刚体的平面运动

1、第八章第八章刚体的平面运动刚体的平面运动行星齿轮行星齿轮 在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动，该种运动称为刚体的平面平行运平面平行的平面内运动，该种运动称为刚体的平面平行运动。简称为平面运动。动。简称为平面运动。第一节：刚体平面运动的特征及分解第一节：刚体平面运动的特征及分解 一、平面运动的特征一、平面运动的特征1A2AIIIAM A A点在点在IIII平面内运动平面内运动A A1 1A A2 2作平动作平动刚体的平面运动转化刚体的平面运动转化为平面图形为平面图形M在其自在其自身平面内的运动身平面内的运动二、平面运动

2、的分解二、平面运动的分解平移和转动平移和转动基点的概念基点的概念11/A BA BA B则，则，ABAB转动的角速度为：转动的角速度为：平面图形的角速度和角加速度平面图形的角速度和角加速度12 则，则，ABAB转动的角加速度为：转动的角加速度为：7ddt （ 4）12000(7limlimlimtttdtttdt 3)结论：结论：（1）刚体平面运动可分解为）刚体平面运动可分解为随基点随基点的平移运动的平移运动和和绕该基点绕该基点的定轴转动。的定轴转动。（2）刚体平面运动分解平移和定轴转动时，基点选择不）刚体平面运动分解平移和定轴转动时，基点选择不同，同， 基点平动轨迹不同，基点平动轨迹不同，但

3、转动规律（转角、角速度、但转动规律（转角、角速度、角加速度）与基点选择无关角加速度）与基点选择无关。第二节：求平面图形内各点速度的基点法第二节：求平面图形内各点速度的基点法 1、矢量表达式、矢量表达式 如图如图, 已知某一瞬时平面图已知某一瞬时平面图形形S内某一点的速度内某一点的速度vA和图形的和图形的角速度角速度w,求平面图形上任一点求平面图形上任一点B的速度的速度vB。动点：动点：B绝对运动绝对运动 ： 待求待求牵连运动牵连运动 ： 随随A点平移点平移动系动系 ： (平移坐标系平移坐标系)相对运动相对运动 ：绕：绕 点的圆周运动点的圆周运动 （圆心在基点，半径（圆心在基点，半径AB连线）连

4、线） AvAB牵连点运动牵连点运动 ： 与与A点相同点相同AvA(7BereABAABrABBvvvvr5)vvvvvv(7BereABAABrABBvvvvr5)vvvvvvBvAvBAvB2、定义、定义平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动速度的矢量和点转动速度的矢量和基点法或称为速度合成法。基点法或称为速度合成法。注意：注意：VBA方向与平面图形转动方向一致方向与平面图形转动方向一致ABvBA方向垂直于方向垂直于ABBArvv (基点速度）基点速度）（绕基点转动的（绕基点转动的速度）速度）(7BereABAABrABBvvvvr

5、5)vvvvvvBA牵连速度牵连速度相对速度相对速度 例例9-1 椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运轴的负向运动，如图所示，动，如图所示，AB=l。求：图示瞬时求：图示瞬时B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。解：解：1 AB作平面运动作平面运动,基点基点: AvBAvAvB 例例9-2图所示平面机构中，图所示平面机构中，AB=BD=l=300mm。在图示位置时，在图示位置时，BDAE，杆，杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆求：此瞬时杆DE的角速度和杆的角速度和杆BD中点中点C的速度。的速度。解：解：1 BD作平面运动，基点：作平面

6、运动，基点：BvDvDBvBvB注意区分各个角速度注意区分各个角速度vBvBvCBvCC基本步骤基本步骤1、分析各物体运动，哪些物体做平面运动，、分析各物体运动，哪些物体做平面运动，选择研究对象选择研究对象2、研究平面运动物体上哪一点的速度已知（大、研究平面运动物体上哪一点的速度已知（大小、方向两者或方向），可选为基点，特别注意小、方向两者或方向），可选为基点，特别注意一些连结点的选择一些连结点的选择3、应用基点法进行速度分析，做速度平行四、应用基点法进行速度分析，做速度平行四边形，注意应使待求量成为四边形对角线边形，注意应使待求量成为四边形对角线4、注意平面图形的转动角速度对不同的基点是一样

7、的、注意平面图形的转动角速度对不同的基点是一样的速度合成公式中绕基点转动的速度方向应与角速度方向速度合成公式中绕基点转动的速度方向应与角速度方向一致一致5、注意区分角速度、注意区分角速度2 2 速度投影定速度投影定理理沿沿AB连线方向上投影连线方向上投影同一平面图形上任意两点的速度在这两点同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。连线上的投影相等。例例9-5 图所示的平面机构中，曲柄图所示的平面机构中，曲柄OA长长100mm，以角速度以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖，并拖动轮动轮E沿水平面纯滚动。沿水平面纯滚动。求：此瞬时点求：此瞬时点E的速

