第全微分方程学习教案

1、会计学1第第 全微分方程全微分方程(wi fn fn chn)第一页，共19页。例例1 1.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程(wi fn fn chn), yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(,42344224yyxx 原方程原方程(fngchng)的通的通解为解为.42344224Cyyxx 第1页/共19页第二页，共19页。例例2.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程(wi fn fn chn),将左端重新组合将左端重新组合)3

2、2(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd ),1(32yxyd 原方程原方程(fngchng)的通解为的通解为.132Cyxy 第2页/共19页第三页，共19页。二、积分二、积分(jfn)因子法因子法 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程如何求方程(fngchng)的的积分因子积分因子?定义定义(dng(dngy):y):第3页/共19页第四页，共19页。1.1.公式公式(gngsh)

3、(gngsh)法法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解求解(qi ji)不容易不容易特殊特殊(tsh)地地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx 第4页/共19页第五页，共19页。)(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex ;.有关时有关时只与只与当当yb , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 第5页/共19页第六页，共19页。2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见常见(chn jin)的全的全微分表达式微分表达

4、式)2(22yxdydyxdx )(xydxdyydx )(2xydxydxxdy )(2yxdyydxxdy )(lnxydxyydxxdy )(arctan22xydyxydxxdy )(ln2222yxdyxydyxdx 第6页/共19页第七页，共19页。可选用的积分可选用的积分(jfn)因因子有子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 例例3.0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( 则原方程则原方程(fngchng)成成为为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx.x 第7页/共1

5、9页第八页，共19页。, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx 可积组合法可积组合法)(21(23xyyxd , 0 原方程原方程(fngchng)的通的通解为解为.)(2123Cxyyx (公式公式(gngsh)法法)第8页/共19页第九页，共19页。例例4 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn).0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd将方程将方程(fngchng)左端重新组合左端重新组合,有有, 0)()(222 yxdyxxd原方程原方

6、程(fngchng)的通的通解为解为.)(322322Cyxx 第9页/共19页第十页，共19页。例例5 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn).0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程将方程(fngchng)左端重新组合左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则可积组合法可积组合法. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程原方程(fngchng)的通的通解为解为.)1(31ln2322Cyyx 第10页/共19页第十一页，共19页。例例6.13

7、2的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理整理(zhngl)得得,112xyxdxdy A A 常数常数(chngsh)(chngsh)变易变易法法: :.1xCy 对应齐方程通解对应齐方程通解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC B B 公式公式(gngsh)(gngsh)法法: :,11211Cdxexeydxxdxx .4343Cxxxyy 通解为通解为第11页/共19页第十二页，共19页。解解2 2整理整理(zhngl)得得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲线用曲线(qxin)(qxin)积积分法分法

8、: :,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB B 凑微分凑微分(wi (wi fn)fn)法法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd第12页/共19页第十三页，共19页。C C 不定积分不定积分(b (b dn j fn)dn j fn)法法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程原方程(fngchng)的通的通解为解为.4343Cxxxyy 第13页/共19页第十四页，共19页。三

9、、一阶微分方程三、一阶微分方程(wi fn fn chn)小结小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程思考思考题题方程方程(fngchng)0324223 dyyxydxyx是否是否(sh fu)为全微分方程？为全微分方程？第14页/共19页第十五页，共19页。思考题解答思考题解答(jid) 32yxyyP,64yx 4223yxyxxQ,64yx xQyP 原方程原方程(fngchng)是全微是全微分方程分方程(fngchng).第15页/共19页第十六页，共19页。练练 习习 题题一、一、 判别下列方程中哪些是全微分方程判别下列方程中哪些是全

10、微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyyxedxeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用观察法求出下列方程的积分因子利用观察法求出下列方程的积分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .第16页/共19页第十七页，共19页。三、三、 验证验证)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的积分因子的积分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知21)0( f, ,试确定试确定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex为全微分方程为全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .第17页/共19页第十八页，共19页。练习题答案练习题答案(d n)一一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不