固体物理第一章

1、第一章第一章 晶体结构晶体结构一、晶体的定义一、晶体的定义 晶晶 体体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有排列具有长程周期性长程周期性结构结构 非晶体非晶体：组成固体的粒子组成固体的粒子只有短程序只有短程序（在近邻或（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），和键角等具有一定的规律性），无长程无长程 周期性周期性 准准 晶晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性有准周期性，但无长程周期性 1.1 几种常见的晶体结构几种

2、常见的晶体结构晶体的特征固体 晶 态：有固定熔点，金属、岩盐、石英、金刚石 非晶态：没有固定熔点，橡胶、塑料、玻璃、腊晶态：（分子排列在微米量级范围是有序的。）非晶态：无规则的，或称其为的。单晶体 外形上晶面有规则配置，反映内部分子（或原子）是排列有序的。解理性 ：沿着某些确定方位的晶面劈裂。晶 面 ： 晶体中具体有某个方位的面。晶 棱 ：晶面之间的交线。晶 带 ：晶面的交线互相平行，这些晶 面的组合称为晶带带 轴 ：互相平行的晶棱的共同方向， 称为该晶带的带轴。：阿羽衣“坚实的基石”重复规则排列而成 晶体学中的有理指数定律 密勒指数布喇菲的空间点阵学说：晶体的内部结构可以概括为一些相同的点子

3、在空间有规律地作周期性的无限分布。规则网络规则网络无规网络无规网络准准 晶晶Al65Co25Cu10合金合金二、几种常见的晶体结构二、几种常见的晶体结构1. 元素晶体元素晶体a. 密堆积密堆积： 一维一维 二维二维二维密排结构二维密排结构二维正方结构二维正方结构 三维三维 典型晶体：典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti 密排六方（密排六方（ hexagonal close-packed, hcp ）结构）结构 排列方式：排列方式： ABABAB (六方密堆积六方密堆积) 面心立方（面心立方（face-centered cubic, fcc）结构）结构 排列方式：排列方式： ABCABC (立

4、方密堆积立方密堆积)典型晶体：典型晶体：Ca、Sr、Al、Cu、Ag b. 较松散的堆积较松散的堆积 体心立方（体心立方（body-centered cubic, bcc） 结构结构 简单立方（简单立方（simple cubic, sc）结构）结构典型晶体：典型晶体：Li、Na、K、 -Fe 金刚石结构金刚石结构典型晶体：金刚石、典型晶体：金刚石、Si、Ge 1434143412121212l 配位数：一个原子周围最近邻原子的数目配位数：一个原子周围最近邻原子的数目 如：对于密堆积（如：对于密堆积（hcp和和fcc）配位数为）配位数为12； 对于体心立方（对于体心立方（bcc）配位数为）配位数

5、为8 等。等。2. 简单化合物晶体简单化合物晶体 NaCl结构结构典型晶体：典型晶体：NaCl、LiF、 KBr l 堆积系数堆积系数 晶晶 胞胞 体体 积积晶胞中原子所占的体积晶胞中原子所占的体积 CsCl结构结构 闪锌矿结构闪锌矿结构典型晶体：典型晶体：CsCl、CsBr、CsI 典型晶体：典型晶体：ZnS、CdS、GaAs、 -SiC BA1.2 晶格的周期性晶格的周期性一、晶格与空间点阵一、晶格与空间点阵 1. 晶格：晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式晶体中原子（或离子）排列的具体形式 2. 空间点阵空间点阵 等同点系：晶格中所有与起始点在等同点系：晶格中所有与起始点在化学、物理

6、和化学、物理和 几何环境完全相同几何环境完全相同的点的集合的点的集合 空间点阵：由等同点系所空间点阵：由等同点系所抽象抽象出来的一系列在空间出来的一系列在空间 中周期排列的中周期排列的几何点几何点的集合体的集合体 格格 点：空间点阵中周期排列的几何点点：空间点阵中周期排列的几何点 基基 元：一个格点所代表的物理实体元：一个格点所代表的物理实体Rl0 a1a2二、基矢和原胞二、基矢和原胞1. 格矢格矢: Rl2. 基矢：基矢：1 12233llllRaaa任一格矢任一格矢 ，如果所有如果所有l1、l2和和l3均为整数，则称这组坐标基均为整数，则称这组坐标基a1、a2和和a3为基矢。为基矢。对于一