8、度。的速度。已知：已知：CD=3CB，图示位置时，图示位置时A，B，E三点恰在三点恰在一水平线上，且一水平线上，且CDED。解：解： 1 AB作平面运动作平面运动vAvB2 CD作定轴转动，转动轴：作定轴转动，转动轴：C3 DE作平面运动作平面运动vBvDvE 9-3 求平面图形内各点的瞬心法求平面图形内各点的瞬心法基点：基点：C 平面图形上平面图形上 某瞬时速度等于零的点称某瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,AACABBCBoOCovvCAvCAvvCBvCBvvCOvCO1 速度瞬心的概念速度瞬心的概念C点点CABOvAvBvO当以瞬心为基点

9、时，绝对速度与绕基点转动速度相等当以瞬心为基点时，绝对速度与绕基点转动速度相等此时速度分布与以瞬心为圆心的定轴转动相同此时速度分布与以瞬心为圆心的定轴转动相同（1）平面图形的运动从）平面图形的运动从速度分布速度分布看可看成绕瞬心的瞬时看可看成绕瞬心的瞬时转动，此时瞬心又称为转动瞬轴。转动，此时瞬心又称为转动瞬轴。（2）速度瞬心的位置随时间不断变化，在不同瞬时平）速度瞬心的位置随时间不断变化，在不同瞬时平面图形上有不同的速度瞬心。面图形上有不同的速度瞬心。（3）同一瞬时，速度瞬心的速度为零，但）同一瞬时，速度瞬心的速度为零，但加速度加速度不为零。不为零。这是它与定轴转动轴心不同之处。这是它与定轴

10、转动轴心不同之处。（4）已知平面图形在某瞬时的瞬心位置和转动角速度，）已知平面图形在某瞬时的瞬心位置和转动角速度，则可以求出平面图形上任一点的速度。则可以求出平面图形上任一点的速度。2 2 速度瞬心的确定方法速度瞬心的确定方法12此时，必须知道两个速度的此时，必须知道两个速度的大小才能确定瞬心大小才能确定瞬心瞬时平移瞬时平移( (瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处) )瞬时角速度为零瞬时角速度为零, ,该瞬时各点速度相等该瞬时各点速度相等3注意：瞬时注意：瞬时2字，各点只是瞬时速度相等，而加速度不等，字，各点只是瞬时速度相等，而加速度不等，这是这是瞬时平动瞬时平动与与平动平动的区别的区别4 轮瞬心判

11、定轮瞬心判定在固定表面纯滚动在固定表面纯滚动与固定绳连接与固定绳连接ACO瞬心瞬心AB1122ABO绳轮接触点为动点绳轮接触点为动点两轮接触纯滚动两轮接触纯滚动但接触点为动点但接触点为动点接触点为动点均不是瞬心接触点为动点均不是瞬心 )sin()2sin()2sin(BBAAvvvcos)sin()2sin()sin(RvvABsinsinlRcoscos)2sin()2sin(lRlvlvABAAB22基点法基点法=)sin(cosABvv cos cosBAvv= ，90o - 速度投影法速度投影法cos)sin(cos)sin(RvvAB,vABAACvvABBBCvAvvBvACBCv

12、)( sin)2( sinvvBCACcos)( sin0 RvB0RvA2AB平面运动刚体角速度的概念以及基点法与瞬心法的关系平面运动刚体角速度的概念以及基点法与瞬心法的关系 瞬心法与基点法用到的角速度是一样的，称为刚瞬心法与基点法用到的角速度是一样的，称为刚体角速度，而不是绕某点的角速度，也不存在绕体角速度，而不是绕某点的角速度，也不存在绕瞬心转动的角速度概念。瞬心转动的角速度概念。基点法是基本方法，基点法中绕基点转动项可以用基点法是基本方法，基点法中绕基点转动项可以用圆周运动公式计算圆周运动公式计算瞬心法就是以瞬心为基点的基点法，此时绕瞬心（基瞬心法就是以瞬心为基点的基点法，此时绕瞬心（

13、基点）转动项速度就是动点绝对速度，因此此时绝对速点）转动项速度就是动点绝对速度，因此此时绝对速度可以用圆周运动公式算度可以用圆周运动公式算刚体角速度可以从瞬心法求也可以从基点法求刚体角速度可以从瞬心法求也可以从基点法求OOArROArACv)(01cvvOrRCMv)(222OrRCMvv)(2343OrrR751515 800m 929.015 sinm 8 .0GDOGm 9 36.315 cot11OEOGOEOCECvvm 591. 315 sin1OGGCv解：751515 8002、GE杆杆几何关系几何关系 srad 297. 0111vvEGEECOEECv sm 07. 111

