第三讲1应用统计(1)

1、1第三讲第三讲 假设检验问题假设检验问题n 虽然我们不知道一批灯管的平均使用寿命虽然我们不知道一批灯管的平均使用寿命是多少，不知道一批产品的合格率是多少，不是多少，不知道一批产品的合格率是多少，不知道全校学生的生活费支出的方差是多少，但知道全校学生的生活费支出的方差是多少，但我们可以事先提取一个假设值，比如，这批灯我们可以事先提取一个假设值，比如，这批灯管的平均使用寿命是管的平均使用寿命是1500小时，这批产品的合小时，这批产品的合格率是格率是95%，全校学生的生活费支出的方差是，全校学生的生活费支出的方差是1000，然后从中抽取一个样本，根据样本提供，然后从中抽取一个样本，根据样本提供的信息

2、来判断假设是否成立。这就是统计上所的信息来判断假设是否成立。这就是统计上所说的假设检验。说的假设检验。2 一、假设检验的基本思路和概念1.两种统计推断n估计：求总体参数的近似值或近似值的误差范围。基本方法是选择一个（组）合适的模型；n检验：判断总体的某个性质是否成立。基本方法是检验一个（组）给定的模型。32.假设检验的过程和思路 概率意义下的反证法类似于“无罪推定” 总体总体假设总体的假设总体的平均年龄是平均年龄是50岁岁拒绝拒绝样本均值是样本均值是 20样本样本无效假设无效假设50?20X是否不可能不可能!4什么是假设?(hypothesis)n 对总体参数的具体数值所作的陈述n总体参数包括

3、总体均值总体均值、比例比例、方差方差等n分析之前之前必需陈述5什么是假设检验? (hypothesis test)先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程有参数检验和非参数检验逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理6假设检验的基本思想 = 507假设检验的过程我认为人口的平我认为人口的平均年龄是均年龄是5050岁岁 拒绝假设拒绝假设 别无选择别无选择! 8n【例】【例】一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程

4、不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和被择假设9n【例】【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设绿叶洗涤剂10n【例】【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设11原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立n在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立先确定备择假设，再确定原假设 等号“

5、=”总是放在原假设上 因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)12双侧检验与单侧检验 (假设的形式)假设假设双侧检验双侧检验单侧检验单侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验原假设原假设H0 : : = 0 0H0 : : 0 0H0 : : 0 0备择假设备择假设H1 : : 0 0H1 : : 0 013假设检验中的两类错误n1. 第第类错误类错误(弃真错误弃真错误)n原假设为真时拒绝原假设n第类错误的概率记为n被称为显著性水平n2. 第第类错误类错误(取伪错误取伪错误)n原假设为假时未拒绝原假设n第类错误的概率记为 (Beta)14陪审团审判陪审团审判裁决裁决实

6、际情况实际情况无罪无罪有罪有罪无罪无罪正确正确错误错误有罪有罪错误错误正确正确H0 检验检验决策决策实际情况实际情况H0为真为真H0为假为假未拒绝未拒绝H0正确决策正确决策(1 ) )第第类错类错误误( ( ) )拒绝拒绝H0第第类错类错误误( ( ) )正确决策正确决策(1-(1- ) )15 和和 呈相反关系呈相反关系 降低一类错误的概率另一类错降低一类错误的概率另一类错误的概率就会提高误的概率就会提高16显著性水平显著性水平 (significant level)n1. 是一个概率值n2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率n被称为抽样分布的拒绝域n3. 表示为 (alpha)n常用的 值有

7、0.01, 0.05, 0.10n4. 由研究者事先确定17 拒绝域和显著性水平拒绝域和显著性水平n拒绝域：原假设 H0 成立条件下,统计量落入的小概率区域。统计量真的落入拒绝域你会拒绝原假设。n显著性水平 ：事先给定的形成拒绝域的小概率，通常 = 0.01、0.05、0.10。n建立拒绝域的根据是什么？根据抽样分布，统计量落入该区域的概率= 。n所谓检验就是选择一个拒绝域。18假设检验中的小概率原理n 什么小概率？什么小概率？n1. 在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率n2. 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设n3. 小概率由研究者事先确定19根据样本观测结果

8、计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量对样本估计量的标准化结果n原假设H0为真n点估计量的抽样分布 点估计量的抽样标准差假设值点估计量标准化检验统计量20显著性水平和拒绝域(双侧检验 ) /2 21显著性水平和拒绝域(双侧检验 ) 22显著性水平和拒绝域(双侧检验 ) 23显著性水平和拒绝域(双侧检验 ) 24显著性水平和拒绝域(单侧检验 )25显著性水平和拒绝域(左侧检验 )26显著性水平和拒绝域(左侧检验 )27显著性水平和拒绝域(右侧检验 )28显著性水平和拒绝域(右侧检验 )29决策规则给定显著性水平，查表得出相应的临界值z或z/2， t或t/2将检验统计量的值与

