考研高数辅导(6)

1、 高等数学 第6章 常微分方程微分方程基本概念微分方程基本概念几种可降阶的高阶微分方程的解法几种可降阶的高阶微分方程的解法线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法微分方程的应用举例微分方程的应用举例综合练习综合练习常常微微分分方方程程几种一阶微分方程的解法几种一阶微分方程的解法1.1.微微分分方方程程分分方方程程. .若若未未知知函函数数是是多多元元函函数数（从从而而微微分分方方程程中中含含有有偏偏导导数数）则则称称为为偏偏微微分分方方程程，例例如如2222( , ).uuxyuu x yxy其其中中若若未未知知函函数数是是单单元元函函数数，就就

2、称称为为常常微微分分方方程程，22d2 ,.dsyxgt 如如等等等等本本课课程程只只讨讨论论常常微微分分方方程程，故故将将其其简简称称为为微微分分方方程程，甚甚至至方方程程. .含含有有未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的方方程程，称称为为微微一一、微微分分方方程程的的基基本本概概念念2.2.微微分分方方程程的的阶阶 微微分分方方程程中中未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数数的的阶阶数数，称称为为此此微微分分方方程程的的阶阶. .22dd2,ddssyxkgtt 例例如如是是一一阶阶微微分分方方程程，而而( )( , ,)0,nF x y y yy n是是二二阶阶微微分分方方程程.

3、 .一一个个阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形式式为为(1)( ), ,.nnx y y yyy 其其中中可可以以不不出出现现，但但必必须须出出现现3.3.微微分分方方程程的的解解( )yx若若将将函函数数代代入入微微分分方方程程后后, ,使使之之成成某某区区I间间 上上的的恒恒等等式式，即即( )( , ( ),( ),( )0,nF xxxxxI ，( )( )( , ,)0.nxF x y yyI则则称称在在 上上的的解解是是或或积积分分求求微微分分方方程程解解的的过过程程，叫叫做做解解微微分分方方程程，或或积积分分一一个个微微分分方方程程. .：若若微微分分方方程程的的解解中中所所含

4、含的的独独通通解解立立的的任任意意常常数数的的个个数数, ,等等于于该该微微分分方方程程的的阶阶数数, ,则则称称其其为为通通解解. .2212122yxCyxsgtC tC例例如如是是的的通通解解，22d.dsgt是是二二阶阶微微分分方方程程的的通通解解4.4.定定解解条条件件与与特特解解要要求求未未知知函函数数及及其其相相应应阶阶的的导导数数在在自自变变量量取取特特定定值值时时取取指指定定值值的的附附加加条条件件，称称为为定定解解条条件件. .满满足足定定解解条条件件的的解解，称称为为特特解解. .利利用用足足够够多多的的定定解解条条件件，可可定定出出通通解解中中的的任任意意常常数数，从从

5、而而得得到到特特解解. .一一般般地地，几几阶阶方方程程就就应应该该有有几几个个独独立立的的定定解解条条件件. .对对于于二二阶阶及及其其以以上上的的微微分分方方程程，如如果果定定解解条条件件给给出出的的是是自自变变量量在在同同一一特特定定值值处处的的函函数数值值和和导导数数值值，则则称称其其为为初初始始条条件件. . 此此外外, ,还还有有边边界界条条件件等等等等. .微微分分方方程程连连同同其其定定解解条条件件一一起起，合合称称为为一一个个. .若若定定解解条条件件为为初初始始条条件件，则则定定解解问问题题称称其其为为初初；若若为为边边界界条条件件，则则称称为为值值问问题题边边值值问问题题

6、. .本本课课程程只只讨讨论论初初值值问问题题. .一一阶阶微微分分方方程程初初值值问问题题通通常常表表示示为为00( , ),. xxyf x yyy 5.5.积积分分曲曲线线 微微分分方方程程的的解解的的图图形形，叫叫做做该该微微分分方方程程的的积积分分曲曲线线. .通通解解的的图图形形是是一一族族彼彼此此平平行行的的曲曲线线，特特解解的的图图形形是是曲曲线线族族中中，满满足足定定解解条条件件的的那那一一条条. . n 阶阶微微分分方方程程初初值值问问题题表表示示为为000( )(1)(1)(1)000( , ,), ,. nnnnxxxxxxyf x y yyyyyyyy121.1 co

7、ssinyCkxCkx例例验验证证是是微微分分方方程程20.yk y 的的通通解解122212212sincos, cossin cossin,ykCkxkCkxyk Ckxk CkxkCkxCkx 解解 1212cossincossin.CkxCkxCkxCkx代代入入微微分分方方程程，得得恒恒等等式式，即即此此微微分分方方程程的的解解. .又又因因为为这这个个解解中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数，故故是是其其通通解解200 , 1.2 .(0),(0)0 yk ykyA y例例求求初初值值问问题题的的解解121.1 cossinyCkxCkx解解 例例知知，是是通通解解，1