14、vGEGGCv 751515 8003、BG杆杆2vGBGGCv60 cos222GvvGvBGBvGCBCvBCv srad 89. 060 cos1ABvABvGBAB求解应逐个刚体进行，不能用求解应逐个刚体进行，不能用2个个刚体上的刚体上的2点来求解点来求解绝对运动绝对运动 ： 待求待求牵连运动牵连运动 ： 随随A点平移点平移相对运动相对运动 ：绕：绕 点的圆周运动点的圆周运动 AaAB9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度A ：基点：基点 动系动系 ：随：随A点的平移动参考系点的平移动参考系动点：动点：BABaatBAtrtBAanBAaAaABaan

15、BAnr2指向基点指向基点垂直于垂直于ABAaABAeaa （与角加速度方向协调，可用来反求角加速度）（与角加速度方向协调，可用来反求角加速度）ABVaaBAnBAnr/2A点绝对加速度点绝对加速度B点绝对加速度点绝对加速度速度瞬心法速度瞬心法,AACABBCBoOCovvCAvCAvvCBvCBvvCOvCO瞬心：瞬心：C点点CABOvAvBvO以瞬心为基点以瞬心为基点以瞬心为基点以瞬心为基点不能用瞬心作为轴心求绝对加速度不能用瞬心作为轴心求绝对加速度vvAACRACv0ntBABAABaaaa2nRaaAAn)cos( cosBAABaaan)cos( cos1BAABaaatBAaABa

16、ABnBA2方向方向 大小大小 )sinsin(cos1ntBAABAaaa)sinsin(cos1ntBAABAABaalABasin cos sin0ntBABAAaaantBABAABaaaa 2nRaaAA基点基点 的的202n)(vMAACRAMAMa基点基点的的 AMaMAtvvAACRACv0ntMAMAAMaaaa 方向方向 大小大小 选选 A点为基点，求点为基点，求B点的点的加速度加速度()2220ncoscos2)cos()cos(lRRaaaMAAMt)sin(MAAMaaatancoscos)cos()sin(22220lRRaM2nRaaAA202n)(vMAACRA

17、MAMa AMaMAtntMAMAAMaaaa ntMAMAAMMaaaaa60o1ABO30已知：曲柄已知：曲柄OA角速度、角加角速度、角加速度，该瞬时速度，该瞬时OA垂直于垂直于AB，OA=r,AB= ,O1B=2r，求滑，求滑块块B的切向和法向加速度。的切向和法向加速度。r32BPVBOVaBBnB212不能用瞬心作为轴心求绝对加速度不能用瞬心作为轴心求绝对加速度ABVaBAnBA2ntBABAABaaaantBABAnAtAnBtBaaaaaa大小大小 方向方向 P60o1ABO30tBanBaootBAanBAatAanAa瞬心在瞬心在P点点ABBaB点绝对运动直线运动点绝对运动直线

18、运动B点加速度大小点加速度大小1个未知量个未知量M点绝对运动未知点绝对运动未知M点加速度大小方向点加速度大小方向2未知量未知量B点绝对运动圆周运动点绝对运动圆周运动加速度应分解加速度应分解B点法向加速度可求点法向加速度可求切向加速度大小切向加速度大小1个未知量个未知量60o1ABO30tBanBaoo0a0vRvoRao注意方向协调注意方向协调vAACvdtdACACvavtA平面运动刚体不能把瞬心作轴心求点的加速度，不论切平面运动刚体不能把瞬心作轴心求点的加速度，不论切向还是法向，但对于一些特殊点，如向还是法向，但对于一些特殊点，如纯滚动轮轮心绝对纯滚动轮轮心绝对切向加速度切向加速度可以把瞬

19、心作为轴心来求，但法向不行可以把瞬心作为轴心来求，但法向不行0v0a0a0v纯滚动加速度分析纯滚动加速度分析RvORaOntCOCOOCaaaaOCOaRatRvRaOCO22nRvaaoCOC2nnAOBCO1rR例题：例题：图示曲柄图示曲柄OA以恒角速度以恒角速度=2rad/s绕轴绕轴O转动，并转动，并借助连杆借助连杆AB驱动半径为驱动半径为r的轮子在半径为的轮子在半径为r的圆弧槽中做的圆弧槽中做无滑动的滚动。设无滑动的滚动。设OA=AB=R=2r=1m，求图示瞬时点，求图示瞬时点B和和点点C的速度和加速度。的速度和加速度。OBCO1AvBvCvsmRvvBA/212sradrvA/41s

