材力第10章：压杆稳定

1、 101 压杆稳定的概念压杆稳定的概念104 临界应力临界应力欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围102 铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力105 压杆的稳定计算压杆的稳定计算103 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力106 提高压杆稳定的措施提高压杆稳定的措施 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平衡状态的能力称其为衡状态的能力称其为。 轴向受压的等截面直杆称为轴向受压的等截面直杆称为。干扰力crFF

2、图示为两端铰支的理想压杆。图示为两端铰支的理想压杆。 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆直线状态的平衡是直线状态的平衡是。(1)crFFF干扰力crF 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是。(2);crFFF 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是。(

3、3);crFFcrF干扰力 压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为，或简称，或简称。 压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压力称为压杆的压力称为压杆的，用，用Fcr表示之。表示之。 压杆工作时决不允许失稳。压杆工作时决不允许失稳。102 铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力 欧拉公式欧拉公式crFcrF)(xMxxyyxyl由平衡方程得：由平衡方程得：( )crM xF y（a）挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为EIxMdxyd)(22（b）将式将式（a）代入式代入式（b）得

4、得22crFd yydxEI （c）令令 ，得微分方程：，得微分方程：2crFkEI0222ykdxyd0222ykdxydcrPxyl通解为：通解为：kxBkxAycossin由由 x = 0，y = 0；得得B = 0，于是于是kxAysin由由 x = l，y = 0；得得:0sinklA若若A = 0，则则 y0，挠曲线为直线，无意义，只能挠曲线为直线，无意义，只能0sinkl于是得：于是得：), 2, 1, 0(nnkl2crFkEI由式由式 得：得：222crnEIFl222crnEIFl此解最小者为压杆的临界力，当此解最小者为压杆的临界力，当n = 0，Fcr= 0，无意义，故无

5、意义，故取取n = 1。即即22crEIFl这就是两端铰支压杆临界力的这就是两端铰支压杆临界力的。 其他支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：其他支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：22()crEIFl其中其中 称为杆的称为杆的。103 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表度系数如下表101。ll两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定ll127 . 05 . 0约束情况约束情况长度系

6、数长度系数压杆形状压杆形状l1.3l1.7l2l（a）（b）（c）【例【例10-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。哪个临界力最大。解：解：,2)(llaa,3 . 1)(llbb,19. 17 . 17 . 0)(lllcc,25 . 0)(llldd（d）杆临界力最大。杆临界力最大。（d）104 临界应力临界应力欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为。22()crcrFEIAlA令令 ，AIi )(ai 为截面对中性轴的为截面对中性轴的。引入记

7、号：引入记号：li 称为压杆的柔度（或长细比）。称为压杆的柔度（或长细比）。（a）式改写为：式改写为：22Ecr一、临界应力一、临界应力二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即中的临界应力不得超过材料的比例极限，即PcrE22PE取取 cr= P时的柔度值为时的柔度值为 P，则有则有PP

8、E因此，欧拉公式的适用范围为因此，欧拉公式的适用范围为P式中式中 P是判断是判断欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为。 P的压杆称为大的压杆称为大柔度杆，或细长杆。只有柔度杆，或细长杆。只有大大柔度杆柔度杆才能用欧拉公式求解。才能用欧拉公式求解。【例【例10-2】图示压杆的图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此此压杆是压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。1.5mPyz10040【解【解】yIIIminmmAIiy32040100124010039 .90203105 . 17 . 03il8 .62175

9、10703PPE因因 P，此压杆为大，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：22931232270 10100 401010334.2()(0.7 1.5)12crEIFkNl【例【例10-3】图示圆截面压杆，图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。试求可试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。用欧拉公式计算临界力时杆的长度。lFd【解】【解】3 .99200102003PPEdlddlIAlil464/4/42Pdl4mdlP48. 241 . 03 .994【例【例10-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：在图示矩形截面压杆，其

