2013年高考数学热点重点难点专题透析（二轮）：专题10

1、高考数学学科考试大纲明确指出:数学学科的考试,按照“考查根底知识的同时,注重考查能力.“以能力立意命题,这是近几年来高考数学题遵循的原那么与命题指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养和考生进入高等学校继续学习的潜能,考查考生的数学根本能力应用意识和创新意识,考查考生对数学本质的理解,表达?课程标准?中对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求.能力主要指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.【高考中的空间想象能力】空间想象能力指的是:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中根本

2、元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,一般有“1大2小,题目难易适中,解答题常常立足柱体、锥体、台体等几何体中位置关系的证明和夹角、距离的求解,而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和几何体积、外表积的求解.热点一:图形处理立体几何是研究空间图形中的点、线、面之间的位置关系与数量关系的学科,因此解答立体几何问题时,正确理解空间图形中点、线、面的位置关系和数量关系,充分借助图形的直观性所提供的信息,常常有助于探寻问题的求解思路,优化问题的解答过程.对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志,是高考

3、从深层次上考查空间想象能力的主要方面.【解析】由正视图和侧视图可知该几何体是一个上面为正四棱锥下面是一个圆柱的组合体,故其俯视图为B.【答案】B (2021年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试)一个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,那么其俯视图可能是( )【归纳拓展】以空间三视图为背景,考查常见组合体的体积、外表积和空间想象能力,是近年来热点题型.解决此类问题的关键是抓住三视图之间的关系,平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 热点二:概念与推理的结合立体几何就是通过概念、公理、定理等来演绎的,对概念的理解是解决立体几何的根底.因此,理解概念的

4、本质,能够根据概念,画出图形,通过图形直观来思考,分解出解题的元素,从而进行推理与运算,提高空间想象能力.假设a,那么ab;假设ab,那么a;假设b,那么;假设,那么b.(A).(B).(C).(D).(山东省潍坊市2021年高三第二次模拟考试)两条直线a、b,与两个平面、,b,那么以下命题中正确的选项是( )【解析】由b且a,可得ab,正确;又由b且ab,得a或a,故不正确;由b且b,可得,正确;由b且,得b或b,故不正确.【答案】A【归纳拓展】线面平行、垂直问题是高考备考的重点.从解决“平行与垂直的有关根本问题着手,熟悉公理、定理的内容和功能,掌握解决问题的规律充分利用线线平行(垂直)、线

5、面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高推理论证、空间想象能力.(1)证明:BDPC;(2)假设AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30,求四棱锥P-ABCD的体积. (2021年湖南)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.【解析】(1)因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又ACBD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.(2)如图,设AC和BD相交于点O,连结PO,由(1)知,BD平面PAC,所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而D

6、PO=30.由BD平面PAC,PO平面PAC,知BDPO.在RtPOD中,由DPO=30,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,ACBD,所以AOD,BOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为AD+BC=(4+2)=3,于是梯形ABCD的面积为S=(4+2)3=9.在等腰三角形AOD中,OD=AD=2,所以PD=2OD=4,PA=4.故四棱锥P-ABCD的体积为V=SPA=94=12.【归纳拓展】此题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积的计算.热点三:折展问题对于空间想象力的考查虽然已从几何思想方法向代数计算方法转化,但不可否认立体几何对于空间想象能力的训练

7、是向量这一工具所无法取代的.因此,折展与剪拼题就承担起了这一重要使命,它能很好地考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力.(1)假设Q为A1B中点,求证:PQ平面A1EF;(2)求证:A1EEP.(2021年北京市东城区高三一模)如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面EFB,连结A1B,A1P(如图2).【解析】(1)取A1E中点M,连结QM,MF. 在A1BE中,Q,M分别为A1B,A1E的中点,所以 QMBE,且QM=BE. 因为=,

8、所以PFBE,且PF=BE,所以QMPF,且QM=PF.所以四边形PQMF为平行四边形.所以PQFM.又因为FM平面A1EF,且PQ平面A1EF,所以PQ平面A1EF.(2)取BE中点D,连结DF.因为AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2,而A=60,即ADF是正三角形. 又因为AE=ED=1, 所以EFAD.所以在图2中有A1EEF.因为平面A1EF平面EFB,平面A1EF平面EFB=EF,所以A1E平面BEF,又EP平面BEF,所以A1EEP.【归纳拓展】把一个平面图形折叠成一个几何体,再研究其性质,是考查空间想象能力的常用方法,所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点.此类问题,通