7、个空间点阵，基矢的选择不是唯对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可以有多种不同的选择方式。一的，可以有多种不同的选择方式。Rl0 a1a2123av aaa原胞体积：原胞体积：3. 原胞原胞 晶格原胞空间点阵原胞基元晶格原胞空间点阵原胞基元 空间点阵空间点阵最小的重复单元最小的重复单元 每个空间点阵原胞中只含有每个空间点阵原胞中只含有一个格点一个格点 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法，但对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法，但 原胞的体积均相等原胞的体积均相等 空间点阵原胞空间点阵原胞 Wigner-Seitz原胞（对称原胞）原胞（对称原胞）4. 晶格的分类晶格的分类 简单晶格：每

8、个晶格原胞中只含有简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子一个原子例：例：Na、Cu、Al等晶格均为简单晶格。等晶格均为简单晶格。晶格中晶格中所有原子在化学、物理和几何环境所有原子在化学、物理和几何环境上都是完全等同的上都是完全等同的 复式晶格：每个晶格原胞中含有复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的两个或两个以上的 原子或离子原子或离子简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。的晶格却不一定是简单晶格。如：金刚石、如：金刚石、Mg、Zn 、 C60和和NaCl等晶格都是复式晶格。等晶格都是复式晶格。12121

9、2121434143412121212143414141414343434三、倒格子三、倒格子ijij2a bi, j=1, 2, 3倒格子的定义：倒格子的定义：倒格矢：倒格矢：Gnn1b1+n2b2+n3b3 ， n1、n2、n3都是整数。都是整数。123bb bb倒格子原胞体积：倒格子原胞体积：2lnhR G38abvh为整数为整数2323112322avaaaaba aa1212312322avaaaabaaa3131212322avaaaaba aa1.3 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性一、点对称操作一、点对称操作 对称操作：若一个空间图形经过一空间操作对称操作：若一个空间图形经过一

10、空间操作 （线性变换），其（线性变换），其性质复原性质复原，则称此，则称此 空间操作为对称操作空间操作为对称操作正交变换正交变换 点对称操作：在对称操作过程中点对称操作：在对称操作过程中至少有一点至少有一点保持不动保持不动 点对称操作要素：点对称操作凭借的几何要素点对称操作要素：点对称操作凭借的几何要素点：对称中心；线：对称轴；面：对称面点：对称中心；线：对称轴；面：对称面二、晶体的对称轴定理二、晶体的对称轴定理ABDCE 360n ：基转角；：基转角； ：对称轴的轴次：对称轴的轴次晶体的对称轴定理：晶体的对称轴定理：晶体中只有晶体中只有1，2，3，4和和6五种五种 对称轴对称轴AEmABmZ

11、2cosABACABcos2m003601802212mn0001209060101346三、晶体中八种独立的对称要素三、晶体中八种独立的对称要素 旋转对称轴旋转对称轴 Cn （真旋转）（真旋转）C1 (1)C2 (2)C3 (3)C4 (4)C6 (6) 旋转反演轴旋转反演轴 （旋转与反演的复合操作）（旋转与反演的复合操作）n或或 i1或或 m2= 3+i34= 3+m6S1或或CS (m)S2或或Ci (i)S3=C3+CSS4S6=C3+Ci 旋转反映轴旋转反映轴 Sn（旋转与反映的复合操作）（旋转与反映的复合操作） 晶体中独立的对称要素：晶体中独立的对称要素： C1 (1)、C2 (2

