《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

1、 .wd.一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程一般形式：ax2bx+c=0(a0。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a2=bb0的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。x+a=±b x1=-a+ bx2=-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两

2、边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a2=b的形式；如果b0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b0，那么原方程无解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是x= - b±b2 - 4ac(b24ac0)。步骤：把方程转化为一般形2a式；确定a，b，c的值；求出b24ac的值，当b24ac0时代入求根公式。4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：假设ab=0，那么a=0或b=0。步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一

3、次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5一元二次方程的本卷须知：在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；假设b24ac0，那么方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4)2 =3x4中，不能随便约去x4。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法除特别要求外但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情况b24ac0

4、19; 方程有两个不相等的实数根；b24ac=0Û 方程有两个相等的实数根；b24ac0Û 方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根“两相等实数根“没有实数根时，往往首先考虑用b24ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax2bx+c=0(a0来说，x +x=b，xx=c。12a1 2a利用韦达定理可以求一些代数式的值式子变形，如x2+ x2= (x+ x)2- 2xx12121 2解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。二、经典考题剖析：【考题11】以下方程

5、是关于x的一元二次方程的是1Aax²bx+c=0B.k²x5k+6=0C.3x²2x+x=0D.(k²3)x²2x+1=0【考题12】解方程：x²2x3=0【考题13】方程5x2+kx10=0一个根是5，求它的另一个根及k的值三、针对性训练：1、以下方程中，关于x的一元二次方程是A.3(x+ 1)2= 2(x+ 1)B.1+ 1- 2= 0x2yC. ax2+ bx+ c= 0D. x2+ 2x= x2-12、假设2x²+3与2x-4互为相反数，那么x的值为3、用配方法解以下方程时，配方有错误的选项是A.x2-2x-99=0

6、化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为(t- 7)2= 81416D.3y2-4y-2=0化为(y- 2)2= 10394、关于x的一元二次方程(m+ 1)x2 + x+ m2- 2m-3= 0的一个根为x=0，那么m的值为Am=3或m=1Bm=3或m=1Cm=1Dm=35、(2009济南)假设x1，x2是方程x²5x+6=0的两个根，那么x1+x2的值是A.1B.5C.5D.66、(2009眉山)假设x1，x2是方程x²3x1=0的两个根，那么1+ 1的值为1A.3B.3C.31D.3x1x2127、(2009潍坊

7、)假设x1，x2是方程x²6x+k1=0的两个根，且x2+ x2= 24，那么k值为A.8B.7C.6D.58、(2009成都)假设方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A.k1B.k1且k0C. k1D.k1且k09、一元二次方程x2 +2x8=0的一根是2，那么另一个根是.10、假设关于x的方程x2 +2k+1x+2k2=0有实数根，那么k的取值范围是11、解方程：(1)2(2x- 3)2= 32;(2)3yy-1=2y-1(3) 3(4x²9)(2x3)=0;(4)x²6x+8=012、(2009鄂州)关于x的方程kx2+(k+2)x+

8、k=0有两个不相等的实数根，4(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0假设存在求出k的值；不存在说明理由。考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的根基上连续增长降低两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x2=b，其中a表示增长降低前的数据，x表示增长率降低率，b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过 1。 经济利润问题：总利润=单件销售额单件本钱×销售数量；或者，总利润=总销售额总

9、本钱。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想方法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性二、经典考题剖析：【考题1】2009、深圳南山区课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃如图121，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为x米，那么另一边长为(33- 2x) 米，依题意得x(33- 2x) =

10、 130，2x2- 33x+130= 0x= 10x = 13122又当x1= 10时，(33- 2x) = 1313当x2=时，(33- 2x) = 2015213x=不合题意，舍去x= 102答：花圃的长为13米，宽为10米【考题2】2009、襄樊为了改善居民住房条件，我市方案用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，假设每年的增长率一样，那么年增长率为A.9B.10C.11D.12解：设年增长率为x，根据题意得10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1，x2=2.1因为增长率不为负，所以x=0.1。应选D。【考题3】2009、海口某水果批发商

11、场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，假设每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(50020x)10+x=6000整理，得x215x50=0解这个方程，x1=5，x2=10要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克应涨价5元点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠来取舍根的情况【考题4】如图，在ABC中，B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开场沿AB边向点B点以

12、1cm/s的速度移动，点Q从B点开场沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.1如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于42如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5解：1设经过x秒钟，PBQ的面积等于4，那么由题意得AP=x，BP=5x，BQ=2x,11由BP·BQ=4，得225x·2x=4，解得，x1=1，x2=4当x=4时，BQ=2x=87=BC，不符合题意。故x=122由BP2+BQ22=5 得5x2+2x2=5 ,解得x1=0不合题意，x2=2所以2秒后，PQ的长度等于5。三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花

13、10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三廉价05元，结果小明的妈妈只比上次多花2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十·一国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少3在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下局部作为耕地，要使耕地面积为540米