9、过动手操作,把几何体折叠或展开,由平面问题向立体问题转化,通过折叠前后的边角的“不变与“变,判断所给问题的答案.(2021年福建)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.(1)求三棱锥A-MCC1的体积;(2)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M平面MAC.【解析】(1)由长方体ABCD-A1B1C1D1知,AD平面CDD1C1,点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1,又=CC1CD=21=1,=AD=.(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开,与侧面ADD1A1共面,如图,当A1,M,C共线时,A1M+MC取得最小值.由AD

10、=CD=1,AA1=2,得M为DD1中点.连结C1M,在C1MC中,MC1=,MC=,CC1=2,C=M+MC2,得CMC1=90,即CMMC1,又由长方体ABCD-A1B1C1D1知,B1C1平面CDD1C1,B1C1CM.又B1C1C1M=C1,CM平面B1C1M,得CMB1M;同理可证:B1MAM,又AMMC=M,B1M平面MAC.【归纳拓展】沿着几何体外表形成的折线的最短问题,一般考虑几何体的平面展开图.热点四:探究性问题由于立体几何中的探究性问题, 描述的是动态的过程,结果具有隐藏性或不唯一性,需要尝试及等价转化,能够很好地考查学生的空间想象能力、探究能力,因此它是命题的热点.解决在

11、立体几何中的探究性问题主要有探究条件型、探求结论型、探究存在型,解决此类问题的关键是合理利用空间概念进行适当转化.(海南省琼海市2021届高考一模)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.(1)证明:PFFD;(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG平面PFD.【解析】(1)(法一)设PA=x,因为PA平面ABCD,且AD,AF平面ABCD,所以PAAD,PAAF.所以PD2=AD2+PA2=4+x2,FD2=CF2+CD2=12+12=2,PF2=PA2+AF2=x2+AB2+BF2=x2+12+12=x2+2

12、,所以FD2+PF2=2+2+x2=4+x2=PD2,所以PFFD.(法二)连结AF,那么AF=,DF=,又AD=2, DF2+AF2=AD2,DFAF,又PA平面ABCD, DFPA,又PAAF=A,PFFD.(2)线段PA上存在点G,且AG=AP,使得EG平面PFD.(法一)如图,取AD的中点Q,连结BQ,那么可证得BQFD,再取AQ的中点H,那么因为E是AB的中点,所以EHBQ,所以EHFD,且有AH=AD,再过点H作HGDP交PA于点G,那么HGPD,且AG=AP,平面EHG平面PFD,EG平面PFD.从而满足AG=AP的点G即为所求.(法二)如图,延长AB、DF交于点H,连结PH;再

13、过E在平面APB中作EGPH交PA于G,那么EG平面PFD.因为F是BC的中点,所以BF=AD.又因为BFAD,所以HB=BA,而E是AB的中点,所以AE=AH,所以AG=AP.【归纳拓展】立体几何中的存在性问题,常是先假设“假设,假设经推理无矛盾,那么假设成立;假设推出矛盾,那么结论为“不存在.其中分析法或反证法是解这类题常用的方法.总结:高考中的空间想象能力考查的主要题型有:(1)以空间几何体为载体设置有关线线、线面、面面关系的证明题,有关空间角或空间距离的计算题.此类问题需要有较强的逻辑推理能力与运算能力,在高考中为必考题,且属于中档题.(2)以空间几何体为载体设置有关轨迹、排列组合、函

14、数图象等与代数方面综合的试题,此类试题属于创新题,一般以选择题或填空题为主.解答此类题主要依靠空间想象能力及知识迁移能力和逻辑推理能力,是一种“多想少写的试题,应该在平时加强这方面的训练.【高考中的抽象概括能力】抽象概括能力离不开思维,是一种数学思维能力,是人脑和数学思维对象、空间形式、数量关系等相互作用并按一般思维规律认识数学内容的内在理性活动的能力,是高层次的数学思维能力.抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质属性;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的根底上得出某种观点或某个结论.高考中对抽象概括能力

15、的考查要求是:对具体的、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断.高考主要从数学语言、数学模式与数学模型等方面对抽象概括能力进行考查,可以涉及高考中的每个试题.热点一:从数学语言方面对抽象概括能力的考查数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言,在高考中主要集中用文字语言和符号语言,并辅以图形语言,呈现试题内容,其考查的重点是文字语言,并要求考生能够根据实际情况进行三种形式语言的理解与转换.设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,那么不等式0的解集为( )(A)(-1,0)(1,+).(B)(-,