12、)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、 Ci (i)、 CS (m)和和 S4( )4四、点群（四、点群（32种）种） Schnflies符号：用符号：用主轴脚标主轴脚标表示表示 国际符号：以国际符号：以特征方向的对称性特征方向的对称性来表示来表示主轴：主轴：Cn、Dn、Sn、T和和OCn：n次旋转轴次旋转轴 Sn : n次旋转反映轴次旋转反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴T： 四面体群四面体群 O： 八面体群八面体群 脚标：脚标：h、v、dh：垂直于：垂直于n次轴（主轴）的次轴（主轴）的水平水平面为对称面面为对称面v：含：含n次轴（主轴）

13、在内的次轴（主轴）在内的竖直竖直对称面对称面d：垂直于主轴的两个二次轴的：垂直于主轴的两个二次轴的平分平分面为对称面面为对称面1.4 晶系和晶系和Bravais格子格子0bac 一、晶胞与轴矢坐标系一、晶胞与轴矢坐标系 晶胞：晶胞：既能反映晶体的对称性特征又能反映晶格周既能反映晶体的对称性特征又能反映晶格周 期性（平移对称性）的重复单元期性（平移对称性）的重复单元 晶胞基矢：晶胞基矢：a、 b、 c 晶胞参量：晶胞参量：a、 b、 c、 、 、 0bacAD1. 晶向指数晶向指数二、轴矢坐标系中的方向指数和面指数二、轴矢坐标系中的方向指数和面指数晶向指数：晶向指数： l m n沿晶向的位移：沿

14、晶向的位移：uvwabc:u v wl m nl、m、n 为互质整数为互质整数011001001001001100100100100010010010010等效方向：等效方向： 100 等效晶向（等效方向）：等效晶向（等效方向）： l m n 2. 晶面指数：晶面指数：0abcTaSbUc111:T S Uh k lh、k、l 为互质整数为互质整数晶面指数：（晶面指数：（hkl）等效晶面：等效晶面：hkl三、晶系（三、晶系（7个）个） 0bacABCD(101)根据晶体的对称性特征划分根据晶体的对称性特征划分(100)(010)(001)等效晶面：等效晶面：100晶系晶系对称性特征对称性特征晶

15、胞参数晶胞参数所属点群所属点群Bravais格子格子三斜三斜 只有只有1或或 ia b c C1、CiP单斜单斜唯一唯一2或或 ma b c = =90 C2、CS、C2hP、C正交正交三个三个2或或 ma b c = = 90D2、C2V、D2hP、C、I、F三方三方唯一唯一3 或或a=b=c = 90C3、S6、D3C3V、D3dR四方四方唯一唯一4 或或a=b c = = 90C4、S4、C4h、D4C4V、D2d、D4hP、I六方六方唯一唯一6 或或a=b c = 90 =120C6、C3h、C6h、D6、C6V、D3h、D6hH立方立方四个四个3a=b=c = 90T、Th、TdO、

16、OhP、I、F346四、四、Bravais格子（格子（14种）种） P：简单：简单Bravais格子格子 C：底心：底心Bravais格子格子 I：体心：体心Bravais格子格子 F：面心：面心Bravais格子格子 R: 三方三方Bravais格子格子 H: 六方六方Bravais格子格子 OrthorhombicPCIFTriclinicPMonoclinicPCPIFCubicHexagonalHTetragonalPIRhombohedralRabca3a2a10abca1a2a30fcc：bcc：立方晶系的基矢立方晶系的基矢123122122122aaajkjkkikiijijab

17、cacaaab123122122122aaa ijkijkijkijkijkijkaabcaabcaabc晶体结构空间点阵基元晶体结构空间点阵基元 晶体结构分析晶体结构分析 一一、衍射的基本理论衍射的基本理论 (一一) 预备知识预备知识 几何晶体学知识几何晶体学知识1. 空间点阵空间点阵2. 布拉菲格子布拉菲格子3. 晶体学指数晶体学指数4. 倒易点阵倒易点阵 (二二) 晶体衍射理论晶体衍射理论 1. 衍射衍射 2. 衍射方向的确定衍射方向的确定 3. 衍射强度衍射强度 4. 衍射理论小结衍射理论小结 (从数学角度从数学角度)(1) 单个电子的散射单个电子的散射(2) 一个原子的散射一个原子的