10、约束性质为：在xoz平面平面内为两端固定；在内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。已知平面内为一端固定，一端自由。已知材料的材料的E=200GPa，P=200MPa。试求此试求此压杆的临界力。压杆的临界力。1mzy2060Fzxo【解【解】3 .99200102003PPEmmAIizz32.1760201260203mmAIiyy77. 5602012206031mzy2060Fzxo,32.17mmizmmiy77. 55 .11532.1710002zyyil7 .8677. 510005 . 0yzzil 压杆将在压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。平面内失稳，欧拉公式

11、适用。MPaEycr1485 .1151020023222 压杆临界力为压杆临界力为663148 1020 60 1010178crcrFAkN三、超过比例极限时压杆的临界应力和临界应力总图三、超过比例极限时压杆的临界应力和临界应力总图 当当 P时，可用欧拉公式计算压杆的时，可用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应临界力和临界应力，当力，当 P时，压杆的时，压杆的临界力和临界应力的临界力和临界应力的计算计算，目前尚，目前尚没有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式没有严密的理论公式。对于此类压杆，各国多采用经验公式计算压杆的计算压杆的临界力和临界应力。临界力和临界应力。1.直线型经验公式

12、直线型经验公式 P S 时：时：scrbassba SP的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求得。 bacriL cr S的杆为小柔度杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题，其临界应力为屈服极限。22 Ecr 临界应力总图临界应力总图 S 时：时：scr bacrP S bass PPE 2 细长杆细长杆(大柔度杆大柔度杆)中粗杆中粗杆(中柔度杆中柔度杆) 粗短杆粗短杆(小柔度杆小柔度杆)2.抛物线型经验公式抛物线型经验公式211bacrScEAA56. 043. 016253，锰钢：钢和钢、对于 c时，由此式求临界应力。我国建筑业常用：我国建筑业常用： P s 时：时： 21cscr sP)、F

13、=40KN、l=3m、b=120mm、h=160mm、材料弹性模量材料弹性模量E=10GPa，若稳定安全因数若稳定安全因数nst=3.2，试校核该杆试校核该杆的稳定性的稳定性。lFhbzy【解】【解】crstFFn校核压杆稳定即验算其是否满足条件。该杆为大柔度杆，其临界力为323222160 12010 1012()(1 3000)ZcrEIFl252.678.93.2crstFKNFn3252.6 10252.6NKN满足稳定条件满足稳定条件【例【例10-7】图示为型号图示为型号22a的工字钢压杆，材料的工字钢压杆，材料A3钢。已知压钢。已知压力力F=280kN，容许应力容许应力=160MP

14、a，试校核压杆的稳定性。试校核压杆的稳定性。4.2mFyz【解】【解】由型钢表查得由型钢表查得22a工字钢的工字钢的242,1 .23cmAmmiy1271 .23102 . 47 . 03il查表：查表：;466. 0,120;401. 0,130插分：插分：.421. 0,12732280 10158 1600.421 42 10FMPaMPaA安全安全Q235钢16锰钢木材1101201301401500.5360.4660.4010.3490.3060.3840.3250.2790.2420.2130.2480.2080.1780.1530.133【例【例10-8】图示支架，图示支架，

15、AC为圆木杆，直径为圆木杆，直径d=150mm，容许应容许应力力=10MPa。试由试由AC杆的稳定性来确定容许荷载杆的稳定性来确定容许荷载F。ABC45F2m【解【解】424 2 275.420.15/644/ 4llldidd查表：查表：70,0.575;80,0.470;插分：插分：75 42,0.518.Q235钢16锰钢木材607080900.8420.7890.7310.6690.7760.7050.6270.5460.6680.5750.4700.370ABC45FAFNACFNABF2m2227 .1764154cmdA NACFA取结点取结点A，受力如图所示。受力如图所示。 根据平衡条件，得根据平衡条件，得463222 0.518 176.7 1010 101022264.7NACFFAkN1.细长压杆：细长压杆：提高弹性模量提高弹性模量E2.中粗压杆和粗短压杆：中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度提高屈服强度 s1.采用合理的截面形状：采用合理的截面形状： 各方向约束相同时：各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩各方向惯性矩I相等相等采用正方形、圆形截面；采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩增大惯性矩I采用空心截面；采用空心截面； 压杆两方向约束不同时：压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等使两方向柔度接近相等，可，可采用两个主惯性矩