第1章 电力网络的数学模型及求解方法

1、 讲授讲授: : 王健王健 电话电话:E-mail: E-mail:现代电力系统分析现代电力系统分析概述：概述： 1、大规模电力系统仿真计算及其意义；、大规模电力系统仿真计算及其意义； 2、仿真计算的主要问题：、仿真计算的主要问题： a) 确定电力系统的数学模型确定电力系统的数学模型建模建模 b) 设计模型的求解计算方法设计模型的求解计算方法算法算法 c) 程序设计程序设计实现实现 3、仿真的过程：、仿真的过程： 实际系统实际系统建模建模算法、编程、计算算法、编程、计算分析分析 4、仿真计算的基本内容：、仿真计算的基本内容： 潮流计算、短路计

2、算、稳定计算潮流计算、短路计算、稳定计算 5、电力系统建模的任务：元件建模、网络建模、电力系统建模的任务：元件建模、网络建模 元件建模：同步发电机、电力负荷、直流系统、元件建模：同步发电机、电力负荷、直流系统、FACTS 网络建模：线路、变压器及其拓扑网络建模网络建模：线路、变压器及其拓扑网络建模 概述：概述： 6、电力网络模型的特点及类型：、电力网络模型的特点及类型： a) 线路、变压器在稳态运行条件下是线性（且定常）元件，其元件模型等值电线路、变压器在稳态运行条件下是线性（且定常）元件，其元件模型等值电路简单，所以网络本身是线性系统。路简单，所以网络本身是线性系统。 b) 研究电力系统电磁

3、暂态过程时，一般故障分析中稳态短路电流计算仍然是稳研究电力系统电磁暂态过程时，一般故障分析中稳态短路电流计算仍然是稳态分析；暂（次暂）态分析的关键影响因素是态分析；暂（次暂）态分析的关键影响因素是G、Load 等；机电暂态分析等；机电暂态分析可以不计网络暂态。可以不计网络暂态。 电力系统的一般仿真分析与研究中，网络部分总采用线性模型，线性电力系统的一般仿真分析与研究中，网络部分总采用线性模型，线性代数方程组。代数方程组。 c) 网络模型（稳态模型）主要有：网络模型（稳态模型）主要有： BBBBBBLLLY V= IZ I= VZ I= E节点导纳方程节点阻抗方程回路电流方程电电力力系系统统计计

4、算算中中，常常用用节节点点导导纳纳方方程程和和节节点点阻阻抗抗方方程程本章提示本章提示l因子表法与高斯消去法的区别和联系；l节点导纳矩阵的特点、形成原理；l节点阻抗矩阵的特点、形成原理；l节点编号顺序优化方案的选择。1 因子表法因子表法高斯消去法的变化形式高斯消去法的变化形式2 因子表的形成过程因子表的形成过程3 利用因子表的前代过程利用因子表的前代过程4 利用因子表的回代过程利用因子表的回代过程直接法（又称精确法）直接法（又称精确法），直接法经过有限次算术运算，就可，直接法经过有限次算术运算，就可得出解答，运算次数与采用的计算方法和方程组的阶数及结构得出解答，运算次数与采用的计算方法和方程组

5、的阶数及结构有关。直接法常用于系统计算中求解有关。直接法常用于系统计算中求解线性方程组线性方程组。间接法（又称迭代法）间接法（又称迭代法），迭代解法是从某一初值出发，经过，迭代解法是从某一初值出发，经过若干次迭代逐步逼近真解。迭代法主要用于解若干次迭代逐步逼近真解。迭代法主要用于解非线性方程组非线性方程组。线性方程组线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1.1） 用矩阵形式表示：用矩阵形式表示： AX=B (1.2)将常数项矩阵作为系数矩阵的第将常数项矩阵作为系数矩阵的第n+1列，形成列，形成增广矩阵增广矩阵：1,21

