有效数字和不确定度

1、 讲授内容讲授内容v1.物理实验的课程设置及考核办法物理实验的课程设置及考核办法v2.与测量和误差相关的基础知识与测量和误差相关的基础知识v3.有效数字的概念及运算法则有效数字的概念及运算法则v4.测量结果的评定测量结果的评定v5.常用的数据处理方法常用的数据处理方法绪论绪论一一. .为什么开设为什么开设大学物理实验大学物理实验课课v物理学是许多应用学科的基础物理学是许多应用学科的基础v物理学本身是一门实验科学物理学本身是一门实验科学 如电磁相互作用的发现，电磁波理论的确立。如电磁相互作用的发现，电磁波理论的确立。v物理实验中应用到的实验知识、方法和技能是物理实验中应用到的实验知识、方法和技能

2、是其他科学实验的基础。其他科学实验的基础。 二二. .物理实验课的目的及任务物理实验课的目的及任务v通过物理量测量，应用物理知识，验证理论，加深通过物理量测量，应用物理知识，验证理论，加深对物理学原理和规律的认识；对物理学原理和规律的认识；v学习实验基本知识、基本方法和基本技能（三基），学习实验基本知识、基本方法和基本技能（三基），培养科学实验能力（实验方法、测量技能、分析处培养科学实验能力（实验方法、测量技能、分析处理数据）；理数据）；v养成实事求是的科学态度，培养创新意识。养成实事求是的科学态度，培养创新意识。 达到目的：达到目的：会使用仪器，提高动手能力，善于总结会使用仪器，提高动手能力

3、，善于总结实验，求实创新。实验，求实创新。v任务：定性观察物理现象；定量测定物理量的大小。任务：定性观察物理现象；定量测定物理量的大小。三三. .物理实验课的安排物理实验课的安排v分二学期完成分二学期完成v第一学期为基础实验，共第一学期为基础实验，共8次，一次理论课次，一次理论课（不确定度及数据处理）和（不确定度及数据处理）和7个实验；着重基个实验；着重基础实验技能和习惯的培养础实验技能和习惯的培养v第二学期为自选题目，分为三个单元：基础性第二学期为自选题目，分为三个单元：基础性物理实验、综合性物理实验和设计性实验，共物理实验、综合性物理实验和设计性实验，共几十个题目，同学们可根据自己的学分、

4、专业几十个题目，同学们可根据自己的学分、专业或兴趣选做。或兴趣选做。四四. .三个教学环节及基本要求三个教学环节及基本要求三个教学环节三个教学环节:v 1.课前预习课前预习实验能否取得主动的关实验能否取得主动的关键键。v 2.课堂实验。课堂实验。v 3.课后报告课后报告实验的总结实验的总结。v预习报告预习报告 实验名称：实验名称： 实验目的：通过实验达到的要求。实验目的：通过实验达到的要求。 实验原理和内容：实验的理论依据，写实验原理和内容：实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要推导过程。出待测量计算公式的简要推导过程。忌会三条：忌会三条： a.照抄讲义照抄讲义 b.只写一个代数式只写一个代

5、数式 c.无图无图 实验仪器：列主要仪器的名称、型号、规格等。实验仪器：列主要仪器的名称、型号、规格等。 操作步骤：只写主要的、重要的。操作步骤：只写主要的、重要的。 此外，在原始数据记录纸上画好表格。此外，在原始数据记录纸上画好表格。注意：注意： 未写预习报告，取消本次实验资格；未画表未写预习报告，取消本次实验资格；未画表 格，扣部分预习分。格，扣部分预习分。课堂实验课堂实验v带上教材、写好预习的实验报告，还有坐标纸、计带上教材、写好预习的实验报告，还有坐标纸、计算器等。算器等。v教师先简要讲解。教师先简要讲解。v学生调试仪器、测试记录数据（学生调试仪器、测试记录数据（用钢笔、圆珠笔填用钢笔

6、、圆珠笔填写，不得随意涂改写，不得随意涂改）。）。 注意注意遵守实验室规则，了解实验仪器的使用及注遵守实验室规则，了解实验仪器的使用及注意事项。意事项。v注意：注意：原始数据（用钢笔或中性笔填写）须经教师原始数据（用钢笔或中性笔填写）须经教师检查签字后才能离开，离开前应整理实验仪器，打检查签字后才能离开，离开前应整理实验仪器，打扫卫生。扫卫生。课后完成实验报告课后完成实验报告v课后报告：课后报告：v实验数据记录实验数据记录 老师签字的原始数据附在实验报告上，切忌课后涂改数据老师签字的原始数据附在实验报告上，切忌课后涂改数据v数据处理数据处理 计算平均值、不确定度，写出最后的测量结果，作图。计算

7、平均值、不确定度，写出最后的测量结果，作图。 注意：数据计算要求写出中间过程，作图必须用坐标纸注意：数据计算要求写出中间过程，作图必须用坐标纸v结果分析结果分析 一定要有实验的结论和对实验结果的讨论、分析、建议一定要有实验的结论和对实验结果的讨论、分析、建议或完成思考题。或完成思考题。 五五. .成绩考核办法成绩考核办法v每次实验报告的成绩平均，即为学期成绩；每次实验报告的成绩平均，即为学期成绩；v上课时必须向老师提交预习报告，未预习取消实验资格，上课时必须向老师提交预习报告，未预习取消实验资格，成绩记成绩记0分；分；v实验必须按时。迟到一分钟扣一分，实验必须按时。迟到一分钟扣一分，15分钟以

