《金版学案》2014高考总复习(人教新课标理科)配套精讲课件第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节

1、第一节分类计数与分步计数原理第一节分类计数与分步计数原理第十章计数原理、概率、随机变量及其分布考考 纲纲 要要 求求1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题解决一些简单的实际问题课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理1分类加法计数原理：分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有两类办法，在第一类办法中做一件事，完成它可以有两类办法，在第一类办法中有有m1种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，那么

2、完成这件事共有那么完成这件事共有Nm1m2种不同的办法种不同的办法定义拓展：做一件事，完成它可以有定义拓展：做一件事，完成它可以有n类办法，在第类办法，在第一类办法中有一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有m2种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，那种不同的方法，那么完成这件事共有么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的办法种不同的办法2分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成两个步骤，做第一步有做一件事，完成它需要分成两个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不

3、同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有件事共有Nm1m2种不同的方法种不同的方法定义拓展：做一件事，完成它需要分成定义拓展：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做个步骤，做第一步有第一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方种不同的方法，法，做第，做第n步有步有mn种不同方法，那么完成这件事共有种不同方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法种不同的方法基础自测基础自测1(2012深圳高级中学期末深圳高级中学期末)设集合设集合A1,0,1，集合，集合B0,1,2,3，定义，定义A*B(x，y)|x(AB)，y(AB)，则，则A*B中元素个数是中

4、元素个数是() A7 B10 C25 D52解析：解析：AB0,1，AB1,0,1,2,3x有有2种取法，种取法，y有有5种取法，由分步乘法原理得种取法，由分步乘法原理得2510.故选故选B.答案：答案：B2(2012泉州模拟泉州模拟)从从10名大学毕业生中选名大学毕业生中选3人担任村人担任村长助理，则甲、乙至少有长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为法的种数为()A85 B56 C49 D28解析：解析：甲、乙至少有甲、乙至少有1个入选而丙没有入选的不同选个入选而丙没有入选的不同选法为法为 49(种种)答案：答案：C3在某种信息传输过程中，

5、用在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列个数字的一个排列(数数字允许重复字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有用数字只有0和和1，则与信息，则与信息0110至多有两个对应位置上的至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为数字相同的信息个数为A10 B11 C12 D15解析解析：与信息与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：信息包括三类：第一类：与信息第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同的有有两个对应位置上的数字相同的有 6(个个)；第二类：与信息第二类：与信息011

6、0有一个对应位置上的数字相同的有有一个对应位置上的数字相同的有4(个个)；第三类：与信息第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的没有一个对应位置上的数字相同的有有 1(个个)所以与信息所以与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信至多有两个对应位置上的数字相同的信息有息有64111(个个)故选故选B.答案：答案：B24C14C04C 4椭圆椭圆 1的焦点在的焦点在y轴上，且轴上，且m1,2,3, 4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆有，则这样的椭圆有_个个解析：解析：由题知由题知mn，根据，根据m的取值分为的取值分为5类：类：m1时，有时，有6个椭圆；个椭圆；m

7、2时，有时，有5个椭圆；个椭圆；m3时，有时，有4个个椭圆；椭圆；m4时，有时，有3个椭圆；个椭圆；m5时，有时，有2个椭圆共有个椭圆共有6543220个个答案：答案：20考考 点点 探探 究究考点一考点一分类加法计数原理的运用分类加法计数原理的运用【例【例1】三边长均为整数，且最大边长为三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的三角形的个数是的个数是_思路点拨思路点拨：根据题目中的条件，列出另两边满足的关根据题目中的条件，列出另两边满足的关系式，然后用列举法逐一求出来，再用分类加法计数原理求系式，然后用列举法逐一求出来，再用分类加法计数原理求解解解析：解析： 设较小的两边长为设较小的两边长为

8、x，y，不妨设，不妨设xy，则则当当x1时，时，y11；当当x2时，时，y10,11；当当x3时，时，y9,10,11；当当x4时，时，y8,9,10,11；当当x5时，时，y7,8,9,10,11；当当x6时，时，y6,7,8,9,10,11；当当x7时，时，y7,8,9,10,11；当当x11时，时，y11.所以不同三角形的个数为所以不同三角形的个数为1234565432136(个个)答案：答案：36点评点评：应用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，应用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准分类时应满足：完成一件事的任何一种方确定好分类的标准分类时应满足：完成一件

9、事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类法，必属于某一类且仅属于某一类变式探究变式探究1如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连连线标注的数字表示该段网线单位表示它们有网线相连连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点向结点B传递信传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为传递的最大信息量为()A26 B24 C20 D19解析：解析：因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分因信息可以