16、-1)(0,1).(C)(-,-1)(1,+).(D)(-1,0)(0,1).【解析】f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)=2f(x),0等价于0 (k=1,2,20),集合B=(a,b)|aA,bA,且ab,那么集合B中的元素至多有( )(A)210个.(B)200个.(C)190个.(D)180个.【解析】不妨设a1a2a20,那么当a=a1时,b=a2,a3,a20,有19个;当a=a2时,b=a3,a4,a20,有18个;依次类推, 当a=a19时,b=a20,有1个.故集合B中的元素至多有19+18+1=190.【答案】C【归纳拓展】内容的高度抽象是数学的主要特征之一,此题的解决就

17、是在正确理解抽象的集合语言和符号语言的前提下,将问题具体化、熟悉化.热点二:从数学模式、数学模型、数学方法方面对抽象概括能力进行考查不管是把实际问题转化为数学问题,还是单纯解数学题,都离不开把问题和解决问题的方法进行比较分类,抽象概括出一种数学结构形式,然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题与数学问题.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,ABC=90,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的外表从E到F的最短路径的长度为.【解析】把平面A1ABB1与平面B1BCC1展开到同一平面内,如图:A1E=AA1=1,A1F=A1B1+B1F=,所以EF=;把A

18、1B1C1与侧面A1B1BA展开如下图:连结EF,过E作EMBB1于M,那么EM=AB=,FM=1+,所以EF=;假设把A1B1C1与侧面A1ACC1展开如图:连结EF,过E作EMCC1于M,作FDEM于D点,那么ED=,FD=,所以EF=.比较可得,最小值为.【答案】 【归纳拓展】沿着几何体外表形成的折线的最短问题,解决此类问题的数学模式与方法往往是将几何体展开成平面图,利用平面内两点间的线段最短.(1)当a=1时,判断f(x)的单调性;(2)假设g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;(3)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,假设x1(0,1),x21,2,总有g(x1

19、)h(x2)成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=,f(x)在(0,+)上单调递增.(湖南省衡阳市2021届高三六校联考)函数f(x)=ln x-,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中aR.(2)g(x)=ax-5ln x,g(x)的定义域为(0,+),g(x)=a+-=,因为g(x)在其定义域内为增函数,所以x(0,+),g(x)0ax2-5x+a0a(x2+1)5xaamax,而=,当且仅当x=1时取等号,所以a.(3)当a=2时,g(x)=2x-5ln x,g(x)=,由g(x)=0得x=或x=2,当x(0,)时,g(x)0;当x(,1)

20、时,g(x)0.所以在(0,1)上,g(x)max=g()=-3+5ln 2,而“x1(0,1),x21,2,总有g(x1)h(x2)成立等价于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在1,2上的最大值,而h(x)在1,2上的最大值为maxh(1),h(2),所以有 m8-5ln 2.所以实数m的取值范围是8-5ln 2,+).【归纳拓展】此题深入考查对函数单调性和导数关系的理解,通过问题的设置从数学模式与数学方法上考查抽象概括能力.总结:对数学语言、数学模式、数学模型的抽象概括.抽象与概括是形成概念的思维过程和科学方法,只有经过抽象与概括才能使人们对事物的认识由感性转化为理性.【高考中

21、的推理论证能力】推理是思维的根本形式之一,也是学习和生活中经常使用的思维方式,它由前提和结论两局部组成.论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理.论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜测,再运用演绎推理进行证明.高考对推理能力的考查历来以演绎推理为重点,新课标下的高考,更关注以归纳和类比推理为主的合情推理,考查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力;注意数学语言、普通语言的理解和运用;注意思维品质的考查.(1)求证:数列是等差数列;(2)设数列an的前n项和为Sn,求证:

22、对任意的nN+,Sn+1-4an都为定值.【解析】(1)an+1=2an+2n,-=.数列是以=为首项,为公差的等差数列.(陕西师大附中2021届高考模拟)在数列an中,a1=1,且对任意的nN+,都有an+1=2an+2n.(2)由(1)知=+(n-1)=,an=n2n-1.Sn=120+221+322+n2n-1.2Sn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n.由-可得Sn=n2n-(1+2+22+2n-1)=(n-1)2n+1.Sn+1-4an=n2n+1+1-4n2n-1=1,故结论成立.【归纳拓展】此题直接从条件出发,根据等差数列的定义、通项公式,利用错位相减法求和,进行

