概率论与数理统计 82 正态总体参数的假设检验

1、8.2正态总体参数的假设检验1 1、单个正态总体的假设检验、单个正态总体的假设检验2 2、两个正态总体的假设检验、两个正态总体的假设检验3 3、单侧假设检验、单侧假设检验一、单个正态总体的参数假设检验一、单个正态总体的参数假设检验:2( , ) , X NX 设设总总体体从从 中中抽抽取取一一样样本本 212(,) , nXXXX S设设 与与 表表示示样样本本均均值值及及样样本本方方差差 . .(一一) 总体均值的假设检验总体均值的假设检验:1、总体方差、总体方差 2 已知已知: :0010=HH（1 1）作作假假设设 : : ; ; : : 0=( 0 , 1 ) ./X UNn（2 2）

2、选选取取统统计计量量 2, , z（3 3）拒拒绝绝域域 给给定定显显著著性性水水平平 查查表表得得的的值值 由由 2 =, P U z 2 . U z得得拒拒绝绝域域为为 02XU =zn, 4 4/|/（ ）计计算算的的值值，与与的的值值做做比比较较00HH作作出出接接受受或或者者否否定定的的决决定定。2、总体方差、总体方差 2 未知未知: :0010=HH作作假假设设 : : ; ; : : 0=( 1 ) ./X tt nSn建建立立函函数数 2, , t给给定定显显著著性性水水平平 查查表表得得的的值值 由由 2 (1) =, P t tn 2 (1) . t tn得得拒拒绝绝域域为

3、为 例例1(98年考研年考研)设某次考试的考生成绩服从正态分布，设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，分，标准差为标准差为15分，问在显著性水平分，问在显著性水平0.05下，是否可以认下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检分？并给出检验过程。（附：验过程。（附：t分布表）分布表） p n0.950.975351.68962.0301361.68832.0282解：第一步，提出假设解：第一步，提出假设:,:(.)HH00170700 05第二步，选取检验

4、统计量第二步，选取检验统计量 ()/XTt nsn 01第三步，具体算得第三步，具体算得/.|.()./XTtsn1266 5701 43612 03011536因此，不拒绝原假设因此，不拒绝原假设=70，即在显著性水平，即在显著性水平0.05下下可以认为全体考生的平均成绩为可以认为全体考生的平均成绩为70分。分。 (二二) 总体总体 2 的假设检验的假设检验 ( 未知未知) :2222( 1 )=( 1 ) ,nSn建建立立函函数数 22, (1) , n给给定定显显著著性性水水平平 查查表表得得 22220010=;HH作作假假设设 : : : : 212(1) , n的的值值 于于是是得

5、得拒拒绝绝域域为为 2222122 (1) (1) nn或或 例例2：某炼铁厂铁水中碳的质量分数某炼铁厂铁水中碳的质量分数 X (单位单位:%)服从正态分布服从正态分布 N( , 0.112 2) . 现对工艺进现对工艺进行改进行改进, 从中抽取从中抽取7炉铁水炉铁水, 测得碳的质量测得碳的质量( =0.05 ) 分数为分数为: 4.411, 4.062, 4.337, 4.394, 4.346,4.277, 4.693 . 试问新工艺炼出的铁水中碳试问新工艺炼出的铁水中碳的质量分数的方差是否有明显改变的质量分数的方差是否有明显改变?220.9750.025(6) = 1.237 , (6)

6、= 14.449 , 222201= 0.112 ;0.112HH 作作假假设设 : : : : 解解 220.0250 (6) , , H由由于于故故拒拒绝绝 即即认认为为铁铁水水 = 0.05 , = 7 , n由由查查表表得得 2= 4.36 , = 0.0351 , xS经经计计算算知知 2220( 1 )= 16.789 ,nS .中中碳碳的的质质量量分分数数的的方方差差有有明明显显变变化化 并设其样本平均数及样本方差分别为并设其样本平均数及样本方差分别为设设有有两两个个正正态态总总体体二二 、两个正态总体的参数假设检验、两个正态总体的参数假设检验:从两个总体中分别抽取两个样本从两个

7、总体中分别抽取两个样本221122 , , , ,XNYN 121212( , ,) , ( , ,) ,nnXXXYYY2212 , , .XYSS及及221212= ( 0 , 1 ) ,+XYUNnn (一一) 两个正态总体均值的假设检验两个正态总体均值的假设检验:2 U z拒拒绝绝域域为为 . . 012112=;HH作作假假设设 : : : : (1) 若若 12 , 22 已已知知, 在在 H0 成立的前提下作函数成立的前提下作函数 (2) 12 = 22 = 2 , 但但 2 未知未知, 在在 H0 成立下有成立下有1212 =(2) ,11XYTt nnSnn 22211221

