概率论习题课PPT学习教案

1、会计学1概率论习题课概率论习题课一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结第1页/共65页 第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性的，但随着试验次数的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳的增大，频率将会逐渐稳定且趋近于概率。特别，当定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概很大时，频率与概率会非常率会非常“接近接近”的。这个非常的。这个非常“接近接近”是什么是什么意思？意思？这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从这与

2、高等数学中的极限概念有否联系？本章将从理论上讨论这一问题。理论上讨论这一问题。 一、问题的引入一、问题的引入第2页/共65页定理定理1 设随机变量的数学期望设随机变量的数学期望EX= ，方差方差DX= 2，则对任意的正数则对任意的正数 ，不等式，不等式 (1)成立。这个不等式称为契贝雪夫成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式不等式。 22| XP证证 我们仅就连续型随机变量情形加以证明我们仅就连续型随机变量情形加以证明。 设设X的概率密度为的概率密度为 f(x)，于是于是 xxdxxfxdxxfXP)()()(|2222222)()(1 DXdxxfx第3页/共65页222

3、| DXXP 式式(1)表明当表明当DX很小时，概率很小时，概率P|X- -EX| 更小更小。这就是说在上述条件下，随机变量这就是说在上述条件下，随机变量X落入落入EX的的 邻域邻域之外的可能性很小，也即落入之外的可能性很小，也即落入EX的的 邻域内可能性邻域内可能性很大。由此说明很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度的取值比较集中，也即离散程度较较小，这正是方差的意义所在。小，这正是方差的意义所在。 契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。很重要的价值。 (1)第4页/共65页例例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白细已知正

4、常男性成人血液中，每一毫升血液中白细胞的平均数是胞的平均数是7300，均方差是，均方差是700。试估计每毫升血。试估计每毫升血液中白细胞数在液中白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。解解 设每一毫升血液中白细胞数为设每一毫升血液中白细胞数为X ，则由上式有，则由上式有 2100|7300|94005200 XPXP契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式 221| XP的的值值。不不等等式式估估计计试试用用切切比比雪雪夫夫的的标标准准差差为为思思考考题题：设设随随机机变变量量5 . 7|, 5 . 2 EXXPX.982100700122 !915

5、. 75 . 25 . 7|22 EXXP第5页/共65页定理定理2 （伯努利（伯努利(Bernoulli)大数定律）设大数定律）设 是是n次独立次独立重复试验中事件重复试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验在每次试验中发生的概率，则对任意正数中发生的概率，则对任意正数 0，有，有 An1lim pnnPAn或或 0lim pnnPAn证证 令令 )1( .,0,1niiAiAXi 次次试试验验中中不不出出现现在在第第次次试试验验中中出出现现在在第第则则X1，X2，Xn是是n个相互独立的随机变量，且个相互独立的随机变量，且nippDXpEXii, 2 , 1, )1 (

6、, 第6页/共65页易知易知 nAXXXn 21于是，于是， 2| DXEXXPpnnPA 由契贝雪夫不等式得由契贝雪夫不等式得, nnXA 令令pEnnnnEEXAA 1 则则第7页/共65页又由又由X1，X2，Xn的独立性可知的独立性可知nppnDnnnDDXAA)1()(12 从而有从而有 )(0)1 (1|22 nppnDXpnnPA 上述伯努利大数定律从理论上给出了频率上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接近接近”概率这种概率这种“现象现象”的更加确切的含意，它反映的更加确切的含意，它反映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规律了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规律性。性。第

7、8页/共65页 设设Y1，Y2，Yn，是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，a是一是一个常数，若对任意的正数个常数，若对任意的正数 ，有，有 1|lim aYPnn则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛依概率收敛于于a，记作记作)( naYPn定理定理2 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则An)( npnnPA第9页/共65页定理定理3（契贝雪夫大数定律）（契贝雪夫大数定律）设设X1，X2，Xn，是相互独立的随机变量序列，又设它们的方差有界，是相互独立的随机变量序列，又设它们的方