8、上则取消实分钟以上则取消实验资格，成绩记验资格，成绩记0分；分；v编造、抄袭原始数据或在报告中涂改原始数据，成绩记编造、抄袭原始数据或在报告中涂改原始数据，成绩记0分；预约实验而缺席，成绩记分；预约实验而缺席，成绩记0分；分；v成绩为成绩为0分或不及格者，在实验室有空位并获老师同意，分或不及格者，在实验室有空位并获老师同意，给予一次重做机会，给予一次重做机会， 成绩按分数的成绩按分数的80%计算，但最高不计算，但最高不超过超过75分。分。v迟交报告者，只按照迟交报告者，只按照80%记分。记分。v学生不按要求操作造成实验仪器损坏者，除按学校规定赔学生不按要求操作造成实验仪器损坏者，除按学校规定赔

9、偿外，还可视情况扣除操作分。偿外，还可视情况扣除操作分。实验报告的上交和领取实验报告的上交和领取v实验报告在实验完成的下一周星期一之前交，分实实验报告在实验完成的下一周星期一之前交，分实验投入验投入A座座3楼大厅专用实验报告箱内。几周后，楼大厅专用实验报告箱内。几周后，可在四楼实验柜中分班级取回；可在四楼实验柜中分班级取回；v报告至少保存一学期，以备在成绩有误时核对查询。报告至少保存一学期，以备在成绩有误时核对查询。v今天课后完成三页题，三周星期一前交到三楼楼道今天课后完成三页题，三周星期一前交到三楼楼道的不确定度报告箱内，以后的实验按实验题目交。的不确定度报告箱内，以后的实验按实验题目交。v

10、实验报告纸到中心办公室实验报告纸到中心办公室323购买，电话购买，电话85990273测量不确定度与数据处理测量不确定度与数据处理v一一.测量误差测量误差v1.测量：测量：用实验方法找出物理量的量值叫测量，即用实验方法找出物理量的量值叫测量，即把待测量与作为计量单位的同类已知量相比较，找把待测量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出待测量的大小，比较的过程叫测量。出待测量的大小，比较的过程叫测量。 实验数据：比较的结果记录下来实验数据：比较的结果记录下来 原始数据（未经计算，须经老师签字）原始数据（未经计算，须经老师签字） 正确记录数据：待测量的名称、大小、单位、准确正确记录数据：待测量的名称

11、、大小、单位、准确度度 如用游标卡尺测量钢球的直径如用游标卡尺测量钢球的直径测量的分类测量的分类v按测量方法按测量方法分为：直接测量和间接测量分为：直接测量和间接测量 如通过测量钢球直径如通过测量钢球直径D（直接测量）来计算钢（直接测量）来计算钢球体积球体积V=D3/6（间接测量）（间接测量）v按测量条件按测量条件分为：重复性测量（等精度测量）分为：重复性测量（等精度测量）和复现性测量（非等精度测量）和复现性测量（非等精度测量）v按测量次数按测量次数分为：单次测量和多次测量分为：单次测量和多次测量 2.2.误差误差v概念概念 误差误差 )()(0真值测量值NNNN有正负大小之分，称绝对误差有正

12、负大小之分，称绝对误差 注意：绝对误差不是误差的绝对值注意：绝对误差不是误差的绝对值如测如测g 单摆单摆 三线摆三线摆 气垫导轨气垫导轨 ms-2 9.782 9.795 9.811误差存在于一切实验过程中，并因主观因素的影响，误差存在于一切实验过程中，并因主观因素的影响，客观条件的干扰及实验技术不同而不同。客观条件的干扰及实验技术不同而不同。 讨论误差目的讨论误差目的 v对自己的实验结果进行评定，即置信度，置信对自己的实验结果进行评定，即置信度，置信度越高，测量越准确度越高，测量越准确v分析测量中产生误差原因，找寻减小误差的方分析测量中产生误差原因，找寻减小误差的方向，采取措施尽可能减小误差

13、。如合理设计实向，采取措施尽可能减小误差。如合理设计实验、选择仪器、采用一些测量方法（如比较法、验、选择仪器、采用一些测量方法（如比较法、复称法）、修正公式、调节仪器等，都是为了复称法）、修正公式、调节仪器等，都是为了减小测量误差。减小测量误差。v对测量中未能消除的误差作出估计。对测量中未能消除的误差作出估计。 误差分类及来源误差分类及来源v根据误差性质及产生原因，可将误差分为系统根据误差性质及产生原因，可将误差分为系统误差和随机误差。误差和随机误差。v系统误差系统误差v定义：定义：在一定条件下多次测量同一量时，测量在一定条件下多次测量同一量时，测量结果总向一个方向偏离，其数值一定或按一定结果

