数学《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修)

1、单调性的定义单调性的定义对于函数对于函数yf(x)在某个区间上单调递增或在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的在这个区间上的单调性单调性，这个区间叫做，这个区间叫做f(x)的的单调区间单调区间。一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数 1.图像法图像法:函数函数y=x24x3的图象的图象2yx0递增区间：（，递增

2、区间：（，+）. .递减区间：递减区间：( (，).).如何确定函数如何确定函数y=x24x3的单调性？的单调性？(2)(2)作差作差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )，并，并变形变形. .由定义证明函数的单调性的一般步骤：由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)(1)设设x x1 1、x x2 2是给定区间的任意两个值，是给定区间的任意两个值，且且x x1 1 x0，如果如果f(x)0，那么函数那么函数y=f(x)在这个区间内单调在这个区间内单调 递增递增.那么函数那么函数y=f(x)在这个区间内单调在这个区间内单调 递减递减.1.如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f(x

3、)0，那么函数，那么函数f(x) 有什么特性？有什么特性？1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？系？xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.( )yf x 结论：在某个区间结论：在某个区间( (a a, ,b b) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增; ; 如果如果 ,

4、,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减. .( )0fx ( )0fx ( )yf x 如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f f (x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数a b( , )在在某某个个区区间间内内, ,fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减注意：注意：应正确理解应正确理解 “ 某个区间某个区间 ” 的含义的含义,它它必是定义域内的某个区间。必是定义域内的某个区间。已知导函数已知导函数f(x)下列信息：下列信息：当当1x0;当当x4,或或

5、x1时，时，f(x)0，解集在定义域内的部分，解集在定义域内的部分 为增区间；为增区间；（4）解不等式）解不等式f(x)0, x0, f f(x)=x(x)=xlnx+x(lnx)lnx+x(lnx)=lnx+1.=lnx+1.当当lnx+10lnx+10时，解得时，解得x1/e.x1/e.则则f(x)f(x)的的单增区间是单增区间是(1/e,+).(1/e,+).当当lnx+10lnx+10时，解得时，解得0 x1/e.0 x0时时,解得解得 x0.则函数的单增区间为则函数的单增区间为(0,+). 当当ex-10时时,解得解得x0在（0， 1上恒成立）注：注： 在某个区间上，在某个区间上，

6、，f（x）在）在这个区间上单调递增（递减）；这个区间上单调递增（递减）； 但由但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到）而仅仅得到 是不够的。还有是不够的。还有可能导数等于可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f x( )0(或0(或0)本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：maxminmf( )恒成立( )( )恒成立( )xmf xmf xmf x320f xax - xxaf xa练习2已知函数 ( )=，(0, 1,若 ( )在（

7、0， 1上是增函数，求 的取值范围。,3)232f xax - x解： ( )=在（0， 1上是增函数，2230f xa - x( )=在（0， 1上恒成立，232ax即：在（0， 1上恒成立，23322g( x )x而在（0， 1上的最大值为，32a。练习：练习：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立上恒成立，a0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)(

8、xf若若a=0, 此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a0 (B)(A)a0 (B)1a1 1a1 (D) 0a1 (D) 0a1 )33,33(A AB BB高考题选高考题选3.若函数若函数 存在存在单调减区间，求单调减区间，求a的取值范围（湖南的取值范围（湖南05）.21()ln22fxxa xx1.若函数若函数 讨论讨论f(x)的单调区间（山东的单调区间（山东10）.11( )ln,()2afxxaxax2.若函数若函数 讨论讨论f(x)的单调区间（辽宁的单调区间（辽宁10）.2( )(1)ln1,f xaxax1.1.利用导数求函数单调区间的基本步骤为：求导利用导数求函数单调区间的基本步骤为：求导数数f(x)解不等式解不等式f(x)0 0和和f(x)0