概率论 第二讲 等可能概型

1、第二讲 等可能概型一 等可能概型的概述二 古典概率三 几何概率等可能概型的概述一、定义：样本空间中的每个样本点在一次试验后以相等的可能性出现，即即等可能性等可能性。二、注意：搞清楚样本空间，事件，基本事件的关系。 一. 古典概率 随机事件发生的可能性大小常用区间随机事件发生的可能性大小常用区间0，1中的中的一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为 p （A）。）。 自然地规定自然地规定 P（）=1， P（）=0。 0p(A) 1 （2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可能性相同。能性相同。 这两个试验的共同特点是：这两

2、个试验的共同特点是： 每次试验只有有限种可能的试验结果，每次试验只有有限种可能的试验结果，即即样本点总数有限样本点总数有限。 每次试验中各基本事件出现的可能性是每次试验中各基本事件出现的可能性是相同的，即相同的，即等可能性等可能性。 在概率论中，把具有上述两个特点在概率论中，把具有上述两个特点的试验叫做古典型试验，它的数学模的试验叫做古典型试验，它的数学模型称为古典概型。型称为古典概型。 在古典概型中，记在古典概型中，记n为样本点总个数，为样本点总个数，如果事件如果事件A中包含中包含nA个样本点，（或个样本点，（或称有利于称有利于A的样本点个数为的样本点个数为nA ）那么）那么规定规定 P（A

3、）= nA/n例例1. 盒中装有盒中装有5个球，三白两红，从中个球，三白两红，从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？任取一个，问：取到白球的概率是多少？若从中任取两个，问两个球全是白球的概若从中任取两个，问两个球全是白球的概率是多少？（考虑率是多少？（考虑50个球的情形：计数原个球的情形：计数原理和排列组合）理和排列组合）解：解：P =3/5P2=3*2/(5*4)=3/10 1. 从从n个元素中任取个元素中任取k个，有个，有 种不同的结果；种不同的结果； 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法，一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法，一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加一件

4、事情有若干种方法来完成，则互相之间用加法，这就是所谓的计数原理。法，这就是所谓的计数原理。121!12 1!knn nnnknCk kknk例例2. 一个盒子中装有一个盒子中装有10个晶体管，其中个晶体管，其中3个是不合格品。从这个盒子中依次随机地个是不合格品。从这个盒子中依次随机地取取2个，在有放回与无放回抽样的个，在有放回与无放回抽样的二种二种情况情况下求下求2个中恰有个中恰有1个是不合格品的概率。个是不合格品的概率。 注意抽样的区别：有放回抽样和无放回注意抽样的区别：有放回抽样和无放回抽样。抽样。有放回的情况下有放回的情况下 p=(73+37)/102=0.42在无放回的情况下在无放回的

5、情况下 p=(73+37)/(109)=0.47例例3. 两封信随机地向四个邮筒投寄，求两封信随机地向四个邮筒投寄，求A 第二个邮筒恰好被投入一封信的概率第二个邮筒恰好被投入一封信的概率，B 两封信在同一邮筒的概率。两封信在同一邮筒的概率。解：解：P(A)=(3+3)/42=3/8P(B)=4/42=1/4 在古典概型中显然有在古典概型中显然有 P()=(n-nA)/n=1-p(A)例例4，掷两颗骰子，试求出现的点，掷两颗骰子，试求出现的点数之和小于数之和小于10的概率。的概率。解：样本空间共含解：样本空间共含36个样本点，点数之个样本点，点数之和大于等于和大于等于10含样本点含样本点(5，5

6、），（），（4，6），），（6，4），（），（5，6），（），（6，5），（），（6，6）共共6个。个。P=1-6/36=5/6 例例5，某城市的电话号码升为，某城市的电话号码升为6位数，且第一位为位数，且第一位为6或或8。求。求（1）随机抽取的一个电话号码为不重）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（复的六位数的概率；（2）随机抽取的电话号码）随机抽取的电话号码末尾数是末尾数是8的概率。的概率。 解（解（1） （2）2 9 8 7 6 50.15122 10 10 10 10 10P 6888452 100.12 10P 例例6 （女士品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别（女士

7、品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在10次试验中次试验中都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？ 每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶后放茶，十次试验共有后放茶，十次试验共有 不同结果。不同结果。 而而10次都正确的结果只有次都正确的结果只有 一种！一种！102 222 101 1111 解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是猜测，则每次试验的两个可能结果：茶牛奶

8、或猜测，则每次试验的两个可能结果：茶牛奶或牛奶茶是等可能的牛奶茶是等可能的 该女士在次试验中都正确的辨别出该女士在次试验中都正确的辨别出来，则来，则 p p（）（）=1/2=1/21010=0.0009766=0.0009766 这是一个小概率事件这是一个小概率事件 概率论中概率论中“实际推断原理实际推断原理”: :一个小概率事件在一一个小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的次试验中实际上是不会发生的 因此按因此按“实际推断原理实际推断原理”事件实际不会发生，事件实际不会发生，这与实际试验结果相矛盾，因此假设这与实际试验结果相矛盾，因此假设“女士纯粹是女士纯粹是猜测猜测”不成立，有理由断言该

9、女士的说法是可信不成立，有理由断言该女士的说法是可信的的 例例7 （抽奖券问题）某超市有奖销售，投（抽奖券问题）某超市有奖销售，投放放n张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一张。求第张。求第k位顾客中奖的概率。（无放回抽位顾客中奖的概率。（无放回抽样）（样）（1kn）二. 几何概率 例：在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上例：在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上区间区间0，3）上的各数字，旋转该陀螺，考）上的各数字，旋转该陀螺，考察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为2 的概率。的概率。 以等可能性为基础，借助于几何上的度量以等可能性为基

10、础，借助于几何上的度量来合理地规定的概率，称为几何概率。来合理地规定的概率，称为几何概率。 一般地，设样本空间是某个区域一般地，设样本空间是某个区域（直线、（直线、平面或空间）每个样本点等可能地出现，平面或空间）每个样本点等可能地出现，规定事件规定事件A的概率为的概率为 P（A）=m（A）/m（） 这里这里m（）分别表示长度、面积或体积。）分别表示长度、面积或体积。 例例8，在半圆区域，在半圆区域0y 内随机地投内随机地投入一点，求该点与原点的连线与入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角轴的夹角不超过不超过 的概率的概率. 22axx/402a例例9 在单位圆在单位圆O的一条直径的一条直径MN上随机上随机地取一点地取一点Q，试求过，试求过Q且与