14、总向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。规律变化。 特点：具规律，大小、正负恒定特点：具规律，大小、正负恒定来源来源v仪器误差：仪器误差：仪器本身缺陷仪器本身缺陷 或没按规定使用仪器造成。或没按规定使用仪器造成。如仪器零点不准、停表走得快、电表放置方式不对。如仪器零点不准、停表走得快、电表放置方式不对。v理论误差：理论误差：理论公式本身的近似性理论公式本身的近似性 或实验条件不能达到所规定的要求或实验条件不能达到所规定的要求 如：单摆如：单摆)sin411 (22gLT近似为近似为 gLT2光栅光栅 dsin=k要求平行光垂直入射不满足要求平行光垂直入射不满足 v观测误差：观测误差：由观

15、测者本人生理或心理特点造由观测者本人生理或心理特点造成，如停表计时或读数。成，如停表计时或读数。v方法误差：方法误差：电流表外接电流表外接 1)1 (VxxRRRR电流表内接电流表内接 1)1 (xAxRRRR2个特点：具规律、可减小或消除。个特点：具规律、可减小或消除。系统误差又分：系统误差又分： 已定系统误差，如千分尺的零差已定系统误差，如千分尺的零差 未定系统误差，如给定级别的电表未定系统误差，如给定级别的电表 减小方法减小方法v校正仪器：校正仪器：如校零或记下零读数修正。如校零或记下零读数修正。v改进实验方法：改进实验方法：如对称测量如对称测量v减小理论误差：减小理论误差：在公式中引入

16、一些修正项，如在公式中引入一些修正项，如单摆测单摆测g，须考虑摆球的体积大小及空气的浮，须考虑摆球的体积大小及空气的浮力及阻力；力及阻力；v调试仪器调试仪器 调试仪器重要调试仪器重要减小系统误差减小系统误差 随机误差随机误差v随机误差又称偶然误差随机误差又称偶然误差 由不可预测的随机因素造成由不可预测的随机因素造成v定义：定义：在一定条件下，多次测量同一量时，误在一定条件下，多次测量同一量时，误差的大小、正负以不可预知的方式变化（时大差的大小、正负以不可预知的方式变化（时大时小，时正时负，无确定性）。时小，时正时负，无确定性）。v特点：误差出现无规律，不能消除特点：误差出现无规律，不能消除来源

17、来源v操作者感官分辨率操作者感官分辨率的不确定的不确定v仪器性能仪器性能的波动的波动v测量环境的干扰测量环境的干扰v其它偶然因素其它偶然因素如电压不稳定，操作读数时的视差影响如电压不稳定，操作读数时的视差影响但当测量次数很多时，大部分随机误差服从一定但当测量次数很多时，大部分随机误差服从一定的统计规律（正态分布），后面讲。的统计规律（正态分布），后面讲。 可用可用增加测量次数的方法来减小随机误差增加测量次数的方法来减小随机误差，但测，但测量次数不可能无限多，故不能完全消除。量次数不可能无限多，故不能完全消除。v随机误差：随机误差： 随机性随机性 可通过多次测量来减小可通过多次测量来减小v系统误

18、差：确定性系统误差：确定性 可用特定方法来消除可用特定方法来消除v总之，误差的性质不同，来源不同，处理方法总之，误差的性质不同，来源不同，处理方法不同。有时系统误差与随机误差可以加以区别，不同。有时系统误差与随机误差可以加以区别，有时又难以划分。但实验结果的总误差是随机有时又难以划分。但实验结果的总误差是随机误差与系统误差。误差与系统误差。误差的几个相关概念误差的几个相关概念v精密度：测量数据分布的集中程度，反映随机误差的大小精密度：测量数据分布的集中程度，反映随机误差的大小v准确度：测量平均值与真值的符合程度，反映系统误差的大准确度：测量平均值与真值的符合程度，反映系统误差的大小小v精确度：

19、精密度和准确度的综合反映，精确度高表明测量数精确度：精密度和准确度的综合反映，精确度高表明测量数据集中分布在真值附近据集中分布在真值附近 精密度高精密度高准确度高准确度高精确度高精确度高一般，精度多指精确度一般，精度多指精确度二二. .有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则v1.有效数字的概念有效数字的概念v有效数字就是实验测量中记录的有意义的数有效数字就是实验测量中记录的有意义的数字，它在一定程度上表明了测量误差的存在，字，它在一定程度上表明了测量误差的存在，如用米尺测物体的长度，如图所示。如用米尺测物体的长度，如图所示。v准确读出的是可靠数字，末尾一位是估读出准确读出的是可靠数字，末尾一

20、位是估读出来的，不准确的，叫欠准数（或可疑数），来的，不准确的，叫欠准数（或可疑数），虽欠准，但有意义，使测量值更接近真实值。虽欠准，但有意义，使测量值更接近真实值。v有效数字几个可靠数字有效数字几个可靠数字+末尾末尾12位可疑位可疑数字数字物体的长度在物体的长度在222323之间，可靠数字是之间，可靠数字是22，可疑数字为估读，可疑数字为估读， 0.6 或或0.7，0.8，测量到物体长度的有效数字为测量到物体长度的有效数字为22.6，22.7或或22.8。1002001020物体的长度为物体的长度为24，可靠数字是，可靠数字是24，可疑数字为，可疑数字为0.0，测量到物，测量到物体长度的有效