14、2，道路的宽应为多少20m32m4小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税利息税为利息的20%，共取得5145元.求这种储蓄的年利率.准确到0.1%5如图12-3，ABC中，B=90°，点P从A点开场沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开场沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。1如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使ABQ的面积等于8cm²?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使PCQ的面积等于12.6cm²。1解：依题意，得：26-

15、x·2x=8解这个方程得：x1=2，x2=4即经过2s，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；经过4s，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处。故本小题有两解。2设经过x秒，点P移动到BC上，且有CP=14-xcm,点Q移动到CA上，且命名CQ=2x-8cm，过Q作QDCB于D。CQDCAB，QDAB6(2x- 8)=2x- 8，即QD=AC1。106(2x- 8)依题意，得：214-x·10=12.6，解这个方程得：x1=7，x2=11经过7s，点P在BC距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使SPCQ=12.6cm2经过11s，点P在BC距离

16、C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，140,点Q已超出CA范围，此解不存在。故此题只有一解。中考真题1.钟教师出示了小黑板上的题目(如图 122后，小敏答复：“方程有一根为 1，小聪答复：“方程有一根为2那么你认为A只有小敏答复正确B只有小聪答复正确C两人答复都正确D两人答复都不正确2.解一元二次方程x2x12=0，结果正确的选项是Ax1=4，x2=3Bx1=4，x2=3Cx1=4，x2=3Dx1=4，x2=33.方程x(x+ 3)= (x+ 3)解是Ax1=1Bx1=0，x2=3Cx1=1，x2=3Dx1=1，x2=34.假设t是一元二次方程ax2bx+c=0(a0的根，那么判别式

17、=b24ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是A=MBMCMD大小关系不能确定5.方程x2(x-1)= 0的根是A0B1C0，1D0，1126.一元二次方程x2 2x7=0的两个根为x，x，那么x1+x2的值为A2B2C7D727.x1、x2是方程x13x10的两个实数根，那么x1+ 1的值是()x21A、3B、3 C、3D、18.用换元法解方程(x2x)2(x2x)6时，如果设x2xy，那么原方程可变形为A、y2y60B、y2y60C、y2y60D、y2y609.方程x25x=0的根是A0B0，5C5，5D510.假设关于x的方程x22xk=0有实数根，那么Ak1，Bk1Ck1Dk11

18、211.如果一元二次方程x24x20的两个根是x，x，那么x1x2等于A.4B.4C.2D.212.用换元法解方程(x2x)x2-x6时，设x2-xy，那么原方程可化为A.y2 y60B.y2y60C.y2y60D.y2y60213.设x1，x2是方程2x+3x-2=0的两个根，那么x1x2的值是()22A-3B3CD3314.方程x3-x=0的解是A0，1B1，-1C0，-1D0，1，1( x )2- 5x+ 4= 0时，假设设x=y,那么原方程15.用换元法解方程x+ 1x+ 1x+1_16.两个数的和为6，差注意不是积为 8，以这两个数为根的一元二次方程是17.方程x2x=0的解是18.

19、等腰ABC中，BC=8，AB、BC的长是方程x210x+m=0的两根，那么m的值是.19.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，那么a的取值范围是_.20.解方程2x2-9x+5=x-321.解方程：x32x23x0.ìy=x+122.解方程组：íîx2+y2=523.解方程：2x12+5xl+2=024.解方程：x2 2x2=025.解方程：x2 +5x+3=026.关于x的一元二次方程x2- (k+ 1)x- 6= 0的一个根是2，求方程的另一根和k的值27.关于x的一元二次方程(k+ 4)x2+ 3x+ k2 + 3k- 4= 0的一个根为0

20、，求k的值中考预测题一、根基经典题(44分)(一)选择题(每题4分，共28分)【备考1】如果在1是方程x2+mx1=0的一个根，那么m的值为A2B3C1D2【备考2】方程2x(x- 3)= 5(x- 3)的解是Ax = 3B.x=5C.x= 3,x = 52122x2+ mx+ n= 0D.x = -3【备考3】假设n是方程的根，n0，那么m+n等于A7B6C1D1【备考4】关于x的方程x2+ mx+ n= 0的两根中只有一个等于0，那么以下条件中正确的选项是Am0，n0Bm0，n0Cm0，n = 0Dm0，n0【备考5】以526和5+26为根的一元二次方程是12Ax2-10x+ 1= 0Bx2 + 10x+ 1= 0Cx2 - 10x- 1= 0Dx2 + 10x- 1= 02【备考6】x1，x2是方程xx3=0的两根，那么x2+ x2值是49A1B5C7D、4【备考7】方程1x2 - (m- 3)x+ m2 = 04有两个不相等的实根，那么m的最大整数是A2B1C0Dl二填空题每题4分，共16分12【备考8】方程x23x+1=0的两个根为x，x那么1+x11+x2的值等于.【备考9】方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，那么P的值是.【备考10】如图，在AB