高等数学第六章定积分的应用

1、第三节物理应用第三节物理应用第六章第二节第二节 几何应用几何应用第一节第一节 元素法元素法定积分的应用 第六六章 回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 第一节第一节 元素法元素法面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间）把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 第个小窄曲边梯形， 第i 小窄曲边梯形的面

2、积为小窄曲边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1.（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是

3、是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化

4、化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达

5、达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等思考题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？思考题解答思考题解答微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节二、二、 平面图形的面积平面图形的面积一、一、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 一、平面曲线的弧长一、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,

6、0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.ni 10lims则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲线弧由极坐标方程给出:

7、)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :)ch(cxccxccsh1例例. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂悬链线方程为例例. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos2

8、2200sin22222x4例例. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8d222aa例例. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa例例. 求心形线线的周长 . 解解:)0()cos1 (aard)()(22rrsddcos22 adcos2220asada82

9、cos40 xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12直角坐标系情形xxxx x 二、平面图形的面积二、平面图形的面积例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和

10、2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的

11、交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称

12、性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 例例5. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d

13、 d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 极坐标系情形)( r解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形所围平面图形的面积的面积.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0例例 7 7 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的所围平面图形的面积

14、面积)0( a.xoab三、平行截面面积为已知的立体的体积三、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx ,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为上连续,一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕

15、绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)( dcV解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVR

16、R 22.212hR 例例 8 8 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM例例 9 9 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积 .解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dt

17、tata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy例例 10 10 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱与的一拱与0 y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴轴旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积 .绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdt

18、atta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 柱壳法a2xxxdy轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例11. 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函

19、数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故例例12. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为

20、 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1例例13. 证明曲边扇形),(0,0rr 绕极轴.dsin)(323rVox)(rr xdrd证证: 先求d,上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积.doxV体积微元rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋转而成的体积为第三节一、一、 变力沿

21、直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 水压力水压力三、三、 转动惯量转动惯量 定积分在物理学上的应用 第六六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(例例1.一个单求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkW

22、d2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的微功为1dWxy d2提出水面后的微功为2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo现将其从水池中取出, 需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xRH因此微功元素为21dddWWWxxRd)( g22球从水中提出所做的功为WxxRxRHRRd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxR

23、Rd)(220g)(34003RHR)( g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx例例5. 设有半径为 R 的半球形容器如图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则oxyhR(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyh

24、d)2(20故有t ayyRyhd)2(20两边对 t 求导, 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat (升) ,(2) 将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于d,yyyyx d2微元体积:微元的重力 :yx dg2薄层所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yR yyRyRyd)(2(g2故所求功为WR0gyyyRyRd)32(3224g4Ry到池沿高度所需的功.思考与练习思考与练习提示提示: 作 x 轴如图.ox30 xxd1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升

25、到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d3332

26、1ddddWWWW克服抓斗自重: 解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw2 2 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相厘米，若每次锤击所作的功相等，问第等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击

27、所作的总功为n hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xpg33g2R例例6. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明: 当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .练习题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并