21、数字为体长度的有效数字为24.0，末尾的末尾的0不能省略不能省略。v6.53769cm，可疑数后的数字无意义，不能，可疑数后的数字无意义，不能在报告中出现；在报告中出现；v估计数为零，也不能舍去，如估计数为零，也不能舍去，如6.50cm，不能，不能写成写成6.5cm。v可疑数字的位置由使用该种仪器测量时的绝可疑数字的位置由使用该种仪器测量时的绝对误差确定。对误差确定。v可靠数字在测量仪器的刻度上获得，可疑数可靠数字在测量仪器的刻度上获得，可疑数字在测量仪器的刻度之间估计读数。例如上字在测量仪器的刻度之间估计读数。例如上页图。页图。2.2.有效位数有效位数v有效数字：有意义数码的个数。有效数字：

22、有意义数码的个数。 如如6.53cm， 3位有效数字位有效数字v “0”在有效数字中在有效数字中v中间或末尾的中间或末尾的“0”应算有效位数应算有效位数 如如2.008cm 4位位 3.6120Kg 5位位 8.0200103g 5位位v注意：注意：不能在数字的末尾随便加不能在数字的末尾随便加“0”或减或减“0”。 数学数学6.42=6.420=6.4200 物理实验物理实验6.426.4206.4200v有效数字前面的有效数字前面的“0”不算有效位数不算有效位数 0.0089m 2位位 0.0375cm 3位位v 单位换算有效位数不变单位换算有效位数不变5.03cm=0.0503m=50.3

23、mm 仍仍3位位 注意：大换小易出问题注意：大换小易出问题5.03cm50300mv数据过大或过小时，常用数据过大或过小时，常用科学计数法科学计数法（数量级表示法）（数量级表示法） 10n 单位单位 12.3m=1.23104mm 电阻值为电阻值为30000 保留保留3位有效数字时写成位有效数字时写成3.00104v 数显仪器所显示的数字，全部属于有效数字。数显仪器所显示的数字，全部属于有效数字。有效位数与测量工具精度及被测物大小有关有效位数与测量工具精度及被测物大小有关v对同一被测物：对同一被测物：高精度仪器，测量有效位数多高精度仪器，测量有效位数多 低精度仪器，测量有效位数少低精度仪器，测

24、量有效位数少 如如测量同一个长约测量同一个长约2的物体的物体用用mm刻度的米尺测得数据为刻度的米尺测得数据为2.01 3位位 用用20分度的游标卡尺测得数据为分度的游标卡尺测得数据为2.020 4位位 v对同一精度仪器：对同一精度仪器：被测物体大，有效位数多被测物体大，有效位数多 被测物体小，有效位数少被测物体小，有效位数少3.3.直接测量的有效数字记录直接测量的有效数字记录v读数的一般规则：读至仪器误差所在位置。读数的一般规则：读至仪器误差所在位置。 例：米尺测长度例：米尺测长度 当物体长度在当物体长度在35mm与与36mm之间时，读数为之间时，读数为35.mm；当读数正好为；当读数正好为3

25、5mm时，读数为时，读数为35.0mm。 例：用例：用0.1级量程为级量程为100mA电流表测电流电流表测电流 当指针在当指针在82mA与与83mA之间时，读为之间时，读为82.mA；当指针正好为当指针正好为82mA时，读为时，读为82.0mA。mA1 . 0%1 . 0100仪v对于对于1.0级量程为级量程为100mA电流表电流表mA1%0 . 1100仪当指针在当指针在82mA与与83mA之间时，读为之间时，读为82mA或或83mA；当指针正好为；当指针正好为82mA时，读为时，读为82mA。注意要点注意要点v测量数据的末位是欠准数，并与仪器误差位对齐，测量数据的末位是欠准数，并与仪器误差

26、位对齐，即使估读的是即使估读的是“0”也必须记下，也必须记下， 仪器误差在哪一位发生，欠准位数记录到哪一位，仪器误差在哪一位发生，欠准位数记录到哪一位，不能多记，也不能少记。不能多记，也不能少记。 如用米尺测某一物体长度如用米尺测某一物体长度3.00cm 不同仪器测量，误差位不同，对同一物理量，有效不同仪器测量，误差位不同，对同一物理量，有效位数越多，表明测量结果越精确位数越多，表明测量结果越精确v连续可读仪器：连续可读仪器： 要估读要估读误差位一般在估读位误差位一般在估读位 非连续可读仪器：非连续可读仪器：不估读不估读误差位一般在最小刻度位误差位一般在最小刻度位 数字仪器：数字仪器：全部读全

27、部读4.4.有效数字的运算法则有效数字的运算法则v近似计算近似计算v加减法加减法 间接测量的计算结果也只能保留间接测量的计算结果也只能保留12欠准数，物理欠准数，物理实验通常只取实验通常只取1位位 例例 12.53+0.3421=12.8721=12.87v结论：结论：和或差的结果的欠准位置（即末位）与参与和或差的结果的欠准位置（即末位）与参与运算的各量中欠准位置最高者相同。运算的各量中欠准位置最高者相同。 例例 32.1+26.653.926=54.8v推论：推论：和差计算时，选择具有同等精度的仪器最为和差计算时，选择具有同等精度的仪器最为合理合理 乘除法乘除法 例例 4.11811.2=4