23、一系列的化简,到达解决问题的目的.(1)求实数a的取值范围;(2)当x-1,1时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于.试证明你的结论.【解析】(1)f(x)=3x2-3a-3a,+),对任意mR,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,-1-3a,+),-1-3a,实数a的取值范围是a1;当0a时,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表: x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大值2a极小值-2af(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增, 注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)时,g(x)=-f(x),x(,1)时,g(x

24、)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),由f(1)=1-3a及0a,解得0a,此时-f()f(1)成立.g(x)max=f(1)=1-3a.由-f()=2a及0a,解得a,此时-f()f(1)成立.g(x)max=-f()=2a.在x-1,1上至少存在一个x0,使得|f(x0)|成立. (法二:反证法)假设在x-1,1上不存在x0,使得|f(x0)|成立,即x-1,1,|f(x)|恒成立,设g(x)=|f(x)|,那么g(x)在x-1,1上是偶函数,x0,1时,|f(x)|max,当a0时,f(x)0,f(x)在0,1上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x),g(x)ma

25、x=f(1)=1-3a与a0矛盾;当0a时,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表: f(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增, 注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)时,g(x)=-f(x),x(,1)时,g(x)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大值2a极小值-2a注意到0a,由:得矛盾,得矛盾,x-1,1,|f(x)|与a0),O为坐标原点,F为抛物线焦点,直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=4.(2)显然直线l的斜率一定存在,设其方程为y=kx+1,l与x轴交于M(-,0),设直线l交抛物线

26、于A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0,x1+x2=4k,x1x2=-4.又由=a,得(x1+,y1)=a(-x1,1-y1),即a=-,同理有b=-,a+b=-(+)=-(2+)=-1,对任意的直线l,a+b为定值-1.【归纳拓展】此题主要考查直线与抛物线等根底知识,考查运算求解能力、推理论证能力及探究能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想.总结:高考中思维能力型问题的常见考查类型有:(1)运用演绎推理求解型.演绎推理是从一般规律出发,运用逻辑证明或数学运算,得出特殊事实应遵循的规律,即从一般到特殊.它是由普遍性的前提推

27、出特殊性结论的一种推理.(2)运用归纳推理求解型.根据一类事实对象具有的性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质,它是从特殊到一般的过程,属于合情推理的一种.(3)运用联想类比求解型.根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,也是合情推理的一种.(4)运用直觉思维求解型.直觉思维就是具有意识的人脑由于思维的高度活动,对于数学对象、结构及规律的直接领悟和整体把握.【高考中的运算求解能力】数学中的运算能力,是指根据运算定义及其性质从数据及算法式推导出结果的一种综合能力.运算能力具体表现在三个方面:会根据概念、公式和法那么对数、式和

28、方程进行正确的运算和变形;能分析条件,寻求与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计,并能进行近似计算.中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数、积分、概率、统计的初步计算等.?高中数学课程标准?对高中阶段运算求解能力作了明确要求,而高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算的.无论是选择题、填空题,还是解答题,均要考查运算求解能力的准确性、敏捷性、灵活性和合理性.当然,高考试题大多考查的是运算的通性、通法,且控制在一定的运算难度范围之内.(1)求A的大小;(2)求sin B+sin

29、C的最大值.【解析】(1)由,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=-,A=120.在ABC中,a,b,c分别为内角A, B, C的对边,且2asin A=(2a+c)sin B+(2c+b)sin C.(2)由(1)得:sin B+sin C=sin B+sin(60-B)=cos B+sin B=sin(60+B),故当B=30时,sin B+sin C取得最大值1. 【归纳拓展】此题需要把正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦等知识点结合起来进行运算. (广东省韶关市

30、二模)等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,且S1,2S2,3S3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=an+n,求数列bn的前n项和Tn.【解析】设等比数列an的公比为q,(法一)假设q=1,那么S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=1022S2,与矛盾,故q1,从而得Sn=,由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=22S2,即1+3=4,解得q=.所以an=a1qn-1=()n-1.(法二)由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=22S2,那么a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2),整理得3a3=a2,所以=,