6、1, 2222211, 111211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaA(1.3) 1,12,1,112TTnnn nnaaabbb式中式中 以按行消去过程为例，当经过以按行消去过程为例，当经过i-1步消去运算后，矩阵步消去运算后，矩阵 化为：化为： A1,11,1)1(1, 1)1(, 1)2(1, 2)2(2)1(1, 1)1(1)1(121111nnninniiiiiniiiininiiaaaaaaaaaaaaaA（1.4） )()1()1()(kkjkikkijkijaaaa) 1, 2 , 1(ik) 1, 2, 1(nkkj) 1, 2, 1(/)1()1()(niija

7、aaiiiiijiij规格化运算规格化运算：消去运算消去运算： (1.5) 第第i步是对步是对 的第的第i行作消去运算，即用前行作消去运算，即用前i-1行依次消去该行行依次消去该行对角元素左方的对角元素左方的i-1个元素。个元素。1iA消去的结果使增广矩阵消去的结果使增广矩阵 化为：化为： nA)(1,)2(1, 2)2(23)1(1, 1)1(13)1(12111nnnnnnaaaaaaA(1.6) 与之对应的方程组为：与之对应的方程组为：)(1,)1(1, 1)1(, 11)2(1, 2)2(23)2(232)1(1, 1)1(13)1(132)1(121nnnnnnnnnnnnnnnnn

8、naxaxaxaxaxaxaxaxaxax（1.7）按行回代的计算公式如下按行回代的计算公式如下：通过回代过程即可求出方程组的全部解。通过回代过程即可求出方程组的全部解。nijjiijiniinnixaax1)()(1,) 1 , 2, 1,(（1.8） 以按行消去过程为例，可将对系数矩阵和对常数项的消去及规格化分开写： ) 1, 2 , 1()()1()1()(ikaaaakkjkikkijkij), 2, 1(nkkj), 2, 1(/)1()1()(niijaaaiiiiijiij消去 规格化 (1.9) 1, 2 , 1()()1()1()(ikbabbkkkikkiki)1()1()

9、(/iiiiiiiabb消去 规格化 （1.10） 将将 及及 逐行保存在下三角部逐行保存在下三角部分，并与式分，并与式(1.6)系数矩阵的上三角矩阵元素合在一起，就得系数矩阵的上三角矩阵元素合在一起，就得到了因子表：到了因子表： )2(1,)1()1 (21,iiikikiiaaaa)1( iiia利用因子表的下三角及对角元素可对常数项进行消去运算利用因子表的下三角及对角元素可对常数项进行消去运算，并利用上三角元素则可进行回代运算。并利用上三角元素则可进行回代运算。 )1()2(3)1(21)3(3)2(33)1(3231)2(2)2(23)1(2221)1(1)1(13)1(1211111

10、1nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa (1.11) 例：1.1 求以下系数矩阵的因子表480083760725065152/58005/410/12360123/150651答案： 形成因子表的框图（图1.1）及程序清单如下：需要说明的是，本框图及程序采用的是按列消去的方法。图图1.1形成因子表的框图形成因子表的框图A=input(请输入矩阵A=);n,m=size(A);for i=1:n A(i,i)=1./A(i,i); for j=i+1:n A(i,j)=A(i,j)*A(i,i); end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-

11、A(k,i)*A(i,j); end endenddisp(矩阵A的因子表为：);disp(A) 本程序的功能是形成因子表以例以例1.1为例为例输入数据输入数据为：为：请输入矩阵请输入矩阵A=1 5 6 0;5 2 7 0;6 7 3 8;0 0 8 4结果结果：矩阵矩阵A的因子表为：的因子表为： 1.0000 5.0000 6.0000 05.0000 -0.0435 1.0000 06.0000 -23.0000 -0.1000 -0.80000 0 8.0000 0.0962四阶线性方程组，其系数矩阵消去运算后得到如下的因子表：444342413433323124232221141312

12、11DLLLUDLLUUDLUUUDU4321bbbbB对常数项的前代只需取用下三角矩阵的元素，将因子表下三角及常数项排列成如下形式：44434241333231222111DLLLDLLDLD4321bbbb 第一步，对第一行常数项b1进行规格化，由于D11正是第一行对角元素的倒数，因此规格化运算是 第二步，对b2进行消去运算，要用到运算因子L21，消去以后的b2变为111)1(1bDb)1(1212)1(2bLbb)1(222)2(2bDb 第三步，将 规格化)1(2b 前代过程的步骤列成表1.1。表中表示按行取用因子表元素运算的次序，其中、对应规格化运算，其余对应消去运算，消去结束时已求