28、6.1 2 1 2=46.1v结论：结论：积或商的结果的有效位数一般与参积或商的结果的有效位数一般与参与运算的各量中有效位数最少者相同与运算的各量中有效位数最少者相同 例例 5.34820.537643=0.00291v推论：推论：各量参与乘除运算时，应按使测量各量参与乘除运算时，应按使测量值有效位数相同的原则来选择仪器。值有效位数相同的原则来选择仪器。v如测载玻片体积如测载玻片体积 V=abc 厚厚2mm 宽宽20mm 长：长：200mmv 乘方、开方乘方、开方 一般与其底的有效位数相同一般与其底的有效位数相同 9.863=959 =3.676v 自然数（自然数（1，2，3）、无理数）、无理

29、数， ， 等等 可看成无穷多位可看成无穷多位 计算时取的值应比最少位数多取计算时取的值应比最少位数多取1位，这样使位，这样使结果更准确。结果更准确。368.492366. 621. 8345. 2142. 3124.2364422HDMN运算过程中，可以比上述规则多取一位，等计算出运算过程中，可以比上述规则多取一位，等计算出不确定度以后，再根据不确定度的所在位来确定最不确定度以后，再根据不确定度的所在位来确定最后结果的可疑位。后结果的可疑位。 有效数字的修约有效数字的修约v四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶v补充：数字修约的国家标准补充：数字修约的国家标准v规定：要修约的数大于规定：要修约的数大于5

30、时入，小于时入，小于5时舍，正时舍，正好等于好等于5时则视拟保留的最后一位是奇数时入，时则视拟保留的最后一位是奇数时入，偶数时舍。偶数时舍。 四则混合运算四则混合运算v按运算规则分级进行，每进行一级运算，按运算规则分级进行，每进行一级运算，按规定取舍按规定取舍v注意：不能按完计算器再取注意：不能按完计算器再取 例：例：524.50.05= 101.441.00+20.02= v524.50.05=1104v101.441.00+20.02 =101+1.26103 =0.101103+1.26103 =1.36103三三. .测量结果的不确定度测量结果的不确定度v不确定度的概念及其估算方法不确

31、定度的概念及其估算方法v测量结果的表达测量结果的表达v各种测量结果的评定各种测量结果的评定1.1.不确定度的概念不确定度的概念 在真值未知因而误差也未知的条件下，根据测量数在真值未知因而误差也未知的条件下，根据测量数据和测量条件按一定的理论方法对测量可能的误差据和测量条件按一定的理论方法对测量可能的误差范围作出判断。范围作出判断。v不确定度：测量的可能误差范围表明了测量结果不确定度：测量的可能误差范围表明了测量结果（近真值）的可疑程度。（近真值）的可疑程度。v由于测量误差存在而对被测量值不能肯定的程度。由于测量误差存在而对被测量值不能肯定的程度。v是指测量值（近真值）附近的一个小范围，是被测是

32、指测量值（近真值）附近的一个小范围，是被测量真值在某个量值范围内的评定。量真值在某个量值范围内的评定。v是测量质量的表征是测量质量的表征，不确定度小，测量结果可信赖，不确定度小，测量结果可信赖程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低。v不确定度比以前评定方法更科学、更全面不确定度比以前评定方法更科学、更全面 标准偏差：只包含统计误差标准偏差：只包含统计误差 不确定度：除包含统计误差，还包含非统计不确定度：除包含统计误差，还包含非统计误差误差v分类：分类：A类不确定度类不确定度：统计方法估算：统计方法估算 B类不确定度类不确定度：非统计方法估算：非统计方法

33、估算 如天平称质量：天平的变动性为如天平称质量：天平的变动性为A类不确定度类不确定度（随机误差），砝码的准确性、标尺刻度的准（随机误差），砝码的准确性、标尺刻度的准确性为确性为B类不确定度（仪器误差）。类不确定度（仪器误差）。v国际标准化组织（国际标准化组织（ISO）1993 测量不确定度测量不确定度表示指南表示指南v中国国家技术规范中国国家技术规范 JJF1059-1999 测量不测量不确定度评定与表示确定度评定与表示2.A 2.A 、B B类不确定度及合成不确定度类不确定度及合成不确定度 A A 类不确定度类不确定度v如随机误差，可通过统计方法估算出，如随机误差，可通过统计方法估算出，v设

34、对某物理量设对某物理量 进行了进行了n次重复测量，可证算术平次重复测量，可证算术平均值均值 是是 的最佳估计值，即的最佳估计值，即近真值近真值xxxniixnx11 对有限次，具随机性，当测量次数对有限次，具随机性，当测量次数n无限多时，无限多时，结果服从一定的统计规律结果服从一定的统计规律正态分布，如图正态分布，如图 222)(21)(uxexpx代表某一物理量的实测值；代表某一物理量的实测值；p(x)为测量值的概率分为测量值的概率分布；布；为数学期望值，横轴上任一点为数学期望值，横轴上任一点x-即为测量值即为测量值相应的随机误差分量；标准差相应的随机误差分量；标准差决定全部测量值的离决定全