8、2( 1)( 1)= ,2nSnSSnn其其中中 122 (2) . T tnn于于是是拒拒绝绝域域为为 例例3、 设有甲乙两种安眠药设有甲乙两种安眠药, 比较它们的治疗效比较它们的治疗效果果. 以以 X 表示失眠患者服甲药后延长睡眠表示失眠患者服甲药后延长睡眠的时数的时数, 以以 Y 表示失眠患者服乙药后延长表示失眠患者服乙药后延长( =0.05 ) 睡眠的时数睡眠的时数 . 现独立观察现独立观察16个患者个患者 , 其中其中8人服甲药人服甲药, 8人服乙药人服乙药, 延长时数分别为延长时数分别为X : 0.1, 0.1, 3.5, 4.3, 1.8, 2.7, 5.4, 0.8 ;Y :

9、1.7, 2.2, 0.0, 0.6, 1.5, 3.3, 1.5, 1.2 ;假设假设 X 与与 Y 服从方差相同的正态分布服从方差相同的正态分布, 试试问问: 这两种药疗效有无显著差异这两种药疗效有无显著差异 ?在在 H0 成立的前提下有成立的前提下有1212 =(2) ,11XYTt nnSnn 2212 , , , XNYN解解 设设 012112=;HH作作假假设设 : : : : 120.0252= 8 , (8 + 82) =(14) = 2.1448 ,nntt 2.1448 . T 于于是是拒拒绝绝域域为为 21= 2.3375 , = 3.91125 , xS经经计计算算知

10、知 22= 0.98857 , = 1.565 .SS于是有于是有 T =1.0703 ,由于由于 T FnnF Fnn或或 在在 H0 成立条件下成立条件下2222012112=;HH作作假假设设 : : : : 于是拒绝域为于是拒绝域为例例4：甲乙两台机床加工某零件甲乙两台机床加工某零件, 零件直径服从零件直径服从正态分布正态分布, 总体方差反映了加工精度总体方差反映了加工精度 . 为为比较两台机床的加工精度有无差别比较两台机床的加工精度有无差别, 现从现从( =0.05 ) 假假设设 各自加工的零件中分别抽取各自加工的零件中分别抽取7件及件及8件产品件产品,测其直径为测其直径为X (甲甲

11、): 16.2, 16.4, 15.6, 15.7, 16.5, 15.8, 16.0;Y (乙乙): 15.7, 16.2, 16.4, 16.0, 16.6, 15.9, 15.8, 15.0 ;2122= 1.261 ,SFS0.025(6 , 7) = 5.12 , F2222012112=;HH 作作假假设设 : : : : 解解 2212= 0.272 , = 0.2164 ,SS经经计计算算知知 12= 7 , = 8 , = 0.05 , nn查查表表得得 0.9750.0251(6 , 7) = 0.175(7 , 6)FF , = 0.05 F 故故 的的值值不不在在拒拒绝

12、绝域域即即在在水水平平下下 认为两台机床加工精度差别不大认为两台机床加工精度差别不大 .三、单侧假设检验三、单侧假设检验:00 =,H 实实际际问问题题中中假假设设 的的形形式式除除了了 222201212= , = , =, 等等外外 还还有有2200012, , , , 22120 , , H 等等形形式式 此此时时 仍仍称称这这些些假假设设 1 0, , H 为为原原假假设设 而而它它的的对对立立情情形形 为为 2222001212 , , , , 等等01 . H H将将其其称称为为对对立立假假设设 则则由由 与与相相应应的的, , 所所构构成成的的一一对对假假设设 称称为为单单侧侧假

13、假设设检检验验 相相应应地地前前面面所所讲讲的的假假设设检检验验称称为为双双侧侧假假设设检检验验 . .例例5：一台机床加工轴的平均椭圆度是一台机床加工轴的平均椭圆度是0.095 ,机床经过调整后取机床经过调整后取20根轴测量其椭圆度根轴测量其椭圆度,( =0.05 ) . 椭椭圆圆度度是是正正态态总总体体 取取 问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低著降低 ? 这里假定调整后机床加工轴的这里假定调整后机床加工轴的 = 0.081 , = 0.025 . xS计计算算得得标标准准差差在在 = 0.095 前提下统计量前提下统计量0 =(1) ,XTt nSn/ / 010.095 ;0.095HH 作作假假设设 : : : : 解解 (1) =, P Ttn 0.025= 0.05 , (1), tn给给定定查查表表可可得得 的的值值 使使0 (1) =. S P Xtnn即即 , x S 由由子子样样值值计计算算 及及的的值值0(1), S x tn n若若 00 , H则则认认为为 较较合合理理 即即应应该该拒拒绝绝 1H而而接接受