31、即q=.所以an=a1qn-1=()n-1.(2)由(1)得,bn=an+n=()n-1+n,所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+(an+n)=Sn+(1+2+n)=+ =+=.【归纳拓展】本小题主要考查等差、等比数列的通项、求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力.在求公比时,法二防止了运用等比数列前n项和公式的分类讨论,计算过程简捷. (安徽省宣城市2021届高三第三次调研测试)如图,正方形ABCD所成平面与圆O所在平面相交于CD,线段CD为圆O的弦,AE垂直于圆O所成平面,垂足E是圆O上异于C、D的点,AE=3,圆O的直径为9.(1)求证:平面ABCD平

32、面ADE;(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值.【解析】(1)AE圆O所在的平面,CD在圆O所在的平面上,AECD,在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE,CD在平面ABCD内,平面ABCD平面ADE.(2)(法一)CD平面ADE,DE在平面ADE内,CDDE,CE为圆O的直径,即CE=9,设正方形ABCD边长为a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9或a=3,DE=6,过点E作EFDA交DA于点F,作FGCD交BC于点G,连结GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE内,EFCD,ADCD=D,EF平面ABCD,

33、EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-E的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3,AE=3,DE=6,ADEF=AEEF,EF=,在直角三角形EFG中,FG=AB=3,tanEGF=,故二面角D-BC-E的平面角的正切值是.(法二)CD平面ADE,DE在平面ADE内,CDDE,CE为圆O的直径,即CE=9,设正方形ABCD边长为a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9,故a=3,DE=6,过点E作EFDE于点F,作FGCD交BC于点G,连结GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE内,EFCD,ADCD=D,

34、EF平面ABCD,EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-F的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3,AE=3,DE=6,以D为原点,分别以ED,CD所在的直线为x轴,y轴建立如下图的空间直角坐标系.那么D(0,0,0),E(-6,0,0),C(0,-3,0),A(-6,0,3),B(-6,-3,3),设平面ABCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),可求n1=(1,0,2),设平面BCE的法向量为n2=(x2,y2,z2),可求n2=(,2,2),cos=,tan=.【归纳拓展】本小题主要考查空间线面、面面关系等根底知识,考查数形结合思想、化归转化思想,以及空

35、间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.在计算二面角的平面角的三角函数值时,可以根据自己的情况选择自己熟悉的方法,给考生以发挥的空间.(1)假设x1=-,x2=1,求函数f(x)的解析式;(2)假设|x1|+|x2|=2,求b的最大值.【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2-a2x(a0),所以f(x)=3ax2+2bx-a2,依题意,-和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,所以且a0,解得a=1,b=-1.所以经检验f(x)=x3-x2-x. (江西省南昌市20212021学年度高三第三次模拟测试)假设x1、x2(x1x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的两个极值点

36、.(2)f(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依题意:x1,x2是方程f(x)=0的两个根;x1x2=-0,且|x1|+|x2|=2,(x1-x2)2=12,(-)2+=12.b2=3a2(9-a),b20,00得0a6,由p(a)6,即函数p(a)在区间(0,6上是增函数,在区间6,9上是减函数,当a=6时,p(a)有极大值为324,p(a)在(0,9上的最大值是324,b的最大值为18.【归纳拓展】此题考查函数、导数知识及应用,考查运算求解能力及抽象概括能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法.求解时,利用根与系数之间的关系,可使求解简便.总结:针对高考的“运算能力考查,我们必须

37、有意识地进行运算能力训练,以提高自身的运算能力.一般地,在二轮复习时应注意:(1)加强双基练习,提高运算的准确性.根底知识是运算的依据,对运算具有指导意义,根底知识混淆、模糊,往往引起运算错误,所以加强和落实双基教学是提高运算能力的首要问题.具体地说,就是要熟记公式和法那么,正确的记忆公式和法那么是运算准确的前提.正确理解概念,并能掌握公式的推导,只有理解某些概念与公式的推导,才能做到公式的正用、反用和活用,从而提高运算能力.(2)优化解题途径,提高运算速度.运算速度是运算能力的重要标志,在运算准确的前提下,首先加强通性、通法的训练,优化解题途径,努力做到准确合理、快速.合理利用概念、性质、法