13、出最后一个变量的值 。表表1.1利用因子表下三角对常数项的消去过程利用因子表下三角对常数项的消去过程111)1(1bDb)1(1212)1(2bLbb)1(222)2(2bDb)1(1313)1(3bLbb)2(232)1(3)2(3bLbb)2(333)3(3bDb)1(1414)1(4bLbb)2(242)1(4)2(4bLbb)3(343)2(4)3(4bLbb)3(444)4(44bDbx A=input(请输入矩阵：A=);B=input(请输入常数项矩阵：B=);n,m=size(A);for i=1:n A(i,i)=1/A(i,i); for j=i+1:n A(i,j)=A(

14、i,j)*A(i,i); end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(k,i)*A(i,j); end endendfor i=1:n B(i)=B(i)*A(i,i); for j=i+1:n B(j)=B(j)-A(j,i)*B(i); endenddisp(利用因子表对常数项进行前代的结果为：B=);disp(B)本程序功能是利用因子表对常数项进行前代例 1.2 在例1.1因子表的基础上进行前代123123123434561527267383844xxxxxxxxxxxx输入数据为：请输入矩阵A=1 5 6 0;5 2 7 0;6 7 3 8

15、;0 0 8 4输入常数项矩阵B=1 ；2 ；3 ；4结果：利用因子表对常数项进行前代的结果为：B=1.0000 0.1304 0 0.3846利用因子表对常数项进行前代运算以后，常数项发生了变化44343324232214131211DUDUUDUUUD 44332211bbbb 和 将前代以后的线性方程组写成以下矩阵形式： 1111342423141312UUUUUU4321xxxx)4(4)3(3)2(2)1 (1bbbb 为了节省内存单元，不必增加存放未知数结果的数组，直接将结果放在常数项B单元中。回代自下而上进行，其步骤如下： 323)3(2)4(22424)2(2)3(2)2(24

16、243232434)3(3)4(33)3(34343)4(44,xUbbxxUbbbxUxUxxUbbxbxUxbx212)3(1)4(11313)2(1)3(1414)1(1)2(1)1UbbxxUbbxUbbbxUxUxUx回代步骤回代步骤可用表1.2表示表表1.2 利用因子表的按行回代过程利用因子表的按行回代过程表中表示按行倒取因子表中上三角元素（对角元素均看作1）运算的次序。6 5 4 3 2 1 212)3(1)4(11xUbbx313)2(1)3(1xUbb414)1(1)2(1xUbb323)3(2)4(22xUbbx424)2(1)3(2xUbb434

17、)3(3)4(33xUbbx（采用按列回代法）A=input(请输入矩阵A=);B=input(请输入常数项矩阵B=);n,m=size(A);for i=1:n A(i,i)=1/A(i,i); for j=i+1:n A(i,j)=A(i,j)*A(i,i); end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(k,i)*A(i,j); end endend本程序功能是利用因子表对常数项进行回代disp(矩阵A的因子表为：);disp(A)for i=1:n B(i)=B(i)*A(i,i); for j=i+1:n B(j)=B(j)-A(j,i)*B

18、(i); endendfor i=n-1:-1:1 for j=i+1:-1:2 B(j-1)=B(j-1)-A(j-1,i+1)*B(i+1); endenddisp(在因子表的基础上求解线性方程组的解为：x=);disp(B)例1.3 求例1.2线性方程组的解。输入数据为：请输入矩阵A= 1 5 6 0;5 2 7 0;6 7 3 8;0 0 8 4请输入常数项矩阵B=1； 2 ；3 ；4结果：矩阵A的因子表为：1.0000 5.0000 6.0000 05.0000 -0.0435 1.0000 06.0000 -23.0000 -0.1000 -0.80000 0 8.0000 0.0