8、2(0),cossin;yACAyAkxCkx由由知知于于是是又又22sincos(0)0,0,yAkxkCkxyC 由由及及得得故故初初值值问问题题的的解解（即即满满足足初初始始条条件件的的特特解解）为为cos.yAkx二二、几几种种一一阶阶微微分分方方程程的的解解法法( , ,)0F x y yy假假设设一一阶阶微微分分方方程程中中的的 已已解解出出，( , ),yf x y 则则可可表表示示为为 d( , ),d( , )yP x yxQ x y 或或 ( , )d( , )d0.P x yxQ x yy亦亦可可写写成成对对称称形形式式1.1.可可分分离离变变量量方方程程d( ) ( )

9、 1dyxyx形形如如 xy的的微微分分方方程程，因因其其能能将将变变量量 和和 分分离离在在方方程程的的两两边边，而而称称为为可可分分离离变变量量的的方方程程. .d( )0(1)( )d( )yyxxy例例如如，当当时时， 可可化化为为 ， ( )d( )d0 2xyyx或或 dd( )0,( )0(2)( )( )yxxyyx 当当时时， 可可化化为为 . .分分离离变变量量后后，两两边边积积分分即即可可得得通通解解. .d2.12dyxyx例例 求求微微分分方方程程的的通通解解. .d02 d ,yyx xy 当当时时，方方程程化化为为 解解21ln, yxC两两边边积积分分得得 由由

10、此此得得 221111e e (e0),e e (e0).CCCCxxyy即即1e ,CCC 若若令令则则 可可为为任任意意常常数数，故故通通解解可可表表示示为为2e .xyC0y 显显然然，也也是是此此微微分分方方程程的的解解，称称为为奇奇解解，(0).C 不不过过它它已已包包含含在在通通解解之之中中了了的的情情况况( )0( )0 xy a) a)一一般般说说 来来，通通解解并并不不一一定定能能包包含含全全部部解解. .求求通通解解时时，可可以以不不考考虑虑因因或或而而丢丢掉掉的的解解( (即即奇奇解解) )，但但奇奇解解有有时时可可能能是是所所要要求求 注注的的特特解解. .lnln ,

11、yy b) b)今今后后将将就就写写成成只只是是 要要注注意意，由由( )1ln( )efxyC f xyCC得得时时， 也也可可以以取取非非正正实实数数.即即可可 c) c)微微分分方方程程的的解解可可以以是是一一个个隐隐 函函数数. . 2.2.齐齐次次方方程程d()dyyyfxxx 形形如如 特特点点：右右端端是是的的已已知知函函数数称称为为齐齐次次微微分分方方程程. .齐齐次次方方程程是是一一种种能能化化为为可可分分离离变变量量的的方方程程. .dd, ,.ddyuyxuuxxuxyx作作变变换换 即即于于是是代代入入原原方方程程，得得dd( )( ).dduuuxf uxf uuxx

12、，即即可可分分离离变变量量d2.2tan.dyyyxxx例例 求求的的通通解解dd, ,ddyyuuyxuuxxxx 于于是是解解令令即即，dtanduuxuux则则原原方方程程化化为为 ，dtan . duxux即即dd tanuxux分分离离变变量量，得得= =， lnsinlnln,uxC两两边边积积分分，得得 sinuCx化化简简得得， sinyCxx故故通通解解为为. .22dd2.3 .ddyyyxxyxx例例 求求的的通通解解2,x 这这是是一一个个齐齐次次方方程程，两两边边同同除除以以解解得得dd, ,ddyyuuyxuuxxxx令令即即于于是是，则则有有22dd,.dddd1

13、yyyyxxyxyxyxxx即即2dd,.d1d1uuuuuxxxuxu= =即即d11dxuux. .1lnln,uuxC11lnee .u CuuCuxuxC即即 ，e .yxyC故故原原方方程程的的通通解解为为3.3.可可化化齐齐次次方方 程程的的方方程程111222dda xb ycyfxa xb yc 形形如如 的的微微分分方方程程，可可化化为为齐齐次次方方程程. .120cc （1 1）当当时时, ,本本身身就就是是齐齐次次方方程程11221122.dda xb yfa xyabyxfxyabb yx , x y分分子子、分分母母中中的的都都是是分分式式的的一一次次的的！12,c

14、c （2 2）当当不不同同时时为为零零时时设设1122abab 1 1 若若1,m 则则方方程程可可写写为为111112d.da xb ycyfxm a xb yc 1111dd1,ddyva xb yvaxbx只只要要令令, ,则则原原方方程程化化为为11121d1dvcavfbxmvcb可可分分离离变变量量方方程程. .d12.4 .d221yxyxxy 例例 求求的的通通解解1d1 d22121xyyxyxxyxy 解解，dd ,1ddyvxyv yvxxx令令 ，则则有有d1d21,.d21d21vvvvxvxv 即即= =213dd2dd .22vvxvxvv， 23ln(2).vv