35、部测量值的离散程度。图中阴影区域（散程度。图中阴影区域（-，+）的面积是随机）的面积是随机误差在误差在范围内的概率即范围内的概率即测量误差落在该区间内的测量误差落在该区间内的概率：概率：p68.3 v正态分布特点：正态分布特点：v单峰性：单峰性：小误差出现概率比大误差出现的概率大小误差出现概率比大误差出现的概率大v对称性：对称性：以以为对称轴。具有抵偿性，为对称轴。具有抵偿性， 取多次测量取多次测量的平均值有利于消减随机误差的平均值有利于消减随机误差v归一性：归一性： p(x) 函数具有归一性。函数具有归一性。 1)(dxxpuudxxp683. 0)(22954. 0)(uudxxp3399

36、7. 0)(uudxxp值越大，曲线越扁平。无论值越大，曲线越扁平。无论的值是多少，在区的值是多少，在区间（间（-，+）对）对p(x)积分的值等于积分的值等于0.683，即，即x值出现在该区间的几率或称该区间的置信概率为值出现在该区间的几率或称该区间的置信概率为68.3%。v 的不确定度：的不确定度： ix1)()(12nxxxSniii贝塞尔公式贝塞尔公式 实验标准差实验标准差ixS表测量结果的分散性表测量结果的分散性 式中偏差式中偏差 xxxii偏差不等于误差，但同样反映误差；误差不可计算，偏差不等于误差，但同样反映误差；误差不可计算，但偏差可计算，用偏差代替误差。但偏差可计算，用偏差代替

37、误差。 多次测量的平均值比单次测量更准确多次测量的平均值比单次测量更准确v 的不确定度（即的不确定度（即A类不确定度）：类不确定度）： x) 1()()()(21nnxxnxsxsniii为平均值的实验标准差。为平均值的实验标准差。)(xsn0)(xs时，时，n应充分多，一般应充分多，一般n5 ，对学生实验，对学生实验n3)(xSuA记为记为B B类不确定度类不确定度v不能用统计方法估算，一般由系统效应导致，它的不能用统计方法估算，一般由系统效应导致，它的来源比较多。来源比较多。v要完整、准确评定要完整、准确评定B类不确定度相当复杂，由于某些类不确定度相当复杂，由于某些仪器是非标准仪器，没定期

38、校正、没在规定条件下仪器是非标准仪器，没定期校正、没在规定条件下使用、同学们的经验所限等，定量评定使用、同学们的经验所限等，定量评定B类不确定度类不确定度很困难。很困难。v对一些简单实验，仪器误差视为对一些简单实验，仪器误差视为B类不确定度的主要类不确定度的主要来源。来源。v从仪器的极限误差估计从仪器的极限误差估计B类不确定度类不确定度v学生实验仪器未按规定按期校验，误差可能大学生实验仪器未按规定按期校验，误差可能大于出厂误差，而且误差要从最不利情况考虑，于出厂误差，而且误差要从最不利情况考虑，作为近似取作为近似取K=1 KUB仪K：13 仪BU仪器误差的确定仪器误差的确定 v由仪器的准确度表

39、示由仪器的准确度表示 如数字仪器，测量周期如数字仪器，测量周期0.01sv由仪器的准确度级别来计算由仪器的准确度级别来计算（电学仪器）（电学仪器） 指针式电表：指针式电表： %aAm仪Am：量程：量程 a：准确度级别：准确度级别 电阻箱：电阻箱： %aR示仪：测量值：测量值 示R例：电流表（例：电流表（0.5级）级） mA2 . 0%5 . 030仪电压表（电压表（0.1级）级） V008. 0%1 . 05 . 7仪v未给出仪器误差时（非电表）未给出仪器误差时（非电表） 连续可读仪器：连续可读仪器： 最小分度最小分度 非连续可读仪器：非连续可读仪器： 最小分度最小分度 例：温度计：最小分度例

40、：温度计：最小分度=1， 米尺：最小分度米尺：最小分度=1mm， 千分尺：最小分度千分尺：最小分度=0.01mm， 游标卡尺：游标卡尺：50分度分度 最小分度最小分度=0.02mm 电子秒表：最小分度电子秒表：最小分度=0.01s， 21仪仪mm5 . 0仪C5 . 0仪mm005. 0仪mm02. 0仪s01. 0仪合成不确定度合成不确定度 vA、B两类不确定度互不相关两类不确定度互不相关 标准不确定度标准不确定度 形式为方和根形式为方和根反映测量结果的可信赖程度反映测量结果的可信赖程度2222)()(仪xSuuxuBAc3.3.测量结果的表达测量结果的表达v测量某物体体积测量某物体体积V=

41、242.6cm3 35 . 0)(cmVuc按国家标准，测量结果可表示为：按国家标准，测量结果可表示为：a V=242.6cm3, 35 . 0)(cmVucb V=242.6（5）cm3c V=242.6（0.5）cm3d V=（242.60.5）cm3国内物理学界习惯用国内物理学界习惯用d种表达方式种表达方式本课规定实验报告一律采用本课规定实验报告一律采用d种方式种方式 ncuxx10)(单位单位注意注意v意义：意义： 测量结果的标准表达式，给出了一个范测量结果的标准表达式，给出了一个范围围 ，表示待测量的真值落，表示待测量的真值落在在 之间的概率为之间的概率为68.3%，不要，不要误认为