8、差有界，即存在常数即存在常数c0，使得使得 , 2 , 1 , icDXi则对任意的则对任意的 0，有，有 证明（略）证明（略）11111lim niniiinEXnXnP或或 01111lim niniiinEXnXnP第10页/共65页 伯努利大数定律是契贝雪夫大数定律的特例伯努利大数定律是契贝雪夫大数定律的特例, 在它在它们的证明中们的证明中, 都是以契贝雪夫不等式为基础的都是以契贝雪夫不等式为基础的, 所以所以要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，方要求随机变量具有方差。但进一步的研究表明，方差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立同差存在这个条件并不是必要的。即有下面的独立同分

9、布的辛钦大数定律。分布的辛钦大数定律。定理定理4 (辛钦辛钦()大数定律大数定律)设设X1，X2，Xn，是相互独立的随机变量序列，且数学期望存是相互独立的随机变量序列，且数学期望存在在:, 2 , 1, iEXi 则对任意的则对任意的 0，有，有证明（略）证明（略）111lim niinXnP第11页/共65页)(11 nXnXniPi 这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径。可行的途径。 伯努利大数定律说明了当伯努利大数定律说明了当n很大时，事件发生的频率很大时，事件发生的频率会非常会非常“接近接近”概率，而这里的辛钦大数定律则表概率，而这

10、里的辛钦大数定律则表明，当明，当n很大时，随机变量很大时，随机变量X在在n次观察中的算术平均次观察中的算术平均值值 也会也会“接近接近”它的期望值，即它的期望值，即X第12页/共65页?2111210,22221理理问是否满足契比雪夫定问是否满足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互独立相互独立设随机变量设随机变量nnnPnanaXXXXnn 解解 独立性依题意可知独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？ )(nXE2222221)11(021nnannna , 0 例例2第13页/共65页说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具

11、有有限方差？检验是否具有有限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE,21)(2222anna )(nXD22 )()(nnXEXE .2a 说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.第14页/共65页有有意正数意正数证明对任证明对任且且独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量 , 2 , 1,)(, 0)(,221 kXDXEXXXkkn解解. 11lim212 nkknXnP是相互独立的，是相互独立的，因为因为, 21nXXX也是相互独立的，也是相互独立的，所以所以, 22221nXXX,

12、0)( kXE由由22 )()()( kkkXEXDXE 得得,2 由由辛钦定理辛钦定理知知有有对于任意正数对于任意正数, . 11lim212 nkknXnP例例3第15页/共65页三个大数定理三个大数定理契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理伯努利大数定理辛钦定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性定性. .第16页/共65页一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、小结三、小结第17页/共65页 在第二章介绍正态分布

13、时曾经特别强调了它在概在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在概率论与数理统计中的地位与作用，为什么会有许率论与数理统计中的地位与作用，为什么会有许多随机变量遵循正态分布？仅仅是经验猜测还是多随机变量遵循正态分布？仅仅是经验猜测还是确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。确有理论根据？这当然是一个需要弄清的问题。 实践表明，客观实际中有很多随机变量，它实践表明，客观实际中有很多随机变量，它们往往是由大量的相互独立的随机因素的综合作们往往是由大量的相互独立的随机因素的综合作用所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中用所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用是微小的。所起的作用是微小的

14、。 下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明了这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。了这样的随机变量总是近似地服从正态分布的。第18页/共65页 定理定理5（独立同分布的林德贝尔格（独立同分布的林德贝尔格-勒维勒维(LindebergLevy)中心极限定理）中心极限定理）设设X1，X2，Xn，是相互是相互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数学独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数学期望和方差：期望和方差： , 2 , 1, 0,2 iDXEXii 则对任意的则对任意的x有有证明（略）证明（略）dtexnnXPxtniin 21221lim 二