15、xCvxy将将代代入入，得得原原方方程程通通解解23ln(2).xyxyC1122abab 2 2 若若，则则线线性性方方程程组组1112220,0a xb yca xb yc00,.xxyy有有惟惟一一解解0000,().XxxxXxYyyyYy此此时时，令令即即作作平平移移变变换换00,xXxyYy将将代代入入原原方方程程，得得1122dda XbYYfXa Xb Y齐齐次次方方程程. .2.5 (431)d(1)d0.xyxxyy例例 求求的的通通解解d431 d1yxyxxy 原原方方程程可可写写为为 解解. .002, 43103.10 xxyyxy ，(1)(1)解解得得惟惟一一解

16、解2,3 xXyY作作变变换换则则方方程程化化为为43d43d1YYXYXXXYYX . .dd,ddYuYuYXuuXXXX(2)(2)令令即即方方程程化化为为d43.d1uuuXXu 221ddddd0,0.2(2)(2)uXuuXuXuXuu即即1111ln(2)ln,ln(2).22uXCXXuCuu1,ln(2).2YXuXYCXXY2,3,XxYy(3)(3)因因为为所所以以原原方方程程的的通通解解为为12ln(21),21xxyCxy122212121ee.xxCxyxyxyC 即即 4. .一一阶阶线线性性微微分分方方程程对对于于一一阶阶线线性性微微分分方方程程()1)(yp

17、x yQ x, , ( )d( )d. e( )e d p xxp xxyQ xxC通通常常是是直直接接套套用用通通解解公公式式套套用用公公式式时时必必须须注注意意两两点点：必必须须将将方方程程化化为为上上述述标标准准形形式式后后, ,确确认认e( )d .p xx括括号号外外 的的指指数数部部分分为为: : ( )?,( )?;p xQ x当当然然也也可可用用分分离离变变量量法法求求出出对对应应的的齐齐次次方方程程的的( )de,p xxYC通通解解再再用用 常常数数变变易易 法法得得到到的的通通解解.22.6 (sin )(cos )2 sin .x yx yxx例例 求求的的通通解解co

18、s 2 sin ,sinxyyxxx 原原方方程程可可化化为为 解解 cos( ),( )2 sin ,sinxp xQ xxxx coscosddsinsine2 sin edxxxxxxyxxxClnsinlnsine2 sin edxxxxxC1sin2 sindsinxxxxCx2sin ().x xC(2011)2.7ecosxyyx例例微微分分方方程程数数一一、二二1d1d eecos edxxxyCxx解解 e (cos d )e (sin ),xxCx xCx(0)00,yC由由得得故故所所求求特特解解为为esin .xyx (0)0_.yy满满足足条条件件的的解解为为esin

19、xx22.8 d(cos )d0 .y xxyyy求求的的通通解解例例 .yxy 这这既既不不能能分分离离变变量量，又又不不是是齐齐次次方方程程，对对未未知知函函数数 来来说说 将将 视视为为 解解的的函函，也也不不是是线线性性方方程程数数，它它. .若若则则是是线线性性的的但但11ddecos edyyyyxyyyClnlnecos edyyyyyCsin.y Cyd1cos ,dxxyyyy 原原方方程程可可化化 1( ),( )cos ,p yQ yyyy 22.9 (2012) d(3)d0y xxyy微微分分方方程程例例数数二二d1 3 .dxxyyy 方方程程可可写写 解解为为11

20、dde3 edyyyyxyyC1lnlne3 edyyyyC1( ),( )3 ,p yQ yyy11.xyy满满足足条条件件的的解解为为_23113().yCyCyy211,0,.xyCxyyx由由得得故故所所求求特特解解为为即即x5.BernoulliBernoulli方方程程Z就就化化为为( (关关于于 的的) )线线性性方方程程：d(1) ( )(1) ( ).dZn p x Zn Q xx(1)( )d(1)( )de(1) ( )ed.n p xxn p xxZn Q xxC其其通通解解为为 .代代回回原原变变量量，即即得得BernoulliBernoulli方方程程的的通通解解1

21、,nZy作作变变换换 则则BernoulliBernoulli方方程程( )( ) (0,1)nyp x yQ x yn 是是一一种种可可化化为为线线性性方方程程的的非非线线性性方方程程. .BernoulliBernoulli方方程程22.10 ln .yyyxx 例例求求的的通通解解2n 这这是是BernoulliBernoulli方方程程，此此处处解解 . .221d1, ln .dyyyyxxx同同除除以以得得1 212dd,ddyZZyyyxx 作作变变换换 则则有有dd11ln ,ln .ddZZZxZxxxxx 即即11dd1eln edxxxxZxxCy2lnlnd.2xxxx

22、Cx Cx2ln1.2xxy C 故故原原方方程程的的通通解解为为6. .全全微微分分方方程程( (仅仅数数一一) )( , )d( , )d0P x yxQ x yy形形如如 的的一一阶阶微微分分方方程程，若若其其左左端端是是某某个个二二元元函函数数( , ),uu x y的的全全微微分分 即即 d( , )d( , )d ,uP x yxQ x yy( , )d( , )d0.P x yxQ x yy则则称称为为全全微微分分方方程程7( , )d( , )d0P x yxQ x yy由由第第 章章可可知知, ,为为全全微微.QPyx分分方方程程的的充充要要条条件件是是d0,( , ),uu

