电路分析中用到的电感元件的特性

1、 常用的几种电感器常用的几种电感器72 电电感感元件元件 如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系由关系由i 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号和特性曲线如图感元件。电感元件的符号和特性曲线如图712(a)和和(b)所所示。示。 (a) 电感元件的符号电感元件的符号 (c) 线性时不变电感元件的符号线性时不变电感元件的符号 (b) 电感元件的特性曲线电感元件的特性曲线 (d) 线性时不变电感的特性曲线线性时不变电感的特性曲线图图7-12一、一、 电感元件电感元件 其特

2、性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图感元件的符号与特性曲线如图(c)和和(d)所示，它的特性曲线所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为)97( Li 式中的系数式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨感，单位是亨利利,用用H表示。表示。图图7-12 实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围

3、变实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微亨亨( H ，1 H=10-6H) ,低频滤波电路中使用扼流圈的电感可低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图713所示。所示。 图图913 电感器的几种电路模型电感器的几种电

4、路模型 二、电感的电压电流关系二、电感的电压电流关系 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到参考方向的情况下，可以得到)107(ddd)(ddd)( tiLtLittu 此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化在直流电

5、源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压电各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u=0)。 在已知电感电流在已知电感电流i(t)的条件下，用式的条件下，用式(710)容易求出其容易求出其电压电压u(t)。 例如例如L=1mH的电电感上，施加电流为的电电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)A时，时，其关联参考方向的电压为其关联参考方向的电压为 mV)5cos(50V)5cos(1050 d)5sin(10d10dd)(33tttttiLtu 电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如

6、将电感电流增加一个常量系，例如将电感电流增加一个常量k，变为，变为i(t)=k+10sin5tA时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。件在电压电流之间有确定关系的特性。 例例75 电路如图电路如图714(a)所示，已知所示，已知L=5 H电感上的电流电感上的电流 波形如图波形如图714(b)所示，求电感电压所示，求电感电压u(t),并画出波形图。并画出波形图。图图714 例例75 2.当当0 t 3 s时，时，i(t)=2 103t，根据式，根据式710可以得到可以得到 10mV=V1010d)10

7、2(d105dd)(336 tttiLtu解：根据图解：根据图615(b)波形，按照时间分段来进行计算波形，按照时间分段来进行计算 1.当当t 0时，时，i(t)=0，根据式，根据式710可以得到可以得到 0d)0(d105dd)(6 ttiLtu图图714 例例75 3. 当当3 s t 4 s时，时， i(t)=24 103-6 103t，根据式，根据式710可以得到可以得到 mV30=V1030d)1061024(d105dd)(3336 tttiLtu 4. 当当4 s t 时，时，i(t)=0，根据式，根据式710可以得到可以得到 0d)0(d105dd)(6 ttiLtu图图714

8、 例例75 根据以上计算结根据以上计算结果，画出相应的波形，果，画出相应的波形，如图如图714(c)所示。所示。这说明电感电流为三这说明电感电流为三角波形时，其电感电角波形时，其电感电压为矩形波形。压为矩形波形。 图图714 在已知电感电压在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流的条件下，其电流iL(t)为为 )117( d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)( 0 LL0 0 LL LL tttuLiuLuLuLti 其中其中 0 LLd)(1)0( uLi称为电感电压的初始值称为电感电压的初始值, ,它是从它是从t t=-=-到到t t=0=0时间范围内电感电时间范围内电感电压作用于电感

9、所产生的电流。压作用于电感所产生的电流。 式式(711)表示表示t0的某时刻电感电流的某时刻电感电流iL(t)等于电感电流的初始等于电感电流的初始值值iL(0)加上加上t=0到到t时刻范围内电感电压在电感中所产生电流时刻范围内电感电压在电感中所产生电流之和，就端口特性而言，等效为一个直流电流源之和，就端口特性而言，等效为一个直流电流源iL(0)和一个和一个初始电流为零的电感的并联，如图初始电流为零的电感的并联，如图715所示。所示。)117( d)(1)0(d)(1)( 0 LL LL ttuLiuLti 图图715 从式从式(711)可以看出电感具有两个基本的性质。可以看出电感具有两个基本的

10、性质。 (1)电感电流的记忆性。电感电流的记忆性。 从式（从式（68）可见，任意时刻）可见，任意时刻T电感电流的数值电感电流的数值iL(T)，要由从要由从- 到时刻到时刻T 之间的全部电压来确定。之间的全部电压来确定。 也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻T的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆元件。记忆元件。)117( d)(1)0(d)(1)( 0 LL LL ttuLiuL