15、、基本定理二、基本定理第19页/共65页两点说明：两点说明： 1无论随机变量无论随机变量X1，X2，Xn，服从同一分布服从同一分布的情况如何，只要的情况如何，只要Xi满足定理的条件，则随机变量满足定理的条件，则随机变量序列：序列： nnXYniin 1 当当n无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布无限增大时，总以标准正态分布为其极限分布。或者说，当。或者说，当n充分大时，充分大时，Yn近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布。根据这一点，在实际应用中，只要。根据这一点，在实际应用中，只要n充分大，我们充分大，我们便可把便可把n个独立同分布的随机变量的和当作正态随机个独立同分布的随机变量的和当

16、作正态随机变量。变量。 第20页/共65页2因为因为对对 niiniinnXnnXY11 中每一被加中每一被加项项 nXi 有有nXDnnXDii1)(12 故有故有 01limlim nnuXDnin 即即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，中每一被加项对总和的影响都很微小，但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。第21页/共65页例例1 设有设有100个电子器件，它们的使用寿命个电子器件，它们的使用寿命 X1，X2，X100均服从参数为均服从参数为 =0.05(h-1)的指数分布，其使的指数分布，其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损用情

17、况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。令坏第三个立即使用等等。令 表示这表示这100个电子器件使个电子器件使用的总时间，试求用的总时间，试求X超过超过1800h小时的概率。小时的概率。解解 由于由于Xi 服从参数为服从参数为 = 0.05的指数分布。因此的指数分布。因此100, 2 , 1,4001,2012 iDXEXii 第22页/共65页dtet212211 12002000XP 1002020100180010020201001800XPXP 120020001XP)1(1 .8413.0)1( 又由题设知又由题设知 ，因此由定理，因此由定理5得：得： 1001

18、iiXX第23页/共65页作为定理作为定理5的推论有的推论有 定理定理6（德莫佛（德莫佛拉普拉斯拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理定理）在）在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的在每次试验中出现的概率为概率为p，Yn为为n次试验中事件次试验中事件A出现的次数，则对任出现的次数，则对任意的意的x，有有dtexpnpnpYPtxnn2221)1 (lim 第24页/共65页 证证 由由5.1的定理的定理2的证明可知，的证明可知，Yn可以看成是可以看成是n个个相互独立，且服从同一相互独立，且服从同一(0-1)分布的随机变量分布的随机变量X1，X2，Xn之和，

19、即之和，即)1(,ppDXpEXii 且且 niinXY1由定理由定理5得：得：dtexpnpnpYPtxnn2221)1(lim 定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此，当定理表明，二项分布的极限分布是正态分布。因此，当n充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。 第25页/共65页下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.第26页/共65页 定理定理7（李雅普诺夫（李雅普诺夫Liapunov定理）定理）设随机变量设随机变量 X1，X2，Xn ，相互独立，且相互独立，且 niiniiiiBiDXE

20、X1222), 2 , 1( , 0, ，记，记若存在若存在 0，使得，使得 )(0|1212 nXEBiniin 则对任意的则对任意的x，有有证略。证略。 xtniiinndtexBP21221)(1lim 对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布的对于相互独立但不同分布的随机变量和的分布的极限问题极限问题, 有李雅普诺夫中心极限定理。有李雅普诺夫中心极限定理。第27页/共65页不难看出，当不难看出，当n很大时，很大时， nininiiiniinnXBXBY1111)(1 近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N(0，1)，也即也即 niinnniiYBX11 近似服从正态分布近似服从正态

21、分布： ),(21nniiBN 第28页/共65页 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一

22、个随机变量,. )31,00090( bX且且例例2第29页/共65页所求概率为所求概率为3050029500 XP.323190000305002950190000kkkkC 分布律为分布律为kXP ,32310009090000kkkC .00090, 1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP第30页/共65页 )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp,31,90000

23、 pn3050029500 XP 225225.9995. 0 第31页/共65页 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3第32页/共65页200100