9、 水平的临界值进行比较作出决策n双侧检验: |统计量| 临界值，拒绝H0n左侧检验：统计量 临界值，拒绝H030什么是P 值?(P-value)在原假设为真的条件下，检验统计量的观察值大于或等于其计算值的概率n双侧检验为分布中两侧面积的总和反映实际观测到的数据与原假设H0之间不一致的程度被称为观察到的(或实测的)显著性水平决策规则：若p值, 拒绝 H031双侧检验的P 值32左侧检验的P 值33右侧检验的P 值34假设检验步骤的总结假设检验步骤的总结陈述原假设和备择假设陈述原假设和备择假设从所研究的总体中抽出一个随机样本从所研究的总体中抽出一个随机样本确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据确

10、定一个适当的检验统计量，并利用样本数据算出其具体数值算出其具体数值确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界值，指定拒绝域值，指定拒绝域将统计量的值与临界值进行比较，作出决策将统计量的值与临界值进行比较，作出决策n统计量的值落在拒绝域，拒绝统计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝，否则不拒绝H0n也可以直接利用也可以直接利用P值作出决策值作出决策35一个总体参数的检验z 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾) t 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾)z 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾) 2 2 检验检验(单尾和双尾单尾和双尾)均值均值一个总体一个总体比例比例方差方

11、差36总体均值的检验(作出判断) 是否已是否已知知样本容量样本容量n 是否已是否已知知 t 检验检验nsxt0z 检验检验nsxz0z 检验检验 nxz0z 检验检验nxz037总体均值的检验( 2 已知)(例题分析)n【例】【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平=0.05 ，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？38总体均值的检验( 2 已知)(例题分析)nH0 ： = 255nH1 ： 255n = 0.05nn = 40n

12、临界值临界值(c):01. 14052558 .2550nxz39总体均值的检验(z检验) (P 值的计算与应用)n第第1步：步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)n第第2步：步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的菜单下选择“NORMSDIST”，然后确定n第第3步：步：将 z 的绝对值1.01录入，得到的函数值为0.843752345 n P值=2(1-0.843752345)=0.312495 n P值远远大于，故不拒绝H040总体均值的检验( 2 未知)(例题分析)n【例】【例】一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工

13、以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低？ (=0.01) 50个零件尺寸的误差数据个零件尺寸的误差数据 (mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.70

14、2.371.381.601.261.171.121.230.820.8641总体均值的检验( 2 未知)(例题分析)nH0 ： 1.35nH1 ： 1.35n = 0.01nn = 50n临界值临界值(c):6061. 250365749. 035. 13152. 1z42总体均值的检验(z检验) (P 值的计算与应用)n第第1步：步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴 n 函数)n第第2步：步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的n 菜单下选择“ZTEST”，然后确定n第第3步：步：在所出现的对话框Array框中，输入原始数据所在区 n 域 ；在X后输入参数的某一假定值(这

15、里为1.35)；在n Sigma后输入已知的总体标准差(若未总体标准差未 n 知则可忽略不填，系统将自动使用样本标准差代替) n第第4步：步：用1减去得到的函数值0.995421023 即为P值n P值=1-0.995421023=0.004579 n P值 5200n = 0.05nn = 36n临界值临界值(c):75. 33612052005275z46总体均值的检验(z检验) (P 值的图示)472.2.总体均值的单边（单尾）检验总体均值的单边（单尾）检验 H0: : 0 0 或或 H0: : 0 01）是否对Hilltop咖啡投诉？ 联邦贸易委员会（联邦贸易委员会（FTCFTC）意欲

16、对大瓶）意欲对大瓶HilltopHilltop咖啡咖啡进行检查，以确定是否符合其标签上注明的进行检查，以确定是否符合其标签上注明的“容量容量至少是至少是3 3磅磅”的说法，并由此决定是否因为包装重量的说法，并由此决定是否因为包装重量的不足而对其提出投诉。的不足而对其提出投诉。 假设检验问题假设检验问题 H0: :3 3 H1: : 3. 3. 给定显著水平给定显著水平 =0.05=0.05，给出一个检验方法。，给出一个检验方法。请你说出该显著水平在这一问题中有什么实际意请你说出该显著水平在这一问题中有什么实际意义？义？48总体均值的检验 (大样本检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验

17、左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知： 未知：拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0nxz0nsxz02/zz zzzz P49总体均值的检验 (小样本)n1.假定条件n总体服从正态分布n小样本(n 30)检验统计量n 2 已知：2. 2 未知：) 1 , 0(0Nnxz) 1(0ntnsxt50总体均值的检验 (小样本检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： =0H1 ： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量 已知： 未知：拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0nxz0n

18、sxt0) 1(2/ntt) 1( ntt) 1( nttP51总体均值的检验 (例题分析)n【例】【例】一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？ 10个零件尺寸的长度个零件尺寸的长度 (cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.352总体均值的检验 (例题分析)nH0 ：