18、散射 (3) 一个晶胞的散射一个晶胞的散射(4) 一个理想小晶体的一个理想小晶体的 散射散射二二、晶体结构分析的几种方法晶体结构分析的几种方法 （一）（一） X射线衍射仪射线衍射仪 1. 衍射仪的结构及基本原理衍射仪的结构及基本原理 2. 衍射仪在光电子材料研究中的应用衍射仪在光电子材料研究中的应用 （二）（二） 反射式高能电子衍射仪反射式高能电子衍射仪(RHEED) 1. RHEED的结构与原理的结构与原理 2. RHEED在分子束外延中的应用在分子束外延中的应用 序序 ( (一一) ) 物质的结构分类物质的结构分类 晶体：具有周期性排列的内部结构，晶体：具有周期性排列的内部结构，三维长程有

19、序三维长程有序。 非晶体：内部结构只在几个原子范围内具有某种统非晶体：内部结构只在几个原子范围内具有某种统 计分布规律，在大范围内呈无规排列，即计分布规律，在大范围内呈无规排列，即短程有序短程有序。 在微电子、光电子领域制作器件的大量材料都属于在微电子、光电子领域制作器件的大量材料都属于晶体范畴，如晶体范畴，如SiSi、GeGe、GaAsGaAs、InPInP等。等。（二）晶体结构分析的任务（二）晶体结构分析的任务 1. 1. 揭示三维有序度揭示三维有序度 2. 2. 揭示单元结构揭示单元结构（三）（三） 采用什么手段来完成分析采用什么手段来完成分析通常原子间距通常原子间距 几个几个X X 射

20、线波长射线波长 1-0.11-0.1(10(10-1-1-10-10-2 -2 nm )nm )电子波长电子波长 , , E E为电子能量为电子能量, ,单位单位eVeV. . 当当E E100 keV100 keV 时时, , X X 射线或高能电子束的波长与原子间距具有相等射线或高能电子束的波长与原子间距具有相等 或更小的数量级。或更小的数量级。 当用一定波长的射线或高能电子束照射晶体时当用一定波长的射线或高能电子束照射晶体时, , 发生衍射。三维有序结构相当于光栅一样。发生衍射。三维有序结构相当于光栅一样。 ( (四四) ) 本章的研究内容本章的研究内容 从衍射花样得到晶体结构。从衍射花

21、样得到晶体结构。Enm226. 1pm9 . 3一、衍射的基本理论一、衍射的基本理论（一）（一） 预备知识预备知识几何晶体学知识几何晶体学知识1. 1. 空间点阵空间点阵晶体周期性结构的两要素晶体周期性结构的两要素: :周期性重复排列的结构基元周期性重复排列的结构基元重复周期的大小和方式重复周期的大小和方式等同点：晶体中几何环境和物质环境完全相同的点等同点：晶体中几何环境和物质环境完全相同的点空间点阵：等同点（阵点）集合成的几何图形空间点阵：等同点（阵点）集合成的几何图形结构基元：等同点所代表的具体内容结构基元：等同点所代表的具体内容空间点阵是由晶体结构抽象出来的，反映晶体中粒子空间点阵是由晶

22、体结构抽象出来的，反映晶体中粒子分布的周期性。分布的周期性。空间点阵结构基元空间点阵结构基元晶体结构晶体结构所有晶体的空间点阵只有所有晶体的空间点阵只有1414种形式，但结构基元却千种形式，但结构基元却千变万化。变万化。2. 2. 布拉菲格子布拉菲格子 初基格子初基格子: : 为反映点阵的周期性，取体积最小的为反映点阵的周期性，取体积最小的平行六面体为重复单元。初基格子只包含一个原平行六面体为重复单元。初基格子只包含一个原子。子。 布拉菲格子：同时反映空间点阵的周期性与对称布拉菲格子：同时反映空间点阵的周期性与对称性的初基与非初基格子的统称。性的初基与非初基格子的统称。 布拉菲格子共有布拉菲格