23、 x yC这这就就是是全全微微分分方方程程的的通通解解. . ( , ).u x y故故求求全全微微分分方方程程通通解解的的关关键键在在于于求求原原函函数数6而而这这在在第第 章章就就已已经经解解决决了了: :(1);曲曲线线积积分分法法(2);不不定定积积分分法法(3).观观察察法法4232222.11(53)d(33)dxxyyxx yxyyy例例 求求 的的通通解解. . 42322253,33Pxxyy Qx yxyy 解解 263,dd0QPxyyP xQ yyx是是全全微微分分方方程程. .( , )423222(0,0)1 ( , )(53)d(33)dx yu x yxxyyx

24、x yxyyy 方方法法 42322200(53 00 )d(33)dxyxxxx yxyyy 5223331,23xx yxyy5223331.23xx yxyyC故故通通解解为为 2 ,uPx 方方法法423( , )( , )d(53)du x yP x yxxxyyx52233( ).2xx yxyy22222,33( )33,uQx yxyyx yxyyy又又即即231( ),( ).3yyyy即即于于是是352233( , ).23yu x yxx yxy352233.23yxx yxyC所所以以，方方程程的的通通解解为为423222(53)d(33)dxxyyxx yxyyy方方

25、法法3 3 4223225d3d3dd3ddxxxyxx y yyxxyyyy 22353d3ddd23x yyxxy223533d0,23x yyxxy223533 .23x yyxxyC故故通通解解为为222.12cos()3 d2 cos()3 d0 xyyxyxyxy例例 求求 的的通通解解. . 22cos()3 d2 cos()3 dxyyxyxyxy解解 22cos()d2 cos()d d3 dd xyxyxyyxy xx y 22dsin()3ddsin()30,xyxyxyxy2sin()3.xyxyC三三、几几种种可可降降阶阶的的高高阶阶微微分分方方程程的的解解法法( )

26、1( )nyf x. .型型(1)nPy作作变变换换即即可可将将其其化化为为一一阶阶微微分分方方程程( ).Pf x (1)1( )d.nyPf xxC积积分分得得,继继续续以以上上步步骤骤 最最终终得得通通解解. .n事事实实上上, ,只只需需连连积积分分 次次即即得得通通解解2( ,)yf x y. .型型这这类类二二阶阶微微分分方方程程的的特特点点是是：. y不不显显含含未未知知函函数数,yPyP设设则则于于是是原原方方程程化化为为( , ).Pf x P 一一阶阶方方程程,y然然后后按按一一阶阶方方程程求求解解可可得得再再积积分分即即可可得得通通解解. .( )(1)( ,)nnyf

27、x y型型微微分分方方程程（特特点点：未未知知 函函数数的的及及自自变变量量），也也可可用用这这仅仅含含相相邻邻两两阶阶导导数数种种 注注：方方法法降降阶阶. .200(1)2,3.1 1,3.xxxyxyyy例例求求解解 , ,yPyP令令则则解解原原方方程程化化为为2d(1)2.dPxxPx2d2 d,(1)Px xPx分分离离变变量量，得得 21lnln(1)ln.PxC两两边边积积分分，得得 于于是是21(1).yPCx 2103,3,3(1).xyCyx由由得得即即323.yxxC再再积积分分得得32011,31.xyCyxx 由由得得000, 3.2 0,0,0.xxxyyyyy例

28、例求求解解 , ,.yPyPPP令令则则原原方方程程化化为为解解211dd ,2,.4xCPxPxCPP231200,=0.,412xxxyCyPyC由由得得，故故于于是是3200,=0.12xxyCy由由得得04 0.48xyxy 3( ,)yf y y. .型型这这类类二二阶阶微微分分方方程程的的特特点点是是：. x不不显显含含自自变变量量d,ddd,ddyPyPPyyyPx设设则则方方程程化化为为d( , ).dPPf y PyyP这这是是以以 为为自自变变量量、 为为未未知知函函数数的的一一阶阶方方程程. .23.3 20.yyy例例求求解解微微分分方方程程 d,d PyPyPy令令则

29、则解解原原方方程程化化为为2d20.dPyPPydd2,yPPy 分分离离变变量量得得21lnlnln,PyC两两边边积积分分得得于于是是12.CyPy 21dd ,yyC x分分离离变变量量得得 312.3yC xC两两边边积积分分得得 312.yC xC故故通通解解为为 23.4 1.yy例例求求解解微微分分方方程程 . , yx方方程程既既不不显显含含 也也不不显显含含 一一般般说说解解来来, ,按按不不.,yyPyP显显含含 处处理理较较简简单单令令则则，于于是是有有21.PP 112dd ,arctan,tan().1PxPxCyPxCP即即12tan()dyxCxC12ln cos