10、分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从结点类计数原理，完成从结点A向结点向结点B传递有四种办法：传递有四种办法：1253,1264,1267,1286，故单位时间内传递，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息的和：的最大信息量为四条不同网线上信息的和：346619.故选故选D.答案：答案：D考点二考点二分步乘法计数原理的运用分步乘法计数原理的运用【例【例2】把一个圆分成把一个圆分成3块扇形，现在用块扇形，现在用5种不同的颜种不同的颜色给色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的涂法？少种不同的涂法？ 解析：解

11、析：依题意，可分三步来完成：第一步涂依题意，可分三步来完成：第一步涂A区域，区域，有有5种不同涂法，第二步涂种不同涂法，第二步涂B区域，有区域，有4种不同涂法，第三步种不同涂法，第三步涂涂C区域，有区域，有3种不同涂法根据分步乘法计数原理，得不种不同涂法根据分步乘法计数原理，得不同涂色方法数是同涂色方法数是54360(种种)点评点评：本题需要分步去完成，分步计数原理中每步中每本题需要分步去完成，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事，各个种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成步骤都是不可缺少的，需要

12、依次完成所有的步骤，才能完成这件事这件事变式探究变式探究2将将4个不同的小球放入个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有子都不空的放法共有()A34种种 B43种种 C18种种 D36种种解析：解析：4个不同的小球放入个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒个不同的盒子，其中每个盒子都不空，则必有一个盒子放入子都不空，则必有一个盒子放入2个球设个球设4个球的编号分别个球的编号分别为为1,2,3,4，则其中，则其中2个球放在一个盒子里的情况有：个球放在一个盒子里的情况有：1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4，计，计6种情况把种情况把2个球放

13、在一个盒子里个球放在一个盒子里的情况当作的情况当作1个球和另外个球和另外2个球分别放入个球分别放入3个盒子里，共有个盒子里，共有321种放法于是所求放法为种放法于是所求放法为632136种故选种故选D.答案：答案：D考点三考点三两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【例【例3】现有高三】现有高三4个班学生个班学生34人，其中一、二、三、人，其中一、二、三、四班各四班各7人、人、8人、人、9人、人、10人，他们自愿组成数学课外小组人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选每班选1名组长，有多少种不同的选法？名

14、组长，有多少种不同的选法？(3)推选推选2人作中心发言，这人作中心发言，这2人需来自不同的班级，有多人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？少种不同的选法？思路点拨：思路点拨：本题主要考查两个计数原理的综合应用，先本题主要考查两个计数原理的综合应用，先考虑分类再考虑分步考虑分类再考虑分步解析：解析：(1)分四类分四类第一类，从一班学生中选第一类，从一班学生中选1人，有人，有7种选法；种选法；第二类，从二班学生中选第二类，从二班学生中选1人，有人，有8种选法；种选法；第三类，从三班学生中选第三类，从三班学生中选1人，有人，有9种选法；种选法；第四类，从四班学生中选第四类，从四班学生中选1人，有人

15、，有10种选法种选法所以，共有不同的选法所以，共有不同的选法N7891034种种(2)分四步第分四步第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N789105 040 种种(3)分六类每类又分两步从一、二班学生中各选分六类每类又分两步从一、二班学生中各选1人，人，有有78种不同的选法；从一、三班学生中各选种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有人，有710种不同种不同的选法；从二、三班学生中各选的选法；从二、三班

16、学生中各选1人，有人，有89种不同的选法；种不同的选法；从二、四班学生中各选从二、四班学生中各选1人，有人，有810种不同的选法；从三、种不同的选法；从三、四班学生中各选四班学生中各选1人，有人，有910种不同的选法所以共有不同种不同的选法所以共有不同的选法的选法N787971089810910431种种点评点评：解决这类题首先要明确：解决这类题首先要明确：“完成一件事完成一件事”指什么？指什么？如何完成这件事如何完成这件事(即分步还是分类即分步还是分类)？进而确定应用分类计数原？进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理理还是分步计数原理分步计数原理中的分步计数原理中的“分步分步”程序要正确程

17、序要正确“步步”与与“步步”之间是连续的，不间断的，缺一不可之间是连续的，不间断的，缺一不可 分类计数原理中的分类计数原理中的“分类分类”要全面，要全面， 不能遗漏不能遗漏“类类”与与“类类”之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法变式探究变式探究3(1)(2012临沂市模拟临沂市模拟)2010年广州亚运会的篮球比赛中年广州亚运会的篮球比赛中场休息时，为活跃现场气氛，组委会想从拉拉队的场休息时，为活跃现场气氛，组委会想从拉拉队的5名男队员和名男队员

