第一章复数与复变函数(1.5)-精简

1、1.5 复变函数复变函数一、基本概念一、基本概念二、图形表示二、图形表示三、极限三、极限四、连续四、连续按照一定法则，有确定的按照一定法则，有确定的复数复数 w 与它对应，与它对应，. )(zfw 上定义一个上定义一个复变函数复变函数，记作，记作对每个对每个 有唯一的有唯一的 w 与它对应；与它对应；,Dz 单值函数单值函数.)(2zzfw 比如比如 多值函数多值函数对每个对每个 有多个有多个 w 与它对应；与它对应；,Dz ,3zw .Arg zw 比如比如则称在则称在 D一、基本概念一、基本概念定义定义 设设 D 是复平面上的一个点集，对于是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点中任意

2、的一点 ，z一般情形下，所讨论的一般情形下，所讨论的“函数函数”都是指单值函数。都是指单值函数。一、基本概念一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析分析则则 可以写成可以写成)(zfw )(yixfv iuw 设设 ,yixz ,viuw , ),(),(yxviyxu 其中，其中， 与与 为实值二元函数。为实值二元函数。),(yxu),(yxv, ),(yxuu . ),(yxvv 分开上式的实部与虚部得到分开上式的实部与虚部得到 , )2()1(22yxiyx 比较两边实部与虚部即得比较两边实部与虚部即得12 zw代入代入 得得解解 记记

3、,yixz ,viuw 1)(2 yixviuP21 例例1.13 例例将复变函数将复变函数12 zw化为一对实变函数。化为一对实变函数。, 122 yxu.2xyv G GG二、图形表示二、图形表示C映射映射平面平面z平面平面w其中，点集其中，点集 称为称为像像，点集，点集 称为称为原像原像。DG 函数函数和和映射映射可视为同一个概念。可视为同一个概念。D)(zfw zxywuv 同理可定义反函数和逆映射同理可定义反函数和逆映射)(wfz )(wfz G GG二、图形表示二、图形表示C映射映射平面平面z平面平面w其中，点集其中，点集 称为称为像像，点集，点集 称为称为原像原像。DGD)(zf

4、w zxywuv)(wfz 双方单值或一一映射双方单值或一一映射若若映射映射 与它的逆映射与它的逆映射 都是单值都是单值的，的，)(zfw )(wfz 则称映射则称映射 是是双方单值的双方单值的或者或者一一映射一一映射。)(zfw 解解 (1) 点点 对应的像对应的像( (点点) )为为 iz2121 .21iw (2) 区域区域 D 可改写为：可改写为：, 2/arg0,1|0:zzzD 令令,e irz ,222e irzw 则则可得区域可得区域 D 的像的像( (区域区域) )G 满足满足.arg0, 1|0ww P22 例例;2121iz (1)(2).1| , 0Re, 0Im: z

5、zzzD,2zw 已知函数已知函数求下列点集的像。求下列点集的像。点点区域区域三、极限三、极限定义定义 设函数设函数 在在 的的去心领域去心领域 内有定义内有定义 ,)(zfw 0z |00zz若存在复数若存在复数, A使得使得,0,0 当当 时，时，有有 |00zz,|)(| Azf记作记作Azfzz )(lim0或或. )()(0zzAzf注注 (1) 函数函数 在在 点点可以无定义可以无定义；)(zf0z(2) 趋向于趋向于 的方式是的方式是任意任意的。的。0zz则称则称 A 为函数为函数 当当 z 趋向于趋向于 z0 时的时的极限极限，)(zfw P23定义定义 1.1 性质性质 如果

6、如果则则,)(lim,)(lim00BzgAzfzzzz 三、极限三、极限,)()(lim0BAzgzfzz (1)(2)(3),)()(lim0BAzgzfzz ).0(,)()(lim0 BBAzgzfzz 对于有限个函数来说：对于有限个函数来说：极限运算与四则运算互换极限运算与四则运算互换定理定理三、极限三、极限设设, ),(),()(yxviyxuzf ,00viuA ,000yixz 证明证明,|,|00 vvuu.),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 如果如果则则,0,0 ,)(lim0Azfzz 当当 20200)()(|0yyxxzz时，时，,

7、)()(|)(|2020 vvuuAzf.),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 则则Azfzz )(lim0必要性必要性 “ ” P23定理定理 1.1 充分性充分性 “ ”(略略)三、极限三、极限 所所关心的两个问题关心的两个问题：(1) 如何证明复变函数的极限如何证明复变函数的极限存在存在？(2) 如何说明复变函数的极限如何说明复变函数的极限不存在不存在？a. 选择选择不同的路径不同的路径进行讨论进行讨论 (由定义由定义)放大技巧放大技巧 。|)(|)(|0zzgAzf b. 对应的对应的二元函数其中一个的极限二元函数其中一个的极限不存在不存在(由定理由定

