufdsuTdsufdsuTiiiiiivisivs*剪应力做正功率，因此可得0或者 上式表明，在所有静力许可的应力场中，极限荷载的功率为最大。 或者说与所有静力许可的应力场相平衡的荷载是极限荷载的下限。于是下限定理得到证明。 上限定理证明上限定理证明 上限定理：在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。 证：设 为物体达到极限状态的真实

37、应力场，其对应的表面力为Ti， 为真实位移速率场，由几何方程求得的应变率为 ，真实速度场中可能有速度间断面SL，其上的速度切向跃值为 ；体力为Fi。 ij uiijvt上限定理证明上限定理证明 另设一机动容许的位移速率场 ，对应的应变率为 ，应变速度场可能有间断面，其上的切向速度为 。虚功率方程得*ui*ij*vt* )(LvtvSLnijijsiiiidsvtgdvdsuTdvuF()*ijijvij由于由于0 上限定理证明上限定理证明又tgnC，则有* )(*LtLtSndsvCdsvtgLvLStijijsiiiidsvCdsuTdvuFL*后两式代入第一式，有显然只有当*uuii时，上

38、式等号成立。上限定理得到证明。Fij（）0事实上，不妨设Fi,Ti 就是真正的极限荷载，对应的静力许可应力场 满足左边是外功功率，右边是能量耗散率，这就证明满足外功功率能量耗散率塑性变形时的荷载最小。第三节第三节 流动规则与能量耗散率流动规则与能量耗散率1、正交流动规则、正交流动规则塑性应变率之间的关系-主应力平面 3131FFpp0cos2)sin1 ()sin1 (31CF屈服函数1 sin()1 sin42tg 正交流动规则正交流动规则塑性应变率之间的关系- ( ) ( )平面 .1FppnnFtg .ppntg 0tgCFnppnn屈服函数2、单剪中能量耗散率.ppnnD fnctg代

39、入得单元体能量耗散率D.ppntg ppnpnpnnpctgtgcD.)()(总能量耗散率.intcospDD l hcl hclv .cospvh是A点的速度v在剪切面上的速度分量材料总能量耗散率 B C H 刚体 刚体 v t A 图75 竖直边坡平动机制 3、能量耗散率计算 薄变形层上的刚体滑动能量耗散率 薄层滑动面为平面，形式与单剪相同，其能量耗散率即为D= 以对数螺线为周界的变形锲体的能量耗散率 （推导）cosvcl薄变形层上对数螺线形式的刚体滑动能量耗散率 1)2exp(21)2exp(cos)exp(cos)exp(cos100000000int11tgctgrcvdtgcvdtgrtgcvdlcvDl.1