38、那么、原理去简化运算,以提高速度.除公式、法那么外,善于记住一些常用的结论,便可大大提高运算速度.如常用的勾股数、奇函数y=f(x)在x=0时有定义,那么f(0)=0等.(3)注意培养自己的运算灵活性.抓好心理和思维灵活性训练可以促进运算的灵活性.心理和思维灵活性训练的核心是识别文字语言、图形语言、符号语言等各种表达形式的本质,迅速抓住运算的实质,以迅速联想、形成策略、提高自己的洞察能力.(4)善于分析题目条件,寻求合理简捷的算法.要做一个运算问题,首先要善于分析题目条件,做到审视性读题、多角度观察、综合性思考,以确定运算方向及方法.(5)有意识地进行比较复杂的运算.每年高考都说要控制运算量,

39、但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学就有运算.不厌其烦的运算(或加大运算量,或一题多设问,或参数要屡次讨论等),可以培养我们的耐性和坚忍不拔的性格.当然,在进行这方面的训练时,要根据自身的实际情况而精心设计,切不可盲目加大难度.【高考中的数据处理能力】高考中的数据处理能力,是指会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的科学,它可以为人们制定决策提供依据,它逐渐成为未来公民的一个必备常识,统计的教学具有重要的地位,新课标高考题对统计

40、的知识的考查力度得到加强.高考中的数据处理能力在高考考查中主要表现在:(1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概率统计题综合在一起,试题侧重点在于概率统计的有关知识.具体表现在抽样方法、统计图表、用样本估计总体等.(2)在线性回归分析中命制试题,具体表现在求回归方程并由此解决其他有关问题,其侧重在于最小二乘估计,此类试题有较复杂的运算过程,同时考查运算能力.(3)在独立性检验方面命制试题,具体表达在22列联表(关联表)与相关系数的理解与应用.日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差()101113128发芽数(颗)2325302616(江苏省南通市2021届高三上学期

41、第一次调研测试)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;(2)假设选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,那么认为得到的线性回归方程是可靠的,

42、试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有4种, 所以P(A)=1-=. 【解析】(1)设抽到不相邻两组数据为事件A,因为从5组数据中选取(2)由数据,求得=12,=27.由公式,求得b=,a=-b=-3.所以y关于x的线性回归方程为y=x-3. (3)当x=10时,y=10-3=22,|22-23|2; 同样,当x=8时,y=8-3=17,|17-16|10.828,所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异. (1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概率统计题综合在一起

43、,试题侧重点在于要概率统计的有关知识考查之中.具体表现为概率分布列、频率分布直方图、正态分布曲线等方面的试题.(2)在线性回归分析中命制试题,具体表现为求回归方程并由此解决其他有关问题,其重点在于最小二乘法,此类试题有较复杂的运算过程,因此也考查了运算能力.(3)在独立性检验方面命制试题,具体表现为22列联表与相关系数的理解与应用.【高考中的应用意识】应用意识就是指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题,能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型,应用相关的数学知识和方法解决问题并

44、加以验证,并用数学语言正确地表述和说明.应用的主要过程是依据现实生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决.纵观近几年高考试题,高考命题在“用中必考,问题的设计多与函数、方程、数列、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等高中数学知识联系,考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题,立意考查“群众数学应用题是高考命题的一个趋势,也是高考的一个热点问题.在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力,关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸现了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽风景线,其解题的关键在于构建适当的数学模型.试求该商品的日销售额

45、S(t)的最大值和最小值.(江苏省南通市2021届高三第一次调研考试)经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-t+(1t100,tN).前40天价格为f(t)=t+22(1t40,tN),后60天价格为f(t)=-t+52(41t100,tN),【解析】当1t40,tN时,S(t)=g(t)f(t)=(-t+)(t+22)=-t2+2t+ =-(t-12)2+,所以768=S(40)S(t)S(12)=.当41t100,tN时,S(t)=g(t)f(t)=(-t+)(-t+52)=t2-36t+=(t-108)2-,所以8=S(1

46、00)S(t)S(41)=.所以S(t)的最大值为,最小值为8.【归纳拓展】此题是一道函数应用题,在解题思维中蕴含着分类讨论思想,主要考查运用函数知识分析问题、解决实际问题的能力. (湖北省武昌区2021届高三年级元月调研测试)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,工作时间为n天.(1)工作n天,记三种付费方式薪酬总金额依次为An,Bn,Cn,写出An,Bn,Cn关于n的表达式; (2)如果n=10,你会选择哪种方式

