简谐振动、单自由度系统与频响函数

1、， 222000022mxcxkxmXxsXsskcmmk 右图所示惯性系统的运动方程为：经过拉普拉斯变换后有（不考虑负号）：其中， 对于不同的和 ，系统表现出不同的性质。位移摆位移摆 10-210-110010110210300.511.5幅 频 特 性 曲 线 (自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 0.707)10-210-1100101102103050100150200幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 0.707）01,当时x有1，在自振X频率以上，呈现位移平坦特性摆体称为位移摆。即摆体和外界振动位移成正比。速度摆速度摆10-410-210010210

2、40123x 10-3幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 30）10-410-2100102104-100-50050100幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 30）01,当在附近x有1，以自振sX频率为中心，呈现速度平坦特性摆体称为位移摆。即摆体和外界振动速度成正比。加速度摆加速度摆1001011021031041050123x 10-6幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 100Hz， 阻 尼 比 0.707）100101102103104105-200-150-100-500幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 10

3、0Hz， 阻 尼 比 0.707）01,2当在以下x有1，在自振s X频率为以下，呈现加速度平坦特性，摆体称为加速度摆。即摆体和外界振动加速度成正比。以以无阻尼自由振动的无阻尼自由振动的弹簧振子为例得出普遍结论：弹簧振子为例得出普遍结论：xok微分方程特征微分方程特征 运动学特征运动学特征由由 Fmakx 0 xdtxd222 xxmka2 mk 加速度加速度22cos()cos()dvaAtAtdt 速速 度度sin()cos()2dxvAtAtdt 2468101214-1-0.50.51vt xa解解 可得可得222dx+ x = 0d t)tcos(Ax 位位 移移振动方程振动方程常数

4、常数A和和 的确定的确定002020 xvtgvxA sincos00AvAx cos()sin( t)xAtdxvAdt 说明：说明：(1) 一般来说一般来说 的取值的取值在在-和和(或或0和和2)之之间；间；由初始条件：由初始条件：结论：结论： （1）单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数表示的，故称为简谐振动。（2）自由振动的角频率即系统的固有频率仅由系统本身参数确 定，与外界激励、初始条件无关。（3）自由振动的振幅A和初相角由初始条件所确定。km ：无阻尼固有角频率 ：阻尼常数0临界阻尼状态几种初始条件曲线小阻尼状态下系统的响应曲线单自由度系统的强迫振动简谐力作用下位移频率响应曲线D=0D=1/8D=1/6D=0.3535D=1/4D=0.707D=1D=20ud无阻尼有阻尼位移速度加速度0002101D021021D 对于一个单自由度系统，位移、速度、加速度的共振频率点是不同的，对于实际的结构，尤其是土木水利工程的结构，其阻尼比通常在0.15以下，加速度、速度和位移的共振频率点非常接近，可以认为是相同的。而阻尼比较大时，系统的共振已经不明显或者已经消失。 简谐力作用下加速度频率响应曲线D=1/8D=0D=1/6D=1/4D=0.3535D=0.5D=0.707D=1D=20ua简谐力作用下速度频率响应曲线D=0.1D