气体分子热运动速率和能量的统计分布律课件

1、第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3.3 3.3 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 重力场重力场中微粒按高度的分布中微粒按高度的分布3 3.4 .4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理3.3 3.3 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布 一、玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 玻耳兹曼分子按能量分布定律，简称玻耳兹曼分布律：当气体在外力场中处于平衡态时，其中位置坐标位于 ； ； 区间，同时速度坐标位于 : 区间内的分子数为： dxxxdyyydzzzzzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv;dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTpk/

2、 )(2/302(1)12/2/3 zyxkTdvdvdvekTmkdxdydzendxdydzdvdvdvekTmndNkTzyxkTppk/0/ )(2/302 kTpenn/0根据麦克斯韦分布函数所应满足的归一化条件：可得：则有单位体积内的分子数：上式是分子按势能的分布律。(2)(3)(4) 玻耳兹曼分布律是一个普遍的规律，它对任何物质的微粒在任何保守力场中运动的情形都成立。二、重力场中微粒按高度的分布二、重力场中微粒按高度的分布 在重力场中，气体分子受到两种相互对立 的作用：热运动和重力作用。平衡态时， 分子数密度随高度的增加而减小。取坐标轴z铅直向上，在z=0处单位体积内的分子数为n

3、0,则分布在高度为z处体积元内的分子数为dxdydzendNkTmgz/0分布在高度z处单位体积内的分子数则为：kTmgzenn/0(5)(6)n0对于地面处对于地面处 ，重力场中气体，重力场中气体分子数密度随高度的增大按指数规律衰减。分子数密度随高度的增大按指数规律衰减。onnz , 0图1、重力场中气体分子数密度与高度的关系 n n0 T2T1 T2 T1 h h zkTmgz0ennn0 h n nO2 nH2 z 分子质量分子质量m m增大时，增大时，n n随高度随高度变化的较快。变化的较快。T T一定时，质量一定时，质量大的分子容易聚集到地面附大的分子容易聚集到地面附近。近。这是大气

4、中氢气含量这是大气中氢气含量少的原因之一。少的原因之一。 当当T T升高时，升高时，n n随高度递减随高度递减的较慢。同种气体高温时，的较慢。同种气体高温时，地面与高空的密度差较小。地面与高空的密度差较小。 图2、n与T的关系图3、n与分子质量m的关系（6）又因为：nkTp 所以：RTMgzkTmgzepkTenp/0/0或0lnppMgRTz 此式称为等温气压公式。利用此式可以根据大气压强随高度的减小，判断上升的高度。（7）（8）（9）3.4 3.4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度 自由度自由度：描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度自由度。 自由度数自

5、由度数：决定一个物体的位置所需要的独立坐标数，叫做这个物体的自由度数自由度数（记作N）。对于质点：对于质点： （1）一个质点在空间任意运动，需用三个独立坐标（x，y，z）确定其位置。所以自由质点有三个平动自由度 i = 3。 （2）如果对质点的运动加以限制（约束），自由度将减少。 如质点被限制在平面或曲面上运动，则 i = 2； 如果质点被限制在直线或平面曲线（不是空间曲线）上运动，则其自由度 i = 1。对于刚体：对于刚体： 一个刚体在空间任意运动时，可分解为质心C 的平动和绕通过质心轴的转动，所以刚体的位置可决定如下： （1） 确定刚体质心C 的位置，需三个独立坐标（x，y，z） 自由刚体

6、有三个平动自由度三个平动自由度 t = 3；（2）确定刚体通过质心轴的空间方位三个方位角（，）中只有其中两个是独立的（因为 需两个转动自由度两个转动自由度； （3）确定刚体绕通过质心轴转过的角度还需一个转动自由度一个转动自由度。1coscoscos222 这样，确定刚体绕通过质心轴的转动，共有三个转动自由度 r = 3。 所以，一个任意运动的刚体，总共有6个自由个自由度度，即3个平动自由度和3（=2+1）个转动自由度。即：i = t + r = 3 + 3 = 6 当刚体的运动受到某种限制时，其自由度数也会减小，例如，绕定轴转动的刚体只有一个自由度。对于分子：对于分子： （1）单原子分子单原子

7、分子：如氦He、氖Ne、氩Ar 等分子只有一个原子，可看成自由质点，所以有3个平动自由度个平动自由度 。（2）双原子分子双原子分子：如氢 、氧 、氮 、一氧化碳CO 等分子中的两个原子是由一个键连接起来的，这种分子除整体做平动和转动外，两个原子还沿着连线方向做微振动。因此，双原子分子共有六个自由度六个自由度：三个平动自由度，两个转动自由度，一个振动自由度。（3）多原子分子多原子分子（由三个或三个以上原子组成的分子）：需要根据其结构情况进行具体分析才能确定。一般的，如果某一个分子由n个原子组成，则这个分子最多有最多有3n3n个自由度个自由度，其中3个平动自由度，3个转动自由度，其余3n-6个是振

8、动自由度。 当分子的运动受到某种限制时，其自由度数就会减小。二、能量按自由度均分定理理想气体的平均平动能为：kTvm2321_2在平衡状态下，大量气体分沿各个方向运动的机会均等。所以有：_2_2_2_231vvvvzyx因此：kTvmvmvmzyx21212121_2_2_2即每个自由度每个自由度分配到相等相等的能量，其值为 。kT21（1）（2）（3）能量按自由度均分定理（简称能量均分定理）：能量按自由度均分定理（简称能量均分定理）： 温度为温度为T T 的平衡状态下，物质分子的每一个自的平衡状态下，物质分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等由度都具有相同的平均动能，其大小都等于于 。kT21 如果某种气体的分子有t个平动自由度，r个转动由度，s个振动自由度，则分子的平均平动能，平均转动能和平均振动能就分别为 ， 和 ，而分子的平均总动能即为 。kTsrt)(21kTt2kTs2kTr2 由振动学可知，谐振动在一个周期内的平均动能由振动学可知，谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能是相等的。和