24、0010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321. 2)1(pnpnpXP.01. 0)321. 2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率第33页/共65页.,1,), 2, 1()1, 1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nininiXnZnniXXXX证证), 2 , 1(,2niXYii 记记)()(2iiXEYE )(iXD ,31 22)()()(iiiYEYEYD .)()(2

25、4iiYEXE 例例4第34页/共65页 1144d21)( iiixxXE因为因为,51 23151)( iYD所以所以,454 , 21相互独立相互独立因为因为nXXX ., 21相互独立相互独立所以所以nYYY根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第35页/共65页 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故第36页/共65页例例5 随机变量随机变量X 表示对概率为表示对概率为p的事件的事件A做做n次重复独次重复独立试验时，立试验时，A出现的次数。试分别用契贝雪夫

26、不等式出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的及中心极限定理估计满足下式的n： %9921 DXpnXP第37页/共65页解：解：记记 nXY 由于由于Y B(n，p)，故故EX=np，EY=p， nppnDXDY)1(2 (1)根据契贝雪夫不等式，有根据契贝雪夫不等式，有 DXEYYPDXpnXP21|21%99412 n为使为使.20 n解解得得2241)21(1nDXDY 第38页/共65页(2)以以Xi 表示每次试验时表示每次试验时A出现的次数，则出现的次数，则Xi 服从参数服从参数为为p的的0-1分布，且分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而而 ni

27、inXnXY1是是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知理知 )1, 0( NDYEYY 第39页/共65页因此有因此有 DXpnXP21 DYDXDYEYYP2/,99. 0122 n为为使使 DXEYYP211221-22 nDYDX6,16. 5 nn即即查查表表得得第40页/共65页例例6 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽。医院检验员任意抽查查100个服用此药品的人，如果其中多于个服用此药品的人，如果其中多于75人治

28、愈，人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接，问接受这一断言的概率是多少？受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接，问接受这一断言的概率是多少？受这一断言的概率是多少？ 第41页/共65页解：解：(1)以以X表示表示100人中治愈人数，则人中治愈人数，则X B(100，0.8) 所求概率为所求概率为 2 . 08 . 01008 . 0100752 . 08 . 01008 . 010075XPXP

29、8944. 025. 11 (2)依题依题X B(100，0.7) 3 . 07 . 01007 . 0100753 . 07 . 010070. 010075XPXP 1379. 08621. 0109. 11 所求概率为所求概率为 第42页/共65页三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布. 第43页/共65页二

30、、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点第44页/共65页1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.第45页/共65页大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理定定理理2定理定理3定理定理4定理定理2 的另一种表示的另一种表示定理定理5定理定理6定理定理7第46页/共65页有有数数则对于任意正则对于任意正的算术平均的算术平均个随机变量个随机变量作前作前和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 n

31、kkkknXnXnkXDXEXXX第47页/共65页. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则序列则序列和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量第48页/共65页有有则对于任意正数则对于任意正数率率在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概是事件是事件的次数的次数发生发生次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件是是设设 , 0 , , ApAnnA第49页/共65页), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有数学期望且具有数学期

32、望服从同一分布服从同一分布相互独立相互独立设随机变量设随机变量有有则对于任意正数则对于任意正数, 第50页/共65页则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn 第51页/共65页满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( xtxt).(de2122 第52页/共65页, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和

33、方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量第53页/共65页则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量nnkknkkBX 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( xtxt).(de2122 第54页/共65页恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量,)10(,), 2 , 1(xppnnn 第55页/共65页解解. , 1 , : 4). 3, 2,1,()( , , 1221指出其分布参数指出其分布参数并并近似服从正态分布近似服从正态分布随机变量随机变量大时大时充分充分当当证明证明已知已知样本样本的简单随机的简单随机是来自总体是来自总体假设假设 niinkknXnZnkXEXXXX , , 21独立同分布独立同分布因为因为nXXX , , 22221也独立同分布也独立同分布所以所以nXXX例例1第56页/共65页,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)