42、真值为误认为真值为 或或 ，也不要误认，也不要误认为真值一定在为真值一定在 之间。之间。v近真值、不确定度、单位三要素缺一不可近真值、不确定度、单位三要素缺一不可)(cux)(cux )(cux )(cux )(cux )(cux)(cux )(cuxv规定规定 只取只取1位或位或2位有效位数位有效位数。（学生实验只。（学生实验只取取1位即可，多余位数按四舍五入）位即可，多余位数按四舍五入） 如如 v 与与 的的三个一致三个一致：单位一致、数量级一致，：单位一致、数量级一致，近真值与不确定度的末位一致（即近真值与不近真值与不确定度的末位一致（即近真值与不确定度二者的末位对齐）确定度二者的末位对

43、齐） 所以所以 的末位数由的末位数由 决定决定cu00624. 0cu006. 0cuxcuxcu取取例子例子vL=76.240mm =2mm L=（762）mmv改错：改错：mmd321002043. 010126.4378Lummd210)2 . 01 .4378(mm310)02. 081.437(或或mmd321002043. 010126.4378相对不确定度相对不确定度 v常用于比较不同测量结果的好坏，常用于比较不同测量结果的好坏，E越小测越小测量结果质量越好。量结果质量越好。v规定：规定：取取2位有效数位有效数v注意：注意：不带单位，常用百分数表示不带单位，常用百分数表示v评价测

44、量结果好坏，只能看相对不确定度的评价测量结果好坏，只能看相对不确定度的大小大小%100)(xxuEcv单纯从单纯从 、 不能衡量测量结果好坏不能衡量测量结果好坏gm2011cu2cu%10%100111muEc%25. 0%100222muEc2m的测量质量较好。的测量质量较好。 例：例：guc21gm20002guc52v可从可从E求求 ：cuExuc评价测量结果，有时用评价测量结果，有时用百分偏差百分偏差表示表示%100公公xxxBB：规定取：规定取2位有效位数、不带单位、百分数。位有效位数、不带单位、百分数。表示测量值偏离公认值的程度，表示测量值偏离公认值的程度，B越小，越小，测量的准确

45、度越高。测量的准确度越高。：已知的准确度较高的公认值，如：已知的准确度较高的公认值，如公x成都g3.3.各种测量结果的估计方法单次测量单次测量v有些测量较准确，随机效应影响很小或最终结果中有些测量较准确，随机效应影响很小或最终结果中该物理量影响较小，上述情况只需进行单次测量，该物理量影响较小，上述情况只需进行单次测量，以仪器误差作为测量的不确定度以仪器误差作为测量的不确定度例：用例：用20分度的游标卡尺单次测量某物的长分度的游标卡尺单次测量某物的长L，测量，测量值为值为3.750cm。此单次测量的结果应写为：。此单次测量的结果应写为：L=（3.7500.005）cm 仪测 xx0 xS单位单位

46、多次直接测量多次直接测量v计算近真值计算近真值 ：v xniixnx11中间过程可多保留一位中间过程可多保留一位A类不确定度：类不确定度： ) 1()()(12nnxxxSnii可简写为可简写为 xsvB类不确定度：类不确定度：v标准不确定度：标准不确定度：v测量结果的表达式：测量结果的表达式： 仪)(xu可简写为可简写为 Bu22)(BAcusxu可简写为可简写为 22Bxxusunxux10)(单位单位 例子例子v例例1 用毫米刻度的米尺，测某物体长度用毫米刻度的米尺，测某物体长度5次，其测次，其测量值分别为：量值分别为：L（cm）=53.27，53.23，53.29，53.24，53.2

47、1，试计算合成不确定度，并写出测量，试计算合成不确定度，并写出测量结果。结果。v解：解：计算计算 计算计算A类不确定度类不确定度L5125.5351iiLL01. 04504. 001. 004. 002. 002. 0) 15(5)(2222251iiLxxS 计算计算B类不确定度类不确定度 标准不确定度标准不确定度 测量结果测量结果 L=（53.250.05）cm 例例2 书书P19例子例子cmuB05. 0仪05. 0005. 0001. 02222BLLuSu间接测量间接测量v函数关系函数关系 N=F（x，y，z） 其中其中x，y，z为已测得的数据为已测得的数据v间接测量的间接测量的

48、与与 由直接测量结果通过函数式由直接测量结果通过函数式计算出来计算出来v计算并写出各直接测定量的测量结果计算并写出各直接测定量的测量结果v计算间接测量的近真值计算间接测量的近真值) y (， zxFN xuxxyuyyzuzzNcuv间接测量的标准不确定度间接测量的标准不确定度 上式为不确定度的传播公式，各直接测量的上式为不确定度的传播公式，各直接测量的u乘函数对各自变量的偏导，再求方和根。乘函数对各自变量的偏导，再求方和根。v注意：注意：最基本式子，可计算所有最基本式子，可计算所有 ,方和根形方和根形式式v偏导数的求法偏导数的求法 ：例例Nu322zxyN 322zyxN34zxyyN426