19、=12nH1 ： 12n = 0.05ndf = 10 - 1= 9n临界值临界值(c):7035. 0104932. 01289.11t53总体均值的检验( t 检验) (P 值的计算与应用)n第第1步：步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴 n 函数)n第第2步：步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的n 菜单下选择“TDIST”，然后确定n第第3步：步：在出现对话框的X栏中输入计算出的t的绝对值n 0.7035，在Deg-freedom(自由度)栏中输入n 本例的自由度9，在Tails栏中输入2(表明是双n 侧检验，如果是单测检验则在该栏输入1) n第第4步：步：P值=

20、0.499537958n P值=0.05，故不拒绝H0 54三、总体比率的检验三、总体比率的检验 1.总体比率单边检验总体比率单边检验 H0: p p0 或或 H0: p p0例：例：Pine Greek高尔夫球场的性别比率高尔夫球场的性别比率问题。问题。400个运动者中个运动者中100个女性，能否认为女性比个女性，能否认为女性比率比过去的率比过去的20%增加了？增加了？解解 H0: p 0.20, H1: p0.20; 拒绝域的形状：拒绝域的形状： )0( 20.0ccp55 400)20.01(20.020.0:)20.01(20.020.0zpznp即当=0.05时，拒绝域为你的结论？你

21、的结论？ =0.250.2329 拒绝拒绝 H02329.0pp利用大样本下样本比率的抽样分布得到拒绝域为：利用大样本下样本比率的抽样分布得到拒绝域为：562.2.总体比率的双边检验总体比率的双边检验 . :H ; :H 0100pppp给定显著性水平,大样本情况下你能写出相应的拒绝域吗?57总体比例的检验 (检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0： = 0H1： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策拒绝H0P2/zz npz)1 (000zzzz 58总体比例的检验 (例题分析)n【例】【例】一种以休闲和娱乐为

22、主题的杂志，声称其读者群中有80%为女性。为验证这一说法是否属实，某研究部门抽取了由200人组成的一个随机样本，发现有146个女性经常阅读该杂志。分别取显著性水平 =0.05和 =0.01 ，检验该杂志读者群中女性的比例是否为80%？它们的值各是多少？59总体比例的检验 (例题分析)nH0 ： = 80%nH1 ： 80%n = 0.05nn = 200n临界值临界值(c):475. 2200)80. 01 (80. 080. 073. 0z60总体比例的检验 (例题分析)nH0 ： = 80%nH1 ： 80%n = 0.01nn = 200n临界值临界值(c):475. 2200)80.

23、01 (80. 080. 073. 0z61总体方差的检验 ( 2检验) 检验一个总体的方差或标准差假设总体近似服从正态分布使用 2分布检验统计量) 1() 1(22022nsn62总体方差的检验 (检验方法的总结)假设假设双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验假设形式假设形式H0 ： 2= 02 H1 ： 2 02H0 ： 2 02 H1 ： 2 02统计量统计量拒绝域拒绝域P值决策值决策 拒绝H0P2022) 1(sn ) 1(2212n) 1(222n) 1(222n) 1(2212n63总体方差的检验(例题分析)n【例】【例】啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为

24、640ml，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定每瓶装填量的标准差不应超过和不应低于4ml。企业质检部门抽取了10瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为s=3.8ml。试以0.10的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？BEERBEERBEERBEERBEER64总体方差的检验(例题分析)nH0 ： 2 = 42nH1 ： 2 42n = 0.10ndf = 10 - 1 = 9n临界值临界值(s):1225. 848

25、. 3) 110(22265四、整理假设检验的思路四、整理假设检验的思路1.假设检验的过程假设检验的过程1）确定适当的原假设和备择假设；2）选择检验统计量；3）指定显著水平，即“允许犯第一类错误的最大最大概率”；4）根据显著水平和统计量的抽样分布来确定统计量的临界值，从而确定拒绝域；5）根据样本计算统计量的值并与临界值比较看是否落入拒绝域；6）得出结论。662.2.原假设原假设H0和备择假设和备择假设H1的选定的选定 1)假设检验是概率意义下的反证法,根据N-P原则,否定H0 (即肯定H1 )把握更大,犯错误只是事先控制的小概率,所以把希望得到的结果做为备择假设. 2)把可能被推翻的标准、宣示、结论做为原假设,因此带“=”的标志(、=、)置于H0 . 3）把比较保守的论断置于H1。 4)原假设和备择假设的地位不对等,内容不能互换: H0: H1: 拒绝域: c0 H0: H1: 拒绝域: c0 00cx000cx067原假设原假设H0和备择假设和备择假设H1的选定（续）的选定（续）5)如果统计量值 , 不必检验 H0: ，因为一定不在拒绝域；同理如果统计量值 ，不必检验 H0: 。6)如果实际问题要求，不否定H0 就必须肯定H0：则只有增大 值, =0.10、甚至 = 0.25 都不能否定H0 ,才接受 H0