高数下册复习

1、2022-7-5微积分20121微积分（下）复习微积分（下）复习2022-7-5微积分20122可分离变量可分离变量方程方程可降阶可降阶方程方程齐次方程齐次方程一阶线性一阶线性微分方程微分方程二阶线性常系数二阶线性常系数微分方程微分方程微分方程微分方程应用应用(导数的几何、物理意义导数的几何、物理意义，微元法微元法, , 牛顿第二定律牛顿第二定律, , 质量守恒定律质量守恒定律)全微分全微分方程方程一阶一阶二阶二阶伯努利方程伯努利方程常微分方程常微分方程2022-7-5微积分20123Fourier级数级数:给定周期函数会把它给定周期函数会把它展开展开成成Fourier级数，级数，并会用并会用

2、DirichletDirichlet收敛定理收敛定理求求Fourier级数的和函数级数的和函数幂级数幂级数: 给定幂级数会求其给定幂级数会求其收敛半径收敛半径, ,收敛区域收敛区域, , 以及以及和函数和函数; ; 给定一个初等函数给定一个初等函数, ,会用间接法求会用间接法求其幂级数其幂级数展开展开式式. .数项级数：数项级数：给定任意项级数会判别其给定任意项级数会判别其敛散性敛散性，条件条件收敛还是收敛还是绝对绝对收敛收敛 ，收敛时会，收敛时会求和求和. .级数级数2022-7-5微积分20124多元积分学多元积分学1. 重积分（概念、计算、应用）重积分（概念、计算、应用）2. 曲线积分（

3、概念、计算、应用曲线积分（概念、计算、应用)3. 曲面积分（概念、计算、应用）曲面积分（概念、计算、应用）重点：重点：计算计算2022-7-5微积分201251.1.重积分概念重积分概念2022-7-5微积分201261.利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分二重积分计算二重积分计算2022-7-5微积分20127D：, bxa ).()(21xyx xOy)(1xy )(2xy DbaX型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf

4、 2022-7-5微积分20128.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy D)(2yx cd)(1yx xOyxOyD)(2yx cd)(1yx Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.D：2022-7-5微积分20129AoDi.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 2. 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 rdrdddxdy 面积元素面积元素2022-7-5微积分201210.)sin,cos()()(21

5、 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）, ).()(21 r区域区域D的特点：从极点的特点：从极点O出发且穿过闭区域出发且穿过闭区域D内部内部的射线与的射线与D的边界曲线相交不多于两点的边界曲线相交不多于两点.D：2022-7-5微积分201211AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(D：2022-7-5微积分201212 Drdrdrrf )sin,cos(.)

6、sin,cos()(020 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）).(0 rDoA)(r,2 0D：2022-7-5微积分201213利用对称性化简二重积分计算利用对称性化简二重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域有关于坐标轴的对称性；、积分区域有关于坐标轴的对称性；、被积函数在积分区域上有相应的、被积函数在积分区域上有相应的奇偶性奇偶性2022-7-5微积分201214 10dy 22yy y dxyxf),(1xyo2022-7-5微积分201215a2oyx 20sin202)( ardrrfdayyx222 2022-7-5微

7、积分201216o24 dyxyxD 4:222214 dyxyxD 164 :22222)4( 20220)4(rdrrd 42220)4(rdrrd 80 2022-7-5微积分201217解解oxy121D2022-7-5微积分201218 yxyxxyDDDddsincos321 2D3DyxyxDDddsincos21 1DyxyxDddsincos21 dxyxdyy 010sincos2 102sin2ydy1sin211 2022-7-5微积分2012190y x2412 22sin21yydxyxdy 212)2cos2(dyyyyxy 21)2cos2(dyyy 2122s

8、in)4(ydy 3)2(4 2022-7-5微积分201220一、利用直角坐标系计算三重积分一、利用直角坐标系计算三重积分三重积分计算三重积分计算2022-7-5微积分201221上边界曲面（上边界曲面（上顶上顶）xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx dvzyxf),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf 下边界曲面（下边界曲面（下底下底）xOy 坐标面上的坐标面上的投影区域投影区域 “先一后二先一后二”（一）先投影，再确定上、下面（一）先投影，再确定上、下面2022-7-5微积分201222 x0z yc1c2 d21ccz ()

9、d dzDf x, y,zx y .zDz （二）（二）截面法截面法zyxzyxfIddd ),( zDyxczczyx ),( ,| ),(21c1, c2: 向向 z 轴的投影区间轴的投影区间 Dz : 过过 z c1, c2且垂于且垂于z轴轴的平面截的平面截 得到的截面得到的截面 2022-7-5微积分2012230 xz yM(x, y, z)M(r, , z)zrP(x, y, 0) cosrx xyz sinry 柱面坐标柱面坐标 M(x, y, z) M(r, , z) z = z. 二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分2022-7-5微积分201224xz

10、y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd dz ),sin,cos(zrrf dV =zrrddd .柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd),( dVzrrddd 2022-7-5微积分2012250 xz yM(x, y, z)M(r, , )r Pyxz. cos sinrx sin sinry cosrz .球面坐标球面坐标 三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分2022-7-5微积分201226r drd xz y0 d rd rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd ),( r 2sin drd