49、zxyzN222zyxNuzFuyFuxFuv当函数式为积商（或含和差的积商形式）或当函数式为积商（或含和差的积商形式）或较复杂的函数，为运算方便，也较复杂的函数，为运算方便，也可先求相对可先求相对不确定度不确定度v测量结果：测量结果： 单位单位NENNENuNuNN222lnlnlnzyxNuzFuyFuxFE例子例子v例例1 已知电阻已知电阻 ， ，求它们的串联电阻求它们的串联电阻R及合成不确定度及合成不确定度v解：解： 5 . 02 .501R5 . 08 .1492RRu0 .2008 .1492 .5021RRR11RR12RR7 . 05 . 05 . 0222221RRRuuuR

50、=（200.00.7） 00mmm已知已知 m=（27.060.02）g m0=（17.030.02）g 0=（0.99970.0003）g/cm3 利用下列函数关系求利用下列函数关系求的测量结果的测量结果 。 300/697. 29997. 003.1706.2706.27cmgmmm 0020002000,mmmmmmmmmmm 2002002ccccumummumu 2020022000mummmmummmcc =（2.6970.006） g/cm3 32222/006. 003.1706.2702. 09997. 006.2703.1706.2702. 09997. 003.17cmg

51、v例例3 用物距象距法求凸透镜的焦距用物距象距法求凸透镜的焦距 已知：已知： 求：求： 解：解： 若用传播基本公式，数学计算相当复杂，先对若用传播基本公式，数学计算相当复杂，先对函数取自然对数函数取自然对数cm05. 012.40cmv06. 007.68?fufcmvvf24.2507.6812.4007.6812.40)ln(lnlnlnvvf)(11lnvvvf)(11lnvvvvvfcmEfuff02. 0105 . 824.254cmf)02. 024.25(42222105 . 8)()(lnlnvvfuvvuvvuvfufE复现性测量复现性测量v复现性测量：复现性测量：改变测量条

52、件所做的多次测量改变测量条件所做的多次测量 例：已测得同一电阻两端施加不同电压例：已测得同一电阻两端施加不同电压U 时产时产生的电流生的电流 I ，求电阻的阻值，求电阻的阻值R （R = U / I）。 可求各次测量对应的可求各次测量对应的 ，再求，再求 。v复现性测量是改变测量条件做的多次测量，其复现性测量是改变测量条件做的多次测量，其A类不确定度已经包含某些未定系统误差类不确定度已经包含某些未定系统误差v测量结果测量结果iR )(RSRRRv注意：注意：复现性测量不须考虑复现性测量不须考虑v如复摆为复现性测量如复摆为复现性测量 BuLTg224)(2smsggg 例子例子 例：用伏安法测电

53、阻，得出以下数据，求测量结果例：用伏安法测电阻，得出以下数据，求测量结果次数次数1 12 23 34 4V V（v v）1.501.502.002.002.502.503.003.00I I（A A）0.1560.1560.1980.1980.2440.2440.3110.311计算计算R R值：值：R R1 1= R= R2 2= = R R3 3= R= R4 4= =629156050111.IV1010198000222.IV2510244050233.IV659311000344.IV近真值：近真值： = 9.91= 9.91A A类不确定度：类不确定度： S SR R = 0.2

54、= 0.2测量结果：测量结果： R=(9.9R=(9.90.2)0.2)65. 925.1010.1062. 9(41R34)91. 965. 9 ()91. 925.10()91. 910.10()91. 962. 9 (2222各种实际测量中各种实际测量中不确定度的计算或估算不确定度的计算或估算v单次直接测量：只估算单次直接测量：只估算B类不确定度类不确定度v多次直接测量：多次直接测量： u按照合成不确定度计算按照合成不确定度计算v间接测量：通过计算解析式的全微分方和间接测量：通过计算解析式的全微分方和根求得根求得 v复现性测量：只算复现性测量：只算A类不确定度类不确定度四四. .常用数据

55、处理方法常用数据处理方法v物理实验中常用的数据处理方法有：列表法、作物理实验中常用的数据处理方法有：列表法、作图法、图解法、最小二乘法等。见图法、图解法、最小二乘法等。见P26v列表法：列表法： 要求：要把原始数据和必要的中间运算过程的结要求：要把原始数据和必要的中间运算过程的结果列入表中；果列入表中； 必须标明每个符号所代表的物理意义，并写明单必须标明每个符号所代表的物理意义，并写明单位；位； 表中的数据要正确的反映测量结果的有效数字表中的数据要正确的反映测量结果的有效数字v作图法：作图法： 作图规则：作图一定用坐标纸，测量数据作图规则：作图一定用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠

56、的，即图纸中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。而误差位在小格之间估计。 标明坐标轴和图名标明坐标轴和图名 标点标点 连线：光滑，连线：光滑，注意剔除注意剔除“坏点坏点”v用数学表达式来描述一种物理现象，是最为用数学表达式来描述一种物理现象，是最为精确和简明的方式。获得经验公式的方法很精确和简明的方式。获得经验公式的方法很多，常用以下两种：多，常用以下两种：v图解法：图解法：直观简便、但主观随意性较大直观简便、但主观随意性较大v线性回归线性回归最小二乘法及其相关系数最小二乘法及其相关系数 r 定义：由数理统计的方法处理数据，通过计定义：由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。算确定其函数关系的方法。 是较准确的计算方法，介绍用最小二乘法是较准确的计算方法，介绍用最小二乘法进行一元线形回归。进行一元线形回归。图解法图解法 实验曲线作出后，可由曲