30、().xCC 3.5 ( ),2011)y x例例设设有有连连续续的的二二阶阶二二导导数数数数且且tan, arctan,yy于于解解 由由所所以以 2d.d1yxy22,(1).1yyyyyy于于是是有有即即得得二二阶阶方方程程 又又由由2,(1).yPyPPPP令令则则故故方方程程为为:( ).l yy xyxl曲曲线线与与直直线线相相切切于于原原点点记记 为为曲曲线线 在在dd( , ),( ).ddyx yy xxx点点处处切切线线的的倾倾角角, ,若若求求的的表表达达式式(0)0,(0)1.yy题题设设得得初初始始条条件件2dd ,(1)PxPP分分离离变变量量得得 即即221ln2

31、ln,1PxCP两两边边积积分分得得 即即22d2 d2d .1PP PxPP 2221e .1xPCP222111(0)(0)1,e .221xPPyCP由由得得于于是是由由此此解解得得21e2.11e2xxPy2earcsin.2xyC两两边边再再积积分分得得 2(0)0,4yC 由由得得故故earcsin.42xy 四四、线线性性微微分分方方程程解解的的结结构构1. n 阶阶线线性性微微分分方方程程( )(1)11( )( )( )( ), 1nnnnyp x ypx yp x yf x12( ),( ),( )( ).np xp xp xf xx其其中中及及都都是是 的的已已知知连连续

32、续函函数数( )0f x 当当时时, ,是是齐齐自自由由项项次次方方程程：( )(1)11( )( )( )0, 2nnnnyp x ypx yp x y121否否则则就就是是非非齐齐次次方方程程. .并并将将称称为为所所对对应应的的齐齐次次方方程程. .( )(1,2, )1 21 iip xpinnn 当当为为常常数数时时, ,称称为为阶阶线线性性常常系系数数非非齐齐次次微微分分方方程程，是是所所对对应应的的阶阶线线性性常常系系数数齐齐次次微微分分方方程程. .2. .线线性性齐齐次次微微分分方方程程解解的的结结构构 ( )( )0, 3yp x yq x y以以为为例例加加以以叙叙述述.

33、 .解解的的叠叠加加性性质质12121122 3, 43y yC CC yC y 若若 , , 是是二二阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的任任意意两两个个解解, ,则则对对任任意意常常数数也也是是的的解解. .解解的的线线性性组组合合还还是是解解！n所所有有结结论论对对 阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程成成立立. .43 注注意意，不不一一定定是是的的通通解解！线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解11221221 3, 53yC yC yy yC C 若若 , , 是是二二阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的两两个个的的解解, ,则则对对任任意意常常数数就就是是的的线线无

34、无关关. .性性通通解解非非齐齐次次方方程程与与对对应应的的齐齐次次方方程程的的解解之之间间关关系系1212,y yyy 若若是是线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程的的两两个个解解，则则是是对对应应的的齐齐次次微微分分方方程程的的解解. .( )( )( ). 6yp x yq x yf x设设 3.3.线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程解解的的结结构构11221122 .yYC yC yCyC yyyYy 设设 是是线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程的的某某个个特特解解，是是对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解，则则是是线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解4.4.线线性

35、性非非齐齐次次微微分分方方程程解解的的叠叠加加原原理理12112212 ( )( )( )( ), ( )( )( ) ( )( )( ) .yp x yq x yf xfxyyp x yq x yf xyyp x yq x yfxyy 设设有有线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程若若是是 的的解解, , 是是 的的解解, ,则则是是的的解解24.1,e ,exxx例例 设设是是二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程( )( )( ) yp x yq x yf x的的三三个个特特解解，试试求求初初值值问问题题( )( )( ) (0)1,(0)3 yp x yq x yf xyy，的的解解. .

36、2e,exxxx 是是 解解齐齐次次方方程程程程的的通通解解为为( )( )0yp x yq x y 的的两两个个解解，且且易易知知它它们们线线性性无无关关，于于是是齐齐次次方方212 eexxYCxCx，212 ee.xxyYyCxCxx212 e12e11,xxyCC 121221,1,(0)1,13. 2.(0)3CCCyCCy 由由得得解解得得故故初初值值问问题题的的解解为为2 2ee .xxy 所所以以非非齐齐次次方方程程的的通通解解为为322122014.2 ()ee ,ee ,3xxxxyxyx数数例例设设一一 23e3,xyx 是是某某二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性方

37、方程程的的 个个解解 则则该该31323eexxyyyy 显显然然与与是是对对应应的的 解解齐齐次次方方程程3212eee .xxxyCCx故故该该方方程程的的通通解解,的的两两个个线线性性无无关关的的解解_.y 方方程程的的通通解解00()0,1_.2013xxyyy满满足足条条件件的的解解数数二二3212eeexxxCCx121200120, 0,11,1,32,xxCCyyCCCC 由由得得解解得得又又32eee .xxxyx故故该该方方程程满满足足条条件件的的特特解解32eeexxxx五五、常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的解解法法 包包括括解解常常系系数数线线性性齐齐次次微微分