18、和5名女队员中选出名女队员中选出3名队员表演一个临时性的节目，则其中至少名队员表演一个临时性的节目，则其中至少有有1名女队员入选的方案数为名女队员入选的方案数为 ()A180 B120 C110 D100(2)(2012上海市模拟上海市模拟)上海某区政府召集上海某区政府召集5家企业的负责人家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余人到会，其余4家企业家企业各有各有1人到会，会上推选人到会，会上推选3人发言，则这人发言，则这3人来自人来自3家不同企业的家不同企业的可能情况的种数为可能情况的种数为_(1)解析：解析：(法一法一)(分类加法计数法

19、分类加法计数法)当有当有1名女队员和名女队员和2名名男队员时，不同的方案数为男队员时，不同的方案数为 51050(种种)；当有当有2名女队员和名女队员和1名男队员时，不同的方案数为名男队员时，不同的方案数为=51050(种种)；当有当有3名女队员时，不同的方案数为名女队员时，不同的方案数为 10(种种)根据分类加法计数原理可得，不同的方案数共有根据分类加法计数原理可得，不同的方案数共有505010110(种种)15C25C25C45C35C(法二法二)(排除法排除法)从从10名队员中任选名队员中任选3名队员的方案数为名队员的方案数为 120(种种)；只从；只从5名男队员中选取名男队员中选取3名

20、队员的方案数为名队员的方案数为 10(种种)所以至少有所以至少有1名女队员入选的方案数为名女队员入选的方案数为12010110(种种)故选故选C.(2)若若3人中有人中有1人来自甲企业，则共有人来自甲企业，则共有 种情况；若种情况；若3人中没有甲企业的，则共有人中没有甲企业的，则共有 种情况由分类加法原理可得，种情况由分类加法原理可得，这这3人来自人来自3家不同企业的可能情况共有家不同企业的可能情况共有 16种种. 答案：答案：(1)C(2)16310C35C12C24C12C24C34C34C【例【例4】电视台在电视台在”欢乐今宵欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，节目中拿出两个信箱，其中存放着先

21、后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有有30封，乙信箱中有封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？有多少种不同的结果？解析：解析： 分两类：分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有有30292017 400种结果；种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400种

22、种结果结果由分类计数原理，共有由分类计数原理，共有17 40011 40028 800 种不同种不同结果结果点评点评：在综合运用两个原理时，一般先分类再分步在综合运用两个原理时，一般先分类再分步变式探究变式探究4. 由由1,2,3,4,5组成没有重复数字且组成没有重复数字且1,2都不与都不与5相邻的五位相邻的五位数的个数是数的个数是()A36B32 C28 D24解析解析：分类讨论：如果分类讨论：如果5在两端，则在两端，则1,2有三个位置可选，有三个位置可选，排法为排法为2 24种；如果种；如果5不在两端，则不在两端，则1,2只有两个位只有两个位置可选，排法为置可选，排法为3 12种由分类加法

23、计数原理，共种由分类加法计数原理，共计计122436种故选种故选A.答案：答案：A2232A A2222A A课时升华课时升华1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决，是本章学习的重点是本章学习的重点2两个原理的联系与区别两个原理的联系与区别共同点：都是计算完成一件事的所有不同的方法种共同点：都是计算完成一件事的所有不同的方法种数数不同点：一

24、个与分类有关，一个与分步有关如果完成不同点：一个与分类有关，一个与分步有关如果完成一件事情共有一件事情共有n类办法，这类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事情需要分成事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若完成所有的步骤，才能完成这件事，而

25、完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理数原理简而言之，两个原理都是指完成一件事的方法种数而言简而言之，两个原理都是指完成一件事的方法种数而言的区别在于：的区别在于：(1)分类计数原理是分类计数原理是“分类分类”，分步计数原理是，分步计数原理是“分步分步”；(2)分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事事的一步，不能独立完成

26、这件事3对两个原理的浅释对两个原理的浅释分类加法计数原理中，分类加法计数原理中，“完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法”，是，是说每种办法说每种办法“互斥互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用分类加法计数原理，否则不可以分类加法计数原理，否则不可以分步

27、乘法计数原理中，分步乘法计数原理中，“完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步个步骤骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有mi种不同的种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用分步乘法计数方法，那么

28、完成这件事的方法数就可以直接用分步乘法计数原理原理可以看出可以看出“分分”是它们共同的特征，但是，分法却大不是它们共同的特征，但是，分法却大不相同相同这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步题需要灵活而巧妙地分类或分步感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1某同学有同样的画册某同学有同样的画册2本，同样的集邮册本，同样的集邮册3本，从中取出本，从中取出4本赠送给本赠送给4位朋友，每位朋友位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有本，则不同的赠送方法共有()A4种种B10种种C18种种D20种种解析解析：若取出若取出1本画册，本画册，3本集邮册，有本集邮册，有 种赠送方法；种赠送方法；若取出若取出2本画册，本画册