20、mrvC/828. 221解：解：1、速度分析、速度分析AB 和轮做平面运动和轮做平面运动AB杆瞬时平动，杆瞬时平动，AB=0A逆时针逆时针轮轮B：瞬心在接触点：瞬心在接触点1POBCO1rAatBanBatBAaAnBAtBAAtBnBaaaaa222/85 . 02smRvaBnB0tBa2、加速度分析，以杆、加速度分析，以杆AB为研究对象为研究对象01轮轮B角加速度角加速度2/8smaanBB0nBAa点点B以以O1为圆心做圆周运动为圆心做圆周运动大小大小 方向方向 对轮对轮B应用轮心切向加速度公式应用轮心切向加速度公式OBCO1rnCBaBatCBnCBBCaaaa2/8smaanBB

21、2221/85 . 04smranCB0tCBa22222/31.1188smaaaCBBC3、在轮、在轮B上，以上，以B为基点求为基点求C点加速度点加速度Ca求夹角求夹角瞬时平动的特点瞬时平动的特点判定方法判定方法：一杆上一杆上2点速度平行且不垂直于两点连线点速度平行且不垂直于两点连线结论：结论：刚体上各点速度相等，加速度一般不等刚体上各点速度相等，加速度一般不等瞬时平动的特点是瞬时角速度为零瞬时平动的特点是瞬时角速度为零相对运动的法向加速度相对运动的法向加速度 为零为零nBAa瞬时平动是平面运动的特例，不是一种独立的运动形式瞬时平动是平面运动的特例，不是一种独立的运动形式轮系问题及公式应用

22、轮系问题及公式应用注意圆心、瞬心注意圆心、瞬心一、静接触（瞬心为接触点）一、静接触（瞬心为接触点）1、(在固定表面上）在固定表面上）纯滚动纯滚动RaORatOtOanOa2、绳轮接触、绳轮接触0AV非纯滚动非纯滚动ACOraRVOORVC2对无滑动接触，在接触点处绳轮速度、切向加速度相等对无滑动接触，在接触点处绳轮速度、切向加速度相等B1122222111RVRVBB222111RaRatBtB二、动接触（瞬心不在接触点）二、动接触（瞬心不在接触点）1、两轮配合、两轮配合ABORVVBARaatBtARaRVOO2、绳轮接触、绳轮接触有关加速度求解的几个关键有关加速度求解的几个关键4、瞬时平动

23、瞬时角速度等于、瞬时平动瞬时角速度等于0，角加速度不为，角加速度不为0.2、瞬心瞬时速度为零，但其加速度不为零，、瞬心瞬时速度为零，但其加速度不为零，不能将瞬心作不能将瞬心作为圆心来求各点绝对加速度为圆心来求各点绝对加速度5、不能用速度间的瞬时几何关系对时间求导来求加速度、不能用速度间的瞬时几何关系对时间求导来求加速度指向基点）(2ABaABanBAtBA切向加速度方向应与角加速切向加速度方向应与角加速度方向一致度方向一致3、纯滚动的特殊性要牢记、纯滚动的特殊性要牢记RatO1、加速度公式中动点绕基点转动的相对加速度、加速度公式中动点绕基点转动的相对加速度6、加速度公式投影只能解两个未知量，其

24、他一般需先求出，其中绕基点转、加速度公式投影只能解两个未知量，其他一般需先求出，其中绕基点转动法向一项一般可求，通过判断运动轨迹得出加速度方向也是值得注意的动法向一项一般可求，通过判断运动轨迹得出加速度方向也是值得注意的2、绕基点的圆周运动公式是本章的基础，注意不仅、绕基点的圆周运动公式是本章的基础，注意不仅有大小的关系还有方向的协调有大小的关系还有方向的协调3、一个特殊点和两个特殊运动：、一个特殊点和两个特殊运动：瞬心瞬心瞬时平动，纯滚动瞬时平动，纯滚动nBAtBAABaaaaABaABaABVtBAnBABA 2关键知识关键知识BAABVVV注意其中角速度和角加速度对一根杆是常量注意其中角

25、速度和角加速度对一根杆是常量1、基本公式、基本公式9-5 9-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例1 1 运动学综合应用运动学综合应用 ： 机构运动学分析机构运动学分析2 2 已知运动机构已知运动机构 未知运动机构未知运动机构 3 3 连接点运动学分析连接点运动学分析涉及两个物体涉及两个物体涉及一个物体涉及一个物体OBDll45AOBDll45AlvOEvBEvOBvBEBntBEBEEBaaaan45 cosBEBaalvaaBEB2n245 coslvBEaBEBE22n2ntBEBEEBaaaaOBDllOA45AOBDllOA45Areavvv, Bavv , 0rvvvvBelvOBvOAeOBDllOA45AlvOBaOA22neBaa ateaaa caaaaarnetealvaaB2te222te2lvOBaOAraBOAC