11、ti 例例76电路如图电路如图716(a)所示，电感电压波形如图所示，电感电压波形如图716(b)所所示，试求电感电流示，试求电感电流i(t),并画波形图。并画波形图。图图716解：根据图解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算波形，按照时间分段来进行积分运算 1.当当t0时，时，u(t)=0，根据式，根据式711可以得到可以得到 ttuLti 3 L0Ad0102d)(1)( 2.当当0t1s时，时，u(t)=1mV，根据式，根据式711可以得到可以得到 A2) s1( s1 A220d10102)0(d)(1)(L 0 33L L itttAiuLtitt时时当当 图图716 3.

12、当当1st2s时，时，u(t)=-1mV，根据式，根据式711可以得到可以得到 4.当当2st3s时，时，u(t)=1mV，根据式，根据式711可以得到可以得到 A0) s2( s2 A)1(2A2d10102)1(d)(1)(L 1 33L L ittiuLtitt时时当当 A2) s3( s3 A)2(20d10102)2(d)(1)(L 2 33L L ittiuLtitt时时当当 5.当当3st0时，电感吸收功率；当时，电感吸收功率；当p0时，电感发出功率。时，电感发出功率。 电感在从初始时刻电感在从初始时刻t0到任意时刻到任意时刻t时间内得到的能量为时间内得到的能量为 )( )( 0

13、22 0000)()(21 )()()(),(tititttttitiLidiLdddiiLdpttW 若电感的初始储能为零，即若电感的初始储能为零，即i(t0)=0,则任意时刻储存在则任意时刻储存在电感中的能量为电感中的能量为 )137()(21)(2L tLitW 此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。 由于电感电流确定了电感的储能状态，称

14、电感电流为由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为状态变量。状态变量。 从式从式(713)也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，这是因为电感电流的跃变要伴随电感储存能量的跃变，在这是因为电感电流的跃变要伴随电感储存能量的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和电电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和电感电流发生跃变的。感电流发生跃变的。四、电感的串联和并联四、电感的串联和并联 1. 两个线性电感串联单口网络，就其端口特性而言，等效两个线性电感串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下：于

15、一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： tiLtiLLtiLtiLuuudddd)( dddd212121 其中其中 )147( 21 LLL 列出图列出图718(a)的的KVL方程，代入电感的电压电流关系，方程，代入电感的电压电流关系，得到端口电压电流关系得到端口电压电流关系图图718 2. 两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等效两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下：于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中其中 列出图列出图719(a)单口网络的单口网络的KCL方程，代入电感的电压方程，代入电感的电压电流关系

16、，得到端口的电压电流关系电流关系，得到端口的电压电流关系图图719 tttduLduLduLtititi )(1)(1)(1)()()(212121111LLL )157( 2121 LLLLL由此求得由此求得 Li ttuLiuLti 0 LL LLd)(1)0(d)(1)( )0()0(LL ii)(21)(2LtLitW Cuq tuCtqtidddd)( ttiCuiCtu 0 CC CCd)(1)0( d)(1)( )0()0(CC uu)( 21)(2CtuCtW tiLttudddd)( 二端电阻，二端电容和二端电感是三种最基本的电路元件。二端电阻，二端电容和二端电感是三种最基本

17、的电路元件。它们是用两个电路变量之间的关系来定义的。这些关系从下它们是用两个电路变量之间的关系来定义的。这些关系从下图可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是图可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是tttuttqtid)(d)(d)(d)( 四个基本电路变量之间的关系四个基本电路变量之间的关系 亨利亨利是一个美国物理学家，他发明了电感是一个美国物理学家，他发明了电感和制造了电动机。和制造了电动机。 他比他比法拉第法拉第先发现电磁感应现象，电感的先发现电磁感应现象，电感的单位是用他的名字命名的。单位是用他的名字命名的。 Michael Faraday (17911867)法拉第是英国化学家和物理学家，1931年发现的电磁感应定律是工程上的一个主要突破。 法拉第法拉第是一个英国化学家和物理学家，他是一个是一个英国化学家和物理学家，他是一个最伟大的实验家。最伟大的实验家。 他在他在1931年发现的电磁感应是工程上的一个重要突年发现的电磁