23、子共有1414种，有些布拉菲格子包含有种，有些布拉菲格子包含有一个以上的原子，如体心方为一个以上的原子，如体心方为2 2个个; ; 面心立为面心立为4 4个。个。 坐标系坐标系: :单位坐标单位坐标 ( (三棱边三棱边) )c , b ,a3. 晶体学指数 用三个按坐标轴顺序排列的三个数来表示点、线和面 (1)点坐标: P点 P点座标 (xyz)(2)晶向指数: 引出直线族中过原点的直线, 把其上任一点 的坐标化为三个互质的数(3)晶面指数: 平面族中任一平面在 三轴上截距的倒数, ( hkl) 化为互质整数(4)晶面间距: 指 ( hkl) 晶面族中, 两相邻平行晶面间的垂直距离 若晶面法线

24、的方向余弦为 , 则晶面距czbyaxopc , b ,acoscos ,coscos)( cos)(cos)(lckbhad 对于正交晶系对于正交晶系: : 对于立方晶系对于立方晶系: :(5)(5)晶带晶带: : 晶体中平行于同一晶向的许多晶面的组合称为晶晶体中平行于同一晶向的许多晶面的组合称为晶带。此晶向称为晶带轴带。此晶向称为晶带轴, , 组成晶带的各晶面称为共带组成晶带的各晶面称为共带面。面。22coscos1cos+22222)()()(1clbkahd222221alkhd4. 4. 倒易点阵倒易点阵(reciprocal lattice)(reciprocal lattice)

25、 是由实点阵按一定规律转化成的一种虚点阵。是由实点阵按一定规律转化成的一种虚点阵。 (1) (1) 定义定义: : 正点阵正点阵 三个基矢三个基矢 另一点阵另一点阵 三个基矢三个基矢 两点阵间满足如下关系两点阵间满足如下关系: : 则则 的倒易点阵的倒易点阵 (2) (2) 两点阵间关系两点阵间关系: :基矢方向及大小基矢方向及大小 , , , , v: v: 正点阵单位格子的体积正点阵单位格子的体积: : c , b ,a*S*c *,b *,a1*aa0* ba0*ca0*ab1* bb0*cb0* ac0* bc1*ccSS 为*Svcba*vacb*vbac*)(cba基矢交角间关系基

26、矢交角间关系: : 正点阵正点阵: : 倒点阵倒点阵: : 对于正交晶系对于正交晶系 正点阵基矢的模越大正点阵基矢的模越大, , 则倒易点阵中相应基矢的模越小。则倒易点阵中相应基矢的模越小。acbbac ; ;*c *;* *;*acbbasinsincoscoscos*cossinsincoscoscos*cossinsincoscoscos*cos9090* 1* ,1* ,1*ccbbaa(3) (3) 倒易点阵的性质倒易点阵的性质 设设 为倒易点阵中任一矢量为倒易点阵中任一矢量 (h(h、k k、l l 为任意整数为任意整数) ) 则则: : 必垂直于正点阵必垂直于正点阵 (hkl(h

27、kl) )晶面晶面, , 且且 几何意义几何意义: : 正点阵中的每一组平行晶面正点阵中的每一组平行晶面(hkl(hkl) )对应于倒易点阵对应于倒易点阵中的一个点中的一个点, , 此点处于这组晶面的公共法线上此点处于这组晶面的公共法线上, , 即倒即倒易矢量方向上易矢量方向上; ; 它至原点的距离为该晶面间距的倒数它至原点的距离为该晶面间距的倒数 。hklH *c lbkahHhklhklHhklhkldH1)1(hkld（二）（二） 晶体衍射理论晶体衍射理论 1. 1. 衍射衍射: : (1) (1) 散射与衍射散射与衍射 散射散射 衍射衍射 衍射波的一般表达衍射波的一般表达(2) (2)

