第一部分多项式矩阵理论

1、2022年年7月月4日日电气与信息工程学院电气与信息工程学院 控制科学与工程系控制科学与工程系主要参考书： 1）线性系统理论郑大钟 清华大学出版社 2）线性控制系统陈际达 中南大学出版社 3）线性系统T. Kailath 科学出版社主讲：刘国才教授、博士生导师，1、多项式矩阵、多项式矩阵2、初等变换和初等矩阵、初等变换和初等矩阵3、单模阵、单模阵4、既约性、既约性5、互质性、互质性第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论定义：定义：以多项式为元构成的矩阵称为多项式矩阵。以多项式为元构成的矩阵称为多项式矩阵。引例：引例：第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论2111212355

2、6851231512G ()()()ssssXxuYxsCs IABGs线 性 系 统 状 态 空 间 表 达 式 ：根 据可 知系 统 传 递 函 数 为 ：其中其中X=Ax+Bu，Y=Cx 多项式矩阵的奇异和非奇异性的定义和实数多项式矩阵的奇异和非奇异性的定义和实数矩阵相同。矩阵相同。 需注意的是，多项式矩阵的秩，多项式向量需注意的是，多项式矩阵的秩，多项式向量的线性无关性必需在有理分式域中定义。的线性无关性必需在有理分式域中定义。 例：例： 显然其行列式显然其行列式DetQ(s)=0，但在实数域内其列，但在实数域内其列向量不相关向量不相关。 矩阵秩的一个重要性质：矩阵秩的一个重要性质：2

3、213( )3256ssQsssss)(),(min()()(BrArsBsrankA第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论EI初等矩阵单位矩阵初等变换矩阵矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E矩阵矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论4321)(sssssQ单模矩阵定义：单模矩阵定义：称方阵称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c为独立于为独立于s的非零常数。的非零常数。 例例1：非奇异的常数矩阵非奇异的常数

4、矩阵 例例2：通过计算，可以得到：通过计算，可以得到：据定义可知，据定义可知，Q(s)为单模阵。为单模阵。2) 3)(2() 4)(1()(detsssssQ第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论单模阵的特性单模阵的特性|单模阵单模阵M(s)可逆且其可逆矩阵还是单模阵可逆且其可逆矩阵还是单模阵|单模阵的乘积仍为单模阵单模阵的乘积仍为单模阵|单模阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，反之亦然。因单模阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，反之亦然。因此，一系列初等变换等价于一个单模变换。此，一系列初等变换等价于一个单模变换。(1)多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性存在如下对应关多项式矩阵的奇异

5、性、非奇异性和单模性存在如下对应关系：系：0)det(,)(0)(det,)(0)(dets)(sssQsQssQsQsQ成立对所有单模成立对几乎所有非奇异，成立不存在一个奇异第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论多项式向量的次数多项式向量的次数 对列或行多项式向量:其次数定义为其元多项式次数的最大值，即)()()(1sasasaq, 2 , 1),(maxdeg)()(qisasasai的次数第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论列既约性的定义：列既约性的定义：给定给定方非奇异多项式矩阵方非奇异多项式矩阵M(s) ci M(s)为其相应的列次数，为其相应的列次数，i=1，

6、2，p。称称M(s)为列既约的，当且仅当：为列既约的，当且仅当：其行列式的次数等于其所有列次数的和，即其行列式的次数等于其所有列次数的和，即picisMsM1)()(detdeg第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论列次表达式：列次表达式：对于多项式矩阵M(s)， 其列次数记为：pjkscjMcj, 2 , 1)(,111111(),()1ccnpc pc pkkccppkkpc jjsssSsssssnk其 中( )( )( )h cclcch clcMsMSsMsMM其 中 ,和为 常 数 系 数 矩 阵 则可将则可将M(s)表达为其列次表达式：表达为其列次表达式：第一部分：多项

7、式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论( )( )( )h cclcch clcMsMSsMsMM其 中 ,和为 常 数 系 数 矩 阵引言引言MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为多变量线性系统传递函数矩阵可表达为如下如下“分式分式”形式：形式：)()()()()(sDsNgsGqpcij其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。互质性可分为右互质性和左互质性。右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论互质性是对两个多项式矩阵间的

8、不可简约属性的表征。公因子和最大公因子公因子和最大公因子 右公因子：右公因子：称多项式矩阵称多项式矩阵R(s)为列数相同的两个多项式为列数相同的两个多项式矩阵矩阵D(S)和和N(s)的一个右公因子，如果存在多项式矩阵：的一个右公因子，如果存在多项式矩阵：( )N( ),D( )( ) ( ),( )( ) ( )D sssD s R s N sN s R s和使得：左公因子有类似定义。左公因子有类似定义。左公因子和线性系统能观性有关，左公因子和线性系统能观性有关，右公因子和线性系统能控性有关。右公因子和线性系统能控性有关。第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论| )()()(sRsW

9、sR第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论最大公因子最大公因子gcrd的构造定理的构造定理 对列数相同的两个多项式矩阵对列数相同的两个多项式矩阵D(s)和和N(s), 如果可以找到如果可以找到 一单模阵一单模阵U(s), 使得：使得： 则导出的多项式矩阵则导出的多项式矩阵R(s)为为D(s)和和N(s)的一个最大的一个最大右公因子。且满足如下右公因子。且满足如下贝左特等式：贝左特等式：R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)11122122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0U sU sDsDsR sU sU sU sN sN s 第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论| 第一部分：多项式矩阵理论第一部分：多项式矩阵理论右互质定义右互质定义如果列数相同的两个多项式矩阵如果列数相同的两个多项式矩阵D(s)和和N(s)的最的最大右公因子大右公因子R(s)为一个单模阵，则称为一个单模阵，则称D(s)和和N(s)右互质。右互质。右互质的