38、分方方程程的的“特特征征根根法法”和和解解常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程的的“待待定定系系数数法法”，都都是是“代代数数方方法法”. . 我我们们仍仍以以二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程为为例例进进行行叙叙述述，其其方方法法对对于于高高阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程也也是是适适用用的的. .1 . .常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分 方方程程的的通通解解常常系系数数线线性性微微分分方方程程0 1ypyqy的的特特征征方方程程为为20. 2rprq21,24.2ppqr特特征征根根为为 二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解

39、12121,r rrrR,两两个个不不且且即即等等的的实实根根 时时 122 rrrR两两个个相相等等即即的的实实根根 时时 1 2i ()3 r，一一对对共共轭轭复复根根即即时时1212ee.r xr xCyC0ypyq 的的通通解解12e .rxCC xy0ypyq 的的通通解解0ypyq 的的通通解解12eco.ssinxyCxCxn 阶阶线线性性常常系系数数齐齐次次微微分分方方程程的的“特特征征根根法法”n阶阶线线性性常常系系数数齐齐次次微微分分方方程程( )(1)110 nnnnyp ypyp y也也可可以以用用“特特征征根根法法”求求通通解解. .1110 nnnnrprp rp设

40、设其其特特征征方方程程12 , , , . innr rrr的的 个个根根为为 n 阶阶齐齐次次方方程程的的通通解解与与特特征征根根的的对对应应关关系系如如下下：(1)r单单实实若若 是是特特征征方方程程的的时时，给给出出方方程程根根通通e ;rxC解解一一项项中中的的(2)ir对对单单若若是是一一时时, ,给给出出方方重重复复根根程程12ecossin;xCxCx通通解解中中的的两两项项(3)kr重重若若 是是特特征征方方程程的的时时，给给出出方方实实根根程程112e;rxkkCC xCkx项项通通解解中中的的(4)ikr对对 重重复复若若是是一一时时, ,给给根根出出方方程程112112e

41、cos si2n.xkkkkCC xC xxDD xD xxk通通解解中中的的项项 (5)(4)5.1 220.yyyyyy例例求求的的通通解解543242221234512345 2210, 121(1)(1)(1)0.1,i,i. e()cossin .xrrrrrrrrrrrrrrrrryCCC xxCC xx 故故通通解解为为 解解1() 0_.42013yyyy数数三三 求求的的通通解解1212exCC x 2. 2.常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方 程程的的解解法法已已知知( ) ypyqyf x的的通通解解为为,yYyYy其其中中 是是对对应应的的齐齐次次方方程程的的

42、通通解解，已已经经会会求求了了，只只需需求求自自身身的的某某个个特特解解 即即可可. .然然而而, ,在在一一般般情情况况下下，这这也也是是不不容容易易的的事事. .( )f x但但当当时时为为下下面面两两种种情情况况时时，却却是是比比较较容容易易的的，而而且且只只需需用用“代代数数方方法法”待待定定系系数数法法. .( )( )e ( )xnnf xP xP xn 为为 次次多多项项式式( )e , xnypyqyP x对对于于 可可设设其其一一个个特特解解为为 .( )ekxnyx Q x( )nQ xn其其中中，是是待待定定的的 次次完完整整多多项项式式：0, 1,2, k当当 不不是是

43、特特征征根根，而而 当当 是是特特征征方方程程的的单单根根，当当 是是2 2重重特特征征根根; ;.k等等于于 为为特特征征根根的的重重数数即即1011( );nnnnnQ xa xa xaxa5exx 将将其其代代入入方方程程, ,同同除除以以后后，比比较较两两边边n此此结结论论对对 阶阶线线性性常常系系数数非非齐齐次次方方程程也也成成立立. .01,.na aay的的同同次次幂幂的的系系数数, ,即即可可定定出出从从而而求求出出0( )( ) ( )e0;xnnf xP xP x 注注:,:,即即视视为为( )e =1 e( ).xxnf xP x , ,即即是是一一个个零零次次多多项项式

44、式y以以上上求求 的的方方法法称称为为“待待定定系系数数法法”. .5.2 2e.xyyyx例例求求的的通通解解 (1):Y解解求求212210,1,rrrr 于于是是12e .xYCC x(2):y求求12,是是 重重特特征征根根设设3232()e ,(32 )2e ,xxyaxbxyaxab xbx将将32(6)(64 )2exyaxab xab xb代代入入原原方方162,0.6axbxab程程得得解解得得2.()exyx axb于于是是31e .6xyx(3):y求求212ee .6xxxyYyCC x( )e( )cos( )sin xlmf xP xxP xx e( )cos( )

45、sin xlmypyqyP xxP xx( )( ), lmP xlP xm R)（为为 次次、为为 次次多多项项式式， 对对于于非非齐齐次次方方程程其其特特解解的的形形式式：e( )cos( )sin,kxnnyxR xxT xx( )( )max , .nnR xT xnnl m其其中中和和都都是是 次次完完整整多多项项式式, ,而而必必须须注注意意以以下下三三点点：max , ,( )( );nnnl mR xT x22和和应应是是完完整整的的ik1 1 是是为为特特征征根根的的重重数数, ,且且对对高高阶阶成成立立; ;( )cossin,f xxx3 3 当当只只含含或或只只含含时时