28、 频率与波长频率与波长 散射波与入射波频率散射波与入射波频率( (波长波长) )相同相同, , 为什么为什么? ?(3) (3) 时间时间 t t 实验中记录的波的强度实验中记录的波的强度 与时间与时间t t有关吗有关吗? ?(4) (4) 波矢波矢 散射前后保持不变散射前后保持不变 空间信息仅仅包含在的方向变化中空间信息仅仅包含在的方向变化中)(0trkie2),()(trI强度k2k(5)(5)相位差与散射矢量相位差与散射矢量 考虑两个散射中心的体系考虑两个散射中心的体系O O和和M, OMM, OM之间距离远远小于它之间距离远远小于它们到观察点的距离们到观察点的距离 : :入射线方向单位

29、矢量入射线方向单位矢量 : :散射线方向单位矢量散射线方向单位矢量 光程差光程差 相位差相位差 定义定义: : 为散射矢量为散射矢量 (2(2 为散射角为散射角) ) 的方向的方向: : 与与2 2的角分线垂直的角分线垂直 的单位的单位: : 0ssonmorssrsrs)(00rss)(200ssHsin2HHH1长度rH2来自两个散射中心的散射线之间的干涉散射矢量 的定义H(6) (6) 衍射图形的数学描述衍射图形的数学描述 从体积元从体积元 来的散射波来的散射波 为振幅函数为振幅函数 衍射图形衍射图形 的付立叶变换就是衍射图形的付立叶变换就是衍射图形 给出相应于任何值的衍射波振幅给出相应

30、于任何值的衍射波振幅, , 提供衍射图形提供衍射图形的空间分布。的空间分布。 是决定衍射障碍物对入射波效应的函数是决定衍射障碍物对入射波效应的函数, , 包括了包括了障碍物的结构信息。障碍物的结构信息。 从实验测得从实验测得 , , 利用付立叶变换计算可得利用付立叶变换计算可得 , , 由此确定晶体结构。由此确定晶体结构。dvdverfrki)()()(rf)()(kFdverfrk iv)(rf)(rf)(kF)(kF)(rf下面研究以下两方面问题下面研究以下两方面问题: : 衍射的方向衍射的方向: :与点阵参数等几何因素有关与点阵参数等几何因素有关 衍射的强度衍射的强度: : 与结构基元所

31、代表的具体结构有关与结构基元所代表的具体结构有关 （原子的性质、数目、位置及晶体的完整性）（原子的性质、数目、位置及晶体的完整性）讨论作如下假定讨论作如下假定: : (1) (1) 样品由许多微小的相干散射区组成，入射只经一次样品由许多微小的相干散射区组成，入射只经一次散射，不发生多重散射。散射，不发生多重散射。 (2) (2) 每个相干散射区的散射波振幅比入射波振幅小得多，每个相干散射区的散射波振幅比入射波振幅小得多，忽略散射波与入射波之间的干涉作用。忽略散射波与入射波之间的干涉作用。 (3) (3) 入射波、散射波在样品内外的传播速度没有变入射波、散射波在样品内外的传播速度没有变, , 故

32、故无折射。无折射。2. 衍射强度 由晶胞的组成成分及结构确定，研究中仅涉及探测束与电子的相互作用相干散射叠加原理成立研究路线:单电子原子晶胞理想小晶体(i) 单个电子的散射相干散射(Thomson散射) 与原子的内层电子相遇用经典理论解释。 散射波与入射波之间频率(波长)相同, 具有明确相位关系。电子集合体的总效应, 可用叠加原理来计算。散射波的总振幅为每个电子的个别散射振幅之和。 入射线在O处受到一个电子散射, 在任何一点p处的散射电场强度振幅为其中: E0: 入射线电场强度 R: op间距离 : 电场强度方向 与散射方向间夹角 m: 电子质量RmeEEoesin)4(0I: 表示强度 对于