47、领取报酬?【解析】(1)三种付酬方式每天金额依次为数列an,bn,cn,它们的前n项和依次为An,Bn,Cn.依题意,第一种付酬方式每天金额组成数列an为常数数列,An=38n.第二种付酬方式每天金额组成数列bn为首项为4,公差为4的等差数列,那么Bn=4n+4=2n2+2n.第三种付酬方式每天金额组成数列cn为首项是0.4,公比为2的等比数列,那么Cn=0.4(2n-1).(2)由(1)得,当n=10时, An=38n=380, Bn=2n2+2n=220, Cn=0.4(210-1)=409.2.所以B10A100,0,|),x4,8时的图象,图象的最高点为B(5,),DFOC,垂足为F.

48、 如下图,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC;另一侧修建一条观光大道,它的前一段OD是以O为顶点,x轴为对称轴,开口向右的抛物线的(1)求函数y=Asin(x+)的解析式;(2)假设在湖泊内修建如下图的矩形水上乐园PMFE,问点P落在曲线OD上何处时,水上乐园的面积最大?【解析】(1)对于函数y=Asin(x+),由图象知,A=,=,将B(5,)代入到y=sin(x+)中,得+=2k+(kZ),=2k-.又|0,S递增;当t(,4)时,S0,S递减,所以当t=时,S最大,此时点P的坐标为(,).【归纳拓展】此题是一道三角函数与抛物线综合的应用问题,考查学生提炼相关的数量关系,将现实问题转

49、化为数学问题,构造数学模型,并加以解决.总结:数学学习的目的全在于应用,所以我们必须“在用中学,高考命题也必“在用中考.考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题,适当降低难度,立意考查群众数学是高考命题的一个趋势.在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力.高考中的实际应用问题,已逐渐成为高考的一个热点题型,而热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线,其解题的关键在于构建适当的数学模型.【高考中的创新意识】对创新意识的考查是

50、对高层次理性思维的考查,主要要求考生不仅能理解一些概念、定义,掌握一些定理、公式,更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中的比较新颖的问题.回忆近年来的高考数学试题,不难发现:关注探究创新意识,考查数学理性思维,已成为高考命题的一种趋势.在高考试题中常常通过创设一些比较新颖的问题情境,构造一些具有一定深度和广度、能表达数学素养的问题,着重考查数学主体内容. 正项数列为“调和数列,且b1+b2+b9=90,那么b4b6的最大值是( )(1)(江西师大附中2021年高三数学模拟试卷)假设数列an满足-=d(nN*,d为常数),那么称数列an为“调和数列.(A)10.(B)100. (C

51、)200. (D)400.(2)(山东省日照一中2021届高三第七次考试)对a、bR,定义运算“、“为:ab=ab=给出以下各式:(sin xcos x)+(sin xcos x)=sin x+cos x;(2xx2)-(2xx2)=2x-x2,(sin xcos x)(sin xcos x)=sin xcos x,(2xx2)(2xx2)=2xx2.其中等式恒成立的是.(将所有恒成立的等式的序号都填上)【解析】(1)由“调和数列的定义可得bn+1-bn=d,从而正项数列bn是等差数列,所以=90,所以b1+b9=20,那么由等差数列的性质得b4+b6=20,所以b4b6()2=()2=100

52、.(2)由题意可得sin xcos x= sin xcos x= 所以当sin xcos x时, sin xcos x=sin x,sin xcos x=cos x,那么sin xcos x+sin xcos x=sin x+cos x,(sin xcos x)(sin xcos x)=sin xcos x;当sin xcos x时, sin xcos x=cos x,sin xcos x=sin x,那么sin xcos x+sin xcos x=cos x+sin x=sin x+cos x,(sin xcos x)(sin xcos x)=cos xsin x=sin xcos x故恒成

53、立.而2xx2=2xx2= 所以当2xx2时,(2xx2)-(2xx2)=2x-x2, (2xx2)(2xx2)=2xx2.当2x0).由a2-b2=4-3=1,得c=1.抛物线的焦点为(1,0),p=2,抛物线D的方程为y2=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2).()直线l的方程为:y=x-4, 联立整理得:x2-12x+16=0 AB=4.(ii)设存在直线m:x=a满足题意,那么圆心M(,),过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2,即|EG|2=|MA|2-|ME|2=-(-a)2=+a(x1+4)-a2=x