11、 d dVdV = dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf 2022-7-5微积分201227利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性2022-7-5微积分201228dVzxyzxydvzyx)222()(222 adrrrdd022200sin 455a =02022-7-5微积分201229xyzodzzrrfrdrdr 201002),sin,cos( 01

12、:22zyxD投影域投影域D2022-7-5微积分201230z 0 xy1drrrdd 2020cos02sin10 2022-7-5微积分201231( (一一) )几何应用几何应用 DD d空间立体体积：空间立体体积：平面区域的面积：平面区域的面积： zyxVddd重积分应用重积分应用曲面面积：曲面面积： xyDyxffdSS d122(二二) 物理应用：物理应用：质质( (重重) )心、转动惯量、引力心、转动惯量、引力2022-7-5微积分201232 d),(yxMAd xyzo Sd d2211cosyxff d1d22yxffS cosd A xyDyxffS d122)1 ,(

13、yxffn ),(:yxfz n MAdz dn 曲面面积曲面面积曲面曲面 的面积的面积元素元素 曲面曲面 的面积的面积公式公式 2022-7-5微积分201233 0424222zattyxxoy面上投影面上投影交线在交线在 22222222)( :Ltazyxazyx交线交线2022-7-5微积分201234 xyDyxyxtyxdd122222att322 面积面积dxdyzztSxyDyx 221)(极坐标极坐标 242402220attrdrrttd atttS234)( 0 at34 驻点驻点22732)34(Saa 222yxtaz 2022-7-5微积分201235Oexyln

14、 1t dtxtID2)()( dytxdxex21ln0)( x9122)1(322 etet.412最小最小时，时，当当Iet 2022-7-5微积分201236曲线、曲面积分曲线、曲面积分2022-7-5微积分201237基本内容基本内容第一第二类曲线积分的定义与计算第一第二类曲线积分的定义与计算第一第二类曲面积分的定义与计算第一第二类曲面积分的定义与计算场论初步场论初步重点内容重点内容格林公式格林公式曲线积分与路径无关的四个等价命题曲线积分与路径无关的四个等价命题Gauss公式公式， Stocks公式公式2022-7-5微积分201238 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的

15、曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiisf10),(lim LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),()( dtQPQdyPdxL),(),(与方向有关与方向有关 Ldsyxf),(2022-7-5微积分201239Green公式公式2022-7-5微积分201240与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个

16、命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题2022-7-5微积分201241 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联系系计计 算算 RdxdyQdzdxPdydz dSRQP)coscoscos( 一投一投,二代二代,三换三换 dszyxf)

17、,( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),(一投一投,二代二代,三定号三定号 xyDdxdyyxzyxR),(,2022-7-5微积分201242第一类曲面积分第一类曲面积分 dSzyxf),(物理意义物理意义: 曲面的面密度为曲面的面密度为 f(x, y, z), 曲面的质量曲面的质量.;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(xyDyxyxzz ),(),(:若若曲曲面面则则一投一投, 二代二代, 三换三换计算方法计算方法:2022-7-5微积分201243第二类曲面积分第二类曲面积分dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzy

18、xP),(),(),( 物理意义物理意义: 单位时间内通过单位时间内通过 并流向指定一侧的流并流向指定一侧的流体的质量体的质量, 即即通量通量.2022-7-5微积分201244计算方法计算方法:,),(),(:xyDyxyxzz xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(1. 直接投影法直接投影法下侧下侧一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号上式右端的符号当上式右端的符号当 取上侧时为正取上侧时为正, 取下侧时为负取下侧时为负2022-7-5微积分2012452. 合一投影法合一投影法如果如果 的方程为的方程为 z=z(x, y), (x, y) Dxy (Dxy 是是 在

19、在xOy面上的投影区域面上的投影区域), 函数函数P, Q, R在在 上连续上连续, 则则dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( d)1 ,(),(),(yxzzyDxzzRQPxy 积分号前的符号当积分号前的符号当 取上侧时为正取上侧时为正, 取下侧时为负取下侧时为负.2022-7-5微积分2012463. Gauss公式公式其其中中 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧. .2022-7-5微积分201247定理定理 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线, , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, ,

20、的正向与的正向与 的侧符合右手规则的侧符合右手规则, , 函数函数),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内具在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz2022-7-5微积分201248梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度场论初步

21、场论初步2022-7-5微积分201249 C2222ds)43(2, a, 134C. 1yxyx则则其周长为其周长为：设设14a zyyx)dxxxy(dz则则设设,d)3(32. 2222Cyxyx 3322022-7-5微积分201250 .0:,)( :22222zyxRzyxCdsyzIC其中其中计算计算例例 CCdsyzdsI21：解解轮换对称性轮换对称性数数由由积积分分曲曲线线化化简简被被积积函函.322332RRR CCdszyxdszyx)(31)31222（ CdsR23102022-7-5微积分201251化化为为参参数数方方程程。将将解解C2 .0:2222zyxRzyxC,243)2(222Ryyxz 得得消去消去 :CtRysin62 tRtRxsin6cos2 .20 ttRtRzsin6cos2 2022-7-5微积分201252七七.计算计算.3z1z,)1(24)18(222所所截截下下部部分分的的下下侧侧被被平平面面是是曲曲面面其其