33、非偏振入射束, (在各方向几率相同)22oeoeEEII2224222sin)()4()(RmeIEEIIoooeoe ozyozyIIIEEE222ozyIII21 2cos)()4(222420RmeIIzez)()4(22420RmeIIyey)22cos1()4(222420mReIIIIoeyeze可见: 散射强度是偏振的, 为偏振因数质子带电荷与电子相同而其质量是电子的1837倍, 因此其散射强度是电子1/(1837)2, 可忽略不计。)22cos1()4(222420mReIIoe)22cos1(2 非相干散射(Compton散射, 吴有训散射) 入射束与原子的外层电子相互作用

34、采用模型: 一个光子与一个电子相互作用 粒子-粒子之间碰撞采用理论: 量子力学 散射波之间无明确的相位关系, 不能采用叠加原理, 因此只提供衍射图形本底。(ii) 一个原子的散射 原子核外的电子云叠加原理: 原子总的散射振幅是电子云中所有各点散射元散射的合成振幅a) 电子云中任一点p与原点o处散射的相位差: (如前述)b) 对于j电子，其电子密度分布函数 ， 沿 方向的散射其中Ae为处于原点O处一个经典电子相干散射振幅rHrss2)(20)(rjsdverAAijvej)(c) 原子中所有电子相干散射波的合成振幅(Aa)Z个电子总的电子密度分布函数定义: 原子散射因数fvzjijezjjadv

35、erAAA11)()(rvieazjjdverAArr)()()(1vrHidver2)(f 一个原子中所有电子相一个原子中所有电子相干散射波的合成振幅干散射波的合成振幅一个电子相干散射波的一个电子相干散射波的振幅振幅(iii) 一个晶胞的散射 单位晶胞散射振幅其中 : 晶胞中电子云密度分布 : 晶胞体积定义结构因数F (为晶胞中任一点与原点间的相位差) 结构因数为晶胞中电子密度分布函数的付立叶变换vciebdverAA)()(rcVF 一个晶胞中全部电子相一个晶胞中全部电子相干散射的合成振幅干散射的合成振幅一个电子相干散射波的一个电子相干散射波的振幅振幅vciebdverAA)( 结构因数的

36、计算: 晶胞中各原子电子密度在 点的总贡献: 研究点距原点O的距离: 第j个原子中心位置 : 所研究点距本原子中心的位置)(rrjrjr (n: 总原子数)假若Aj中心位置固定, 的变化表现于 的变化对上式作如下三点改变: 改变积分与求和的顺序 提出(表示不同原子散射振幅的相位因子与求和有关, 与积分无关) 积分体积由晶胞变为原子njjjjrr1)()(rj)()(1jjnjr晶胞中不同位置原子的电子密度分布函数vcnjdvHjjriejjF1)(2)( ,结构因子F与下列因素有关: 原子种类(fj) 原子在晶胞中的位置( ) 晶胞中原子数(n) 衍射面(hkl)njlzkyhxijhkljj

37、jefF1)(2njvcHjr iedvHjiejjF122)(njHjr iejf12jrczbyaxrjjjj*c lbkahH 结构因子计算实例 注意: 每个晶胞所含原子个数简单点阵 每个晶胞中只有一个原子, 坐标(000)表明: 与晶面指数无关, 所有面都有反射, 且具有相同的结构因子。与反射面对应的倒易点构成初基倒易点阵。体心立方单位晶胞中有两个原子, 坐标(000), ( )ffeFoi)(22121211 )()2(2)(2lkhilkhioieffefeF当 当 消光现象：结构因子F为0(110),(200),(211),(220)等面有反射, 对应的倒易点组成面心倒易点阵,

38、而(100),(111),(210),(221)等面均无反射面心立方单位晶胞中包含4个原子反射面对应的倒易点阵组成体心立方倒易点阵偶数lkh1642iiieee224 fFffF2) 11 (奇数lkh153iiieee02F0) 11 ( fF(iv) 一个理想小晶体的散射 把每个晶胞看成散射单元, 散射振幅为: : 晶胞原点相对于晶体原点的位置若N1, N2, N3为晶体在三个方向的晶胞数 :干涉函数(或形状因子)Hr iebmnpFeAA2mnpr1010102123NmNnNpHr iecmnpeFAA22210101022)(123HGFIeFIIeNmNnNpHr iecmnp2)

