共线向量与共面向量及向量的分解

1、复习3 3 向量的数量乘法向量的数量乘法n定义（大小，方向）定义（大小，方向）n运算规律（结合律、分配律）运算规律（结合律、分配律）n向量的线性运算方法与代数多项式的线性运算方向量的线性运算方法与代数多项式的线性运算方法相同法相同n定比分点公式及推广定比分点公式及推广n应用应用4.1共线向量与共面向量1）必要性：取相应的系数2）充分性：向量数乘的定义3）唯一性：同一法4 共线向量与共面向量共线向量与共面向量 ,.babaa b 定理1.4.1 向量 与非零向量 共线的充要条件是其中系数 被唯一确定证证充分性由向量的数乘定义可得。必要性,ba设(0),baa取ba当与同向时取正值,ba当与反向时

2、取负值,.ba即有ba 此时与同向.aa且.baba的唯一性.,ba设还存在使得 ，两式相减，得()0,a00,.a，即注：分类考虑，结合定理1.4.1 0abab 定理1.4.2 向量 与 共线的充要条件是:存在不全为零的实数 , 使得, ca bcaba b c 定理1.4.3 向量 与两个不共线的向量共面的充要条件是:其中系数 , 被 , ,唯一确定.:11.4.1, a b 分析)与定理的条件进行比较,知道向量都是非零向量.0,00ca cb cabc ca b 2)必要性 考虑向量 的特殊性)显然可得结论)与 (或 )共线,由定理1.4.1可得)与 ,都不共线,因为共面,利用向量加法

3、定义可得(作平行四边形)3)充分性 分和两种情况讨论4)唯一性 同一法结合定理1.4.2注：与定理1.4.2的证明进行比较, 0a b cabc 定理1.4.4 三个向量,共面的充要条件是:存在不全为零的实数 ,使得1., ,5-3-20, ,A B COOAOB OCOAOBOCA B C 例 设三点关于 的位置向量,满足,试证:三点共线.:, ,0A B CABBCABBC 分析三点共线2.,ABCDAC BDM NAB CD MN 例 设四面体中 对棱的中点分别为试证三个向量共面.DACBNM:, 0AB CD MNABCDMN 分析三个向量共面4.2 向量的分解121211221212

4、112212,nnnnnnnnna aaaaaa aaaa aaaaaaaa aa 定义1.4.1 由向量与数量所组成的向量称为向量的线性组合. 当向量 是向量的线性组合,即时,我们称 可以分解成向量的线性组12,naa aa 合,或称向量 可以用向量线性表示., aba bcabcab 定理1.4.3 若给定两个不共线的向量 与则与共面的任一向量 总可以分解成向量与 的线性组合,a ba ba b 当在一平面上选定一对不共线的向量,将平面上任何向量关于进行分解时,我们称为平面上向量的一对基本向量,简称为基., , , +, , ,a b cda b cdabca b c d 定理1.4.5

5、设三个向量不共面 则对于空间任何向量 总可以分解成的线性组合,即其中系数被, 唯一确定,a b ca b ca b c 当在空间选定三个不共面的向量,对空间的任何向量关于,进行分解时,我们称,为空间向量的一组基本向量,简称为基.由学生对照定理1.4.3的证明自行完成。3.,3,ABCOAa OBb OMMBOAON AMBNPAMBN OPab 例 如图 设中与相交于点 ,试将向量,分解成基本向量 与 的线性组合.abOABPMN.,ODOA OB OCODABCMOAa OBb OCcOMa b c 例4如图已知是以为相邻三棱的平行六面体的对角线与平面()交于点设,试将向量分解成基本向量 ,

6、 ,的线性组合 并指出它的几何意义.OACBMDcab小结4.1共线向量与共面向量1.1.共线共线2.2.共面共面0 ,.ba abaa b 与 ()共线( 被唯一确定)22 00abab与 共线(), ca bcaba b c 与不共线的向量共面( , 被 , ,唯一确定).222, 00a b cabc ,共面()练习P23 1，2作业P24 3，4 ， 5提示：5，类似例2的处理 例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.DABCEFP1e1e2e31231231231123,.,.ABCDAB CDE FEFPP PP P PABe ACeADeAPe e e 证 设四面体一组对边的中点的连线为它的中点为其余两组对边中点分别为下只需证三点重合就可以了取不共面的三向量先求用 ，线性表示的关系式),(211AFAEAP 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(