数分平面曲线的弧长与曲率

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念并称曲线 是可求长的，并称极限 为曲线的弧长 1、参数方程情形、参数方程情形C)(txx )(tyy ,t)(tx)(ty,Cdttytxs)()(

2、22定理10.1 设没有自交点的非闭平面曲线若是可求长的，且弧长为的参数方程为与在上连续可微，则ABDABADDBABADDB性质 设是一条没有自交点的非闭的是上一点，则和也是可求长的，并且的弧长等于的弧长与弧长的和 可求长的平面曲线.如果ABABDABADDBABADDBAB定义2 设是一条没有自交点的闭的任取一点将分成两段非闭曲线，如果和都是可求长的，则称闭的平面曲线是可求长的，并把的弧长与弧长的和定义为的弧长 平面曲线.在ABDABDdttytxs)()(22注1 根据性质，显然定义2中是否可求点的选择无关，并且当可求长时，其弧长也与注2 公式也可以直接推广到有自交点的（非）闭的长与点的

3、选择无关.平面曲线的情形 C)(txx )(tyy ,t)(tx)(ty,)(tx)(tyC设平面曲线的参数方程为.若与在上连续可微，且与不同时为零，则称为一条光滑曲线 定义3 C)(txx )(tyy ,tCdttytxs)()(22推论 设平面曲线为一光滑曲线，则是可求长的，且弧长为 的参数方程为若C)sin(ttax)cos1 (tay0a)cos1 ()(tatxtatysin)(dttadttytxs2022022)cos1 (2)()(adtta82sin220例1 求摆线一拱的弧长. 由公式得 解C)(xfy ,bax)(xf,badxxfsba)(12若曲线则当在上连续可微时，

4、此曲线为的方程为一光滑曲线，它的弧长公式为2、直角坐标情形、直角坐标情形2xxeey0 x0 ax2xxeey4122xxeey22)(1002aaaxxaeedxeedxxfs例2 求悬链线从到一段的弧长. 由公式得 解曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr .)()(22 drrs 3、极坐标情形、极坐标情形弧长弧长)0()cos1 (aardadrrs022022)cos1 (22)()(ada82cos40例3 求心形线的周长. 解 由公式得dttytxs

5、)()(22t0P)(),(tytxPdyxtst)()()(22若将定理1中公式的上限改为变量，就得到曲线由端点到动点的弧长,即 由于被积函数连续，所以有 )()()(22tytxts 与 dttytxds)()(22称为弧微分. dttytxds)()(22)(txx )(tyy ,tCPQQRCPQQR 考察由参数方程 给出的光滑曲线我们看到弧段与而其弯曲程度却很不一样.从点移动至时，切线转比动点从移动至时切线转过的角度要大得多.二 曲率曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志.的长度相差不多曲线过的角度这反映为当动点沿( ) t( ( ), ( )P x ty t()(

6、)ttt P( (), ()Q x tty tt PQsksPQ设表示曲线在点处切线的倾角，表示动点由沿曲线移至时切线倾角的增量.若之长为则称为弧段的平均曲率 曲率的定义00limlimtsdKssds KCP如果存在有限极限 则称此极限为曲线在点处的曲率 曲率计算公式 C( )( )arctan( )y ttx t( )( )arccot( )x tty t( )x t( )y tdttytxds)()(22由于假设为光滑曲线，故总有 或 又若与二阶可导，则由弧微分可得 3222( )( )( )( )( )( )( )( )dtx t y tx t y tdss txtyt3222( )(

7、 )( )( )( )( )x t y tx t y tKxtyt( )yf x322(1)yKy所以曲率计算公式为 若曲线由表示，则相应的曲率公式为cosxatsinybt02t sinxat cosxat cosybt sinybt 3222( )( )( )( )( )( )x t y tx t y tKxtyt332222222222(sincos)()sin)ababKatbtabtb例4 求椭圆解 由于因此按公式得椭圆上任意点处的曲率为上曲率最大和最小的点.0ab0,t3,22tmax2aKbmin2bKaabR1KR当时，在（长轴端点）处曲率最大，而在（短轴端点）处曲率最小，且 若椭圆成为圆时，显然有即在圆上各点处的曲率相同，其值为半径的倒数.容易知道，直线上处处曲率为零 CP0K P1KPP设曲线在其上一点处的曲率若过点作一个半径为的圆，使它处有相同的切线，并在点近旁与曲线位于切线的同侧. 在点CP我们把这个圆在点处的曲率圆或密切圆. 称为曲线CPP曲率圆的半径和圆心称为曲线在点处的曲率半径和曲率中心.由曲率圆的定义与曲率圆既有相同可以知道，曲线在点的切线，又有相同的曲率和凸性. 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念 小结小结求弧长的公式求弧长的公式弧微分的概念弧微分的概念极坐标系下极坐标系下参数方程情形下参数方程情形下直角坐标系下直角坐标系