39、(HGG H()2 晶晶 体体 相相 干干 散散 射射 强强 度度晶晶 胞胞 相相 干干 散散 射射 强强 度度 讨论G H()2:G HeirHpNnNmNmnp()220101012321 rmanbpcmnp Hhakblc *G HeeeN hhN kkN llimhinkiplpNnNmN()sinsinsinsinsinsin22220101012212222232321 a) 当h k l, ,均为整数时, 上述三个因数均为 0/0limsinsin hNN21212 G HNNNNNcc()(21222322为总晶胞数)在倒易点阵结点处, 干涉函数有极大值 II F Necma

40、x 22b) 干涉函数图象(以一维为例)图示为N13 和 15 两种情况下, sinsin212 N hh沿倒易基矢方向分布主峰在倒易结点处, 峰高N12主峰宽21N当N1 , 峰宽 函数晶体尺寸效应:晶体尺寸影响倒易点附近主峰区的几何形状由此推出一维、二维、三维微晶对应G H()2主峰区形状一维: 倒易点扩展成一片片垂直于晶体的倒易片, 相邻两面间距cc* 1二维: 倒易点被拉长为一根根垂直于二维晶体平面的倒易杆一维点阵的衍射花样一维点阵的衍射花样二维点阵的衍射花样二维点阵的衍射花样4. 衍射理论小结(从数学角度) 付立叶变换F Hf r edvrir H()( ) f r( )为实空间函数

41、 r的单位是长度F H()为倒易空间函数, H的单位是长度-1, 称为付立叶空间或 k空间反变换为:f rF H edHHir H( )() 意义: 函数定义: ()xx 0当xx 0时 ()xx 01xx 0时 ()xx 00点阵函数l rrmanbpcm n p( )(). . 所所有有 函数的付立叶变换 函数的付立叶变换主峰位置决定于原来阵列中 函数的间距。每个主峰的宽度和次要峰的数目决定于原阵列中 函数的总数。 卷积定义c uf r g ur drr( )( ) () 所有所有称为f r( )和g r( )的卷积写作f r( )* g r( )c uf rg r( )( )* ( )

42、任何函数和三维阵列 函数的卷积将 函数放在空间所有定义的 函数上。 用数学方法表示整个晶体及其衍射图形若整个晶体用c u( )表示, 称为晶体结构函数晶体结构函数=点阵函数*晶胞函数c ul ru r( )( )* ( ) 卷积的付立叶变换Tc uT l ru rTl rTu r( ) ( )* ( )( ) ( ) 主峰位置点阵常数 主峰形状晶体总体形状 主峰强度晶胞结构3. 3. 衍射的方向衍射的方向 布拉格方程布拉格方程 产生衍射条件的代数方程表述产生衍射条件的代数方程表述 劳厄方程劳厄方程 产生衍射条件的矢量方程表述产生衍射条件的矢量方程表述 爱瓦尔德图解爱瓦尔德图解 产生衍射条件的图

43、解表述产生衍射条件的图解表述 (1) (1) 布拉格方程布拉格方程 : : 布拉格角布拉格角, , 掠射角或半衍射角掠射角或半衍射角 反映晶体衍射的必要条件反映晶体衍射的必要条件: : 晶面距晶面距(d), (d), 波长波长( ( ) )和半衍和半衍射角射角( ( ) )之间关系之间关系, , 知其二可求第三。知其二可求第三。ndsin2Bragg方程的推导 方程成立前题方程成立前题: : 入射线、散射线和反射晶面的法线在同一平面上入射线、散射线和反射晶面的法线在同一平面上 与面间距需同一量级或更小与面间距需同一量级或更小晶体衍射与可见光的镜面反射差别晶体衍射与可见光的镜面反射差别 晶体衍射晶体衍射光镜面反射光镜面反射有一定数目投射角有一定数目投射角任何投射角任何投射角内层原子参与内层原子参与表面反射表面反射衍射束强度衍射束强度 入射束入射束效率可达效率可达100%100%物理实质不