46、 也也必必须须设设e( )cos( )sin.sxnnyxR xxT xx5.3 2sinyyyxx例例求求的的通通解解. .212(1)210,1,rrrr 解解 (2)ii不不是是特特征征根根， 设设+cossin .yAx BxCxDx()cos()sin ,yADCxxCBAxx(2)cos( 2)sin ,yCBAxxCDCxx 12e ().xYCC x代代入入原原方方程程，得得(2222)cos ( 2222)sinsin .ACDCxxCBDAxxxx cossinxx比比较较两两边边和和的的系系数数，得得222020, 111,0,. 2222220,21. ACDCABCD

47、CBDA ，11cossin .22xyxx即即1211(3)ecossin .22xxyYyCC xxx5.4 210e cos3xyyyxxy 例例写写出出的的特特解解 的的形形式式. .21,22440 2100,1 3i.2rrr 解解i1 3i 因因为为是是单单特特征征根根, ,所所以以设设e()cos3()sin3.xyxaxbxcxdx225.5 ee(0)(ee) (ee)( ee) ( e(2011e)xxxxxxxxxxyyaaxx abx ab 例例微微分分方方程程的的特特解解形形式式为为( ( ) ). . ( (A A) )( (B B) ) ( (C C) )( (

48、D D 二二) )数数2121 ,exyyyyyy记记特特解解为为 解解其其中中 是是220,r 由由特特征征方方程程知知与与都都22,e.xyyy的的特特解解是是的的特特解解12,e ,e,xxyxayxb是是单单实实根根 故故故故12( ee).xxyyyx ab C.选选C3.EulerEuler方方程程的的解解法法( )1(1)11( ) nnnnnnx yp xypxyp yf x 形形如如 n的的变变系系数数线线性性微微分分方方程程，称称为为( ( 阶阶)Euler)Euler方方程程. .解解法法化化为为常常系系数数线线性性 微微分分方方程程eln ,8txttx 若若令令, ,

49、即即则则化化为为以以 为为自自变变量量、y以以 为为未未知知函函数数的的常常系系数数线线性性微微分分方方程程. .yx其其特特点点是是： 的的几几阶阶导导数数前前, ,乘乘上上 的的几几次次方方eln ,txtx 令令，即即则则dddd1dd ddyyytxtxxt ，22222dddddd111ddddddyyyytxxttxxxxt 222dd1,ddyytxt32322dddd1ddddyyyxtxxt 32332ddd132,dddyyytxtt d,dtDt 若若引引进进微微分分算算子子则则有有,xyDy 22,(1)D yDx yD Dyy33232(1)(2,)D yD yDxy

50、yD DDy ( )(1)(2)(1) .nnx yD DDDnyt于于是是就就化化为为以以 为为自自变变量量的的常常系系数数线线性性方方程程：11(1)(2)(1) (1)(2) (e )( ).tnnD DDDnyp D DDnypDyp yft记记为为,lnytx求求出出其其解解 再再以以代代入入即即得得原原方方程程的的解解. .25.6 22 lnx yyxx例例求求的的通通解解. .222 (1)Euler. e ,ln , (1)22 e ,22 e ,dd 22 e (*)ddttttxtxD DyytD yDyytyyyttt这这是是2 2阶阶方方程程令令即即得得即即解解212

51、212(2) 20,1,2,ee .ttrrrrYCC 特特征征方方程程为为 (3)1()e .()e , (2)e . 222 ,111,e .22ttttyatbyatabyatabatabtabyt 不不是是特特征征根根， 设设则则代代入入方方程程( (* *) ), ,并并整整理理得得于于是是得得即即2122121(4) eee .2 e,ln ,1ln.2ttttyYyCCtx txCyC xxxx六六、微微分分方方程程的的应应用用举举例例用用微微分分方方程程解解决决实实际际问问题题的的一一般般步步骤骤: : （1 1）在在适适当当的的坐坐标标系系下下，设设出出未未知知函函数数，写写

52、出出相相关关的的已已知知函函数数； （2 2）根根据据几几何何、物物理理等等的的规规律律，建建立立微微分分方方程程； （3 3）写写出出定定解解条条件件； （4 4）求求解解定定解解问问题题；（5 5 ）检检验验. .1.求求曲曲线线的的方方程程6.1 ( , )(0)LP x y x 例例设设平平面面曲曲线线 上上任任意意一一点点POy到到原原点点的的距距离离, ,恒恒等等于于 点点的的切切线线在在轴轴上上的的截截1,0 ,.2LL距距, ,且且 过过点点求求 的的方方程程 :( )( , )L yy xP x y在在点点解解的的切切线线方方程程为为().Yyy Xx0,.XOybyxy令令