54、1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2,当a=3时,|EG|2=3,此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2.因此存在直线m:x=3满足题意.【归纳拓展】此题主要考查直线、圆、椭圆、抛物线等根底知识,考查运算求解能力、推理论证、探究创新能力与创新意识.(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)假设不等式f(x)0恒成立,求a的取值范围;(3)数列an中,a1=2,2an+1=an+1,数列bn满足bn=nln an,记bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,f(x)=+a,f(1)=a+1,切点是(1,a+1),所以切线方程为y-(a+1)=(a+1)(x-1)

55、,即y=(a+1)x. 函数f(x)=ln x+ax+1,aR.(2)(法一)x0,f(x)=,当a0时,x(0,+),f(x)0,f(x)单调递增,显然当x1时,f(x)0,f(x)0不恒成立.当a0,f(x)单调递增,x(-,+),f(x)0,所以不等式f(x)0恒成立,等价于ax-ln x-1,即a,令h(x)=,那么h(x)=-+=,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增. h(x)min=h(x)极小值=h(1)=-1,a-1.所以不等式f(x)0恒成立时,a的取值范围是(-,-1.(3)2an+1=an+1,an+1-1=(an-1),a1=2,an-1=()n-1,an=

56、()n-1+1,bn=nln()n-1+1,由(2)知,当a=-1时,ln x-x+10恒成立,即ln xx-1,当且仅当x=1时取等号.b1=1ln()1-1+11()1-1+1-1,b2=2ln()2-1+12()2-1+1-1,bn=nln()n-1+1n()n-1+1-1,Tn1()1-1+1-1+2()2-1+1-1+n()n-1+1-1=1()1-1+2()2-1+n()n-1,令Sn=1()0+2()1+n()n-1,那么Sn=1()1+2()2+(n-1)()n-1+n()n,Sn=()0+()1+()n-1-n()n=-n()n=2-(n+2)()n,Sn=4-(n+2)()

57、n-1,Tn4-.【归纳拓展】此题是一道函数、导数、数列、不等式的综合试题,主要考查函数与导数、函数图象与性质、数列等根底知识,考查学生抽象概括能力、推理论证能力、创新能力,考查函数与方程思想,有限与无限思想,分类与整合思想. (福建省泉州市2021届高三下学期高中毕业班5月质量检测)某工厂欲加工一件艺术品,需要用到三棱锥形状的坯材,工人将如下图的长方体ABCD-EFPH材料切割成三棱锥H-ACF. (1)假设点M,N,K分别是棱HA,HC,HF的中点,点G是NK上的任意一点,求证:MG平面ACF;(2)原长方体材料中,AB=2 m,AD=3 m,DH=1 m,根据艺术品加工需要,工程师必须求

58、出该三棱锥的高.(i)甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角,再根据公式h=AHsin 求出三棱锥H-ACF的高.请你根据甲工程师的思路,求该三棱锥的高.(ii)乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序,其框图如下图,那么运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少?(请直接写出t的值,不要求写出演算或推证的过程).【解析】(1)(法一)HM=MA,HN=NC,HK=KF,MKAF,MNAC.MK平面ACF,AF平面ACF,MK平面ACF,同理可证MN平面ACF,MN,MK平面MNK,且MKMN=M,平面MNK平面ACF, 又MG平面MNK,故MG平面ACF.(法二)连HG并延长交FC于T,

59、连结AT.HN=NC,HK=KF,KNFC,那么HG=GT,又HM=MA,MGAT, MG平面ACF,AT平面ACF,MG平面ACF.(2)(i)如图,分别以DA,DC,DH所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.那么有A(3,0,0),C(0,2,0),F(3,2,1),H(0,0,1). =(-3,2,0),=(0,2,1),=(-3,0,1). 设平面ACF的一个法向量n=(x,y,z),那么有解得 令y=3,那么n=(2,3,-6),sin =|=,三棱锥H-ACF的高为AHsin =.(ii)t=2. 【归纳拓展】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置

60、关系和算法初步等根底知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用创新意识. 总结:高考中有关创新型的题型主要有:(1)条件探究型:这类题目的特点是给出了题目的结论,但没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常是不唯一的,需要解题者从结论出发,通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件,并通过推理予以确认.这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件.(2)结论开放型:这类题目的特点是给出一定的条件,要求从条件出发去探索结论,而结论往往是不唯一的,甚至是不确定的,需要解答者从条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验