8、理)定理定理 设设, ),(),()(yxviyxuzf ,00viuA ,000yixz .),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 则则Azfzz )(lim0 P23定理定理 1.1 a. 从定义出发：从定义出发： 对应的二元函数的极限都存在。对应的二元函数的极限都存在。b. 从定理出发：从定理出发： xy讨论函数讨论函数 在在 的极限。的极限。例例 )(zfzz0z )(zf2|z2z, yxiyx222 22yx ,),( yxu22yx 22yx 当当 时，时，0,0 xy,1),(yxu当当 时，时，0,0 yx,1),( yxu因此极限不存在。因此

9、极限不存在。解解 方法一方法一 P24 例例1.15 l解解当当 时，时，0,0 xy,1)(zf当当 时，时，0,0 yx,1)( zf因此极限不存在。因此极限不存在。方法二方法二,)( zfyix yix xy方法三方法三沿着射线沿着射线: l,0,e rrzi ,)(lim)2(0e izlzzf与与 有关，因此极限不存在。有关，因此极限不存在。 讨论函数讨论函数 在在 的极限。的极限。例例 )(zfzz0zxy四、连续四、连续定义定义则称则称 在在 点点连续连续。, )()(lim00zfzfzz 若若z0)(zf若若 在区域在区域 D 内处处连续，则称内处处连续，则称 在在 D 内内

10、连续连续。)(zf)(zf注注 (1) 连续连续的三个要素：的三个要素：)(0zf存在；存在；)(lim0zfzz存在；存在；相等相等(2) 连续连续的等价表示：的等价表示：)()(lim00zfzfzz .0|lim0| wz0lim0 wz这里，这里，. )()(,000zfzzfwzzz P24定义定义 1.2 例如例如函数函数 在复平面内除原点外在复平面内除原点外)()(ln)(2222yxiyxzf 是处处连续的。是处处连续的。 因为因为 除原点外是处处连续的，除原点外是处处连续的，而而 是处处连续的。是处处连续的。)(ln),(22yxyxu 22),(yxyxv P25定理定理

11、1.2 四、连续四、连续函数函数和和),(),()(yxivyxuzf 在在点连续的点连续的充要条件充要条件是是定理定理000iyxz ),(00yx),(yxv在在),(yxu点连续。点连续。性质性质四、连续四、连续(1) 在在 连续的两个函数连续的两个函数 与与 的和、差、积、的和、差、积、商商( (分母在分母在 不为零不为零) )在在 处连续。处连续。z0)(zf)(zgz0z0(2) 如果函数如果函数 在在 处连续，函数处连续，函数 在在连续，则函数连续，则函数 在在 处连续。处连续。)(zg z0)( fw )(00zg )(zgfw z0(3) 如果函数如果函数 在有界闭区域在有界

12、闭区域 D 上连续，则上连续，则)(zf P26上必有界；上必有界；D| )(|zf在在 上必能取到最大值与最小值；上必能取到最大值与最小值；D| )(|zf在在 上必一致连续。上必一致连续。D)(zf在在 )0(arg)( zzzf例例 证明证明在复平面上在复平面上除去原点除去原点和负实轴的区域和负实轴的区域上连续。上连续。yx z0 P25 例例1.16 为全平面除去原点和负实轴的区域上为全平面除去原点和负实轴的区域上任一点任一点。0z证证 设设, 0 考虑任意充分小的正数考虑任意充分小的正数 |0zz使得当使得当时，时，. zzfarg)( 因此因此点连续。点连续。0z在在再由再由0z知知的的任意性任意性，zzfarg)( 在所述区域内连续。在所述区域内连续。 存在正数存在正数| )()(|0zfzf 有有|argarg|0zz ,sin|0 z （请记住此例结论）（请记住此例结论）补充补充 关于含关于含 的极限作如下规定：的极限作如下规定： )(limzfz)(f1z.0lim0 z1(3) 关于定义的描述关于定义的描述(举例举例)：Azfz )(lim(1);lim)(0Afz 1z )(lim0zfzz(2);0lim0 zz)(zf1,0,0 M 使得使得当当 时，时，有有 |zM,|)(| AzfAzfz )(lim 已知复数的实部与虚部，求模与已知复数的实部