53、得得切切线线在在轴轴上上的的截截距距,由由题题设设 得得22,0,xyyxy x2221.yyyxxxyyx 即即 ,yuyxux令令则则原原方方程程化化为为22dd1,1.dduuuxuuxuxx 即即2dd,1uxxu 分分离离变变量量得得积积分分得得222ln1lnln ,.uuCxyCxy于于是是 111,0,0,222LyC又又即即即即221.2yxy21:,0.4L yxx化化简简得得 6.2, L例例在在上上半半平平面面内内求求一一条条凹凹曲曲线线使使其其上上( , )P x yLPPQ任任一一点点处处的的曲曲率率等等于于 在在 点点的的法法线线段段长长(1,1)QOxL度度的的

54、倒倒数数( ( 是是法法线线与与轴轴的的交交点点),),且且 在在点点.Ox处处的的切切线线与与轴轴平平行行oyx(1,1)PQ:( )( , )L yy xP x y在在点点解解 处处的的法法线线方方程程为为1(),(0,0).YyXxyyy 0(,0).YOxQ xyy令令得得法法线线与与轴轴的的交交点点于是222()(0)1.PQxyyxyyy由由题题设设, ,得得定定解解问问题题231222211111,1, 111,0.1,0, xxxxyyyyyyyyyyy即即d,dpypypy令令则则代代入入原原方方程程得得2d1.dpyppy2dd=,1p pyyp分分离离变变量量得得积积分分

55、得得22111ln(1)=lnln,1.2pyCC yp即即由由初初始始条条件件得得2211,1,1.Cypyy 于于是是由由此此得得分分离离变变量量得得2dd .1yxy 积积分分得得22ln(1).yyxC 2(1)211,1,1e.xxyCyy 由由得得于于是是2(1)211e,1xyyyy 而而 - -+ +2两两式式相相加加、除除以以 得得(1)(1)1(1)eeee.22xxxxy1(1)ee:ch(1).2xxL yx故故 （悬悬链链线线）2.求求函函数数的的表表达达式式6.3 ( ),x例例设设函函数数连连续续 且且满满足足关关系系式式0( )e() ( )d ,xxxtxtt

56、( ).x求求的的表表达达式式0 ( )e() ( )d,xxxtxtt是是“积积分分方方程程”解解.我我们们需需将将其其化化为为微微分分方方程程来来求求解解x为为此此, ,两两边边对对 求求导导0000( )e( )d( )d e( )( )d( ) e( )d ,xxxxxxxxtttxttxxttxxtt,x为为消消除除积积分分 两两边边再再对对 求求导导 得得(0)1,(0)1,另另外外, ,易易知知于于是是得得定定解解问问题题( )e( ),( )+ ( )e .xxxxxx即即( )+ ( )e ,(0)1,(0)1.xxx21,21210icossin .rrCxCx 1,e .

57、,xA不不是是特特征征根根设设代代入入微微分分方方程程 得得11eee ,=e22xxxxAAA从从而而, ,即即，故故通通解解为为121( )cossine .2xxCxCx1211(0)1,(0)1,22CC由由可可定定出出所所以以1( )cossine.2xxxx22222 6.4 () ( ),(e cos )(4e cos )e .(0)0,(0)0,(014).2xxxf uzfyzzzyxyfff u例例设设函函数数具具有有二二阶阶连连续续导导数数满满足足 数数一一、二二、三三 若若求求的的表表达达式式 e cos ,e cos( ),e sin( ).xxxzzuyyf uyf

58、 uxy 设设则则解解 2222e cos( )ecos( ),xxzyf uyfux2222e cos( )esin( ).xxzyf uyfux 222222e( )(4e cos )e ,( )4 ( ).xxxzzfuzyfuf uuxy即即2221,21240,2,( )ee .uurrf uCC 0,( ).fuAuB不不是是特特征征根根 故故设设将将其其代代入入得得44.AuBu1,0,( ).44uABfu 由由此此得得即即故故2212( )( )( )ee.4uuuf uf ufuCC12120, (0)0,(0)0,122.4CCffCC又又由由得得1211,.1616CC

59、 2211( )ee1,6164.uuuf u 所所以以6.5( )0)0,(0)1,f xff 例例设设有有二二阶阶连连续续导导数数, ,（2()( )d( )d0 xy xyf x yxfxx yy且且是是全全微微,( )f x分分方方程程 求求及及此此全全微微分分方方程程的的通通解解. . QPxy由由全全微微分分方方程程的的充充要要条条件件解解, ,有有22( )22( ),( )( ). ( )fxxyxxyf xfxf xx即即21,21210,i,( )cossin .rrf xCxCx 20,( ).fxaxbxc不不是是特特征征根根设设21,0,2,( )2.abcfxx 将

60、将其其代代入入( ( ) ), ,可可得得即即212( )( )cossin2.f xCxCxx故故的的通通解解为为 120)0,(0)1,2,1,ffCC由由（得得于于是是2( )2cossin2.f xxxx此此全全微微分分方方程程为为22(2cossin )2d 2sincos2d0.xyxx yyxxxxx yy 200( , )0d( 2sincos2)dxyu x yxxxxx yy2212 sincos2,2yxyxxyx y 故故全全微微分分方方程程的的通通解解为为221cos2 sin2.2yxyxxyx yC6.6 0 x 例例设设对对于于半半空空间间内内任任意意的的光光滑