19、962在因子表的基础上求解线性方程组的解为：x=0.0401 -0.1773 0.3077 0.3846求因子表的程序也可以用于复数运算。例如对下列节点导纳矩阵求因子表。699. 0699. 000699. 0355. 4695. 1961. 10695. 1945. 100961. 10961. 6jjjjjjjjjjY输入数据为：请输入矩阵A=-6.961i 0 1.961i 0;0 -1.945i 1.695i 0; 1.961i 1.695i -4.355i 0.699i;0 0 0.699i -0.699i结果:矩阵A的因子表为：0 + 0.1437i 0 -0.2817 0 0 0

20、 + 0.5141i -0.8715 0 0 + 1.9610i 0 + 1.6950i 0 + 0.4300i -0.3006 0 0 0 + 0.6990i 0 + 2.0455i 电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。图图1.2 简化的有源电力网络接线图简化的有源电力网络接线图网络方程组可以表示为nnnknknnnnnkknnkkUYUYUYUYIUYUYUYUYIUYUYUYUYI2211222221212112121111(1.13)或者写成 YU (1.15)1YZ其中 njjijiUYI1简单写成(i =1,2,n)(1.1

21、4)式 (17.14)可化为 UZI (1.18)1.3.1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵1.3.2 节点导纳矩阵的计算方法节点导纳矩阵的计算方法1.3.3 形成节点导纳矩阵的程序形成节点导纳矩阵的程序1.自导纳自导纳 定义：节点i的自导纳Yii 是当节点i以外的所有节点都接地，而在节点i加上单位大小的电压( =1单位电压)时， 由节点i流向网络的电流就等于i节点的自导纳。iU更具体地说, Yii就等于与节点i连接的所有支路导纳的和。(1.19) iiiiIYU0,jUji图图1.3 电力网络接线图电力网络接线图例如图1.3，节点2的自导纳Y22为: = = + + =0.25-j0.25(s)(

22、1.20) 22Y22UI61j31j41j2.互导纳互导纳 定义：节点j以外的节点全接地,而在节点j加以单位电压时， 由节点i流向j的电流加上负号就是互导纳Yij 。 更具体地说， Yij 是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得。ii jjIYU0,kUkj(1.21) 图图1.4 电力网络接线图电力网络接线图在图1.3中节点1,2间的互导纳Y12为: =- =j0.1677(s)12Y61j如图1.4 ，节点i,j间有阻抗分别为 和 的两条并联输电线时，互导纳为: ZZ =- (1/ +1/ )jiYZZ 例:1.4 求图1.5的系统的导纳矩阵(所给数字是标幺阻抗)图图1.5 例例1

23、.4图图 导纳矩阵是对称矩阵；导纳矩阵是对称矩阵； 导纳矩阵是稀疏矩阵；导纳矩阵是稀疏矩阵； 导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求出。导纳矩阵能从系统网络接线图直观地求出。导钠阵的特点：导钠阵的特点：解:用上面讲的方法,节点i的自导纳为 = + + =0.9346-j4.261611Y0 .301j40. 008. 01j50. 012. 01j互导纳为:Y =- =-0.4808+j2.40381240. 008. 01j对其它节点进行同样的计算,则依次得到3333. 33333. 3003333. 35429. 70421. 13529. 288252. 08911. 14539. 0035

24、29. 25882. 07274. 40690. 14038. 24808. 008911. 14539. 040138. 240808. 02616. 49346. 0jjjjjjjjjjjjY非标准变比变压器是指变压器的线圈匝数比不等于标准变比。122210UKIZUIKI(1.24) 由上式解出21,II21221211UZUZKIUZKUZKI（1.25） 或者21222111)()() 1(UZKUUZKIUUZKUZKKI(1.26) 在图1.6(c)中，由节点1，即变压器的接入端来看自导纳Y11为YKYKKKYY211) 1(1.27) 变压器接入端的对侧来看的自导纳 为22YY

25、YKKYY)1 (22(1.28) 节点1、2间的互导纳Y12为12 =-KYY(1.29) 先不考虑非标准变比(认为K=1)求导纳矩阵； 再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加 上(K -1)Y ，其中Y是从变压器相连结的另一端节点 来看变压器的漏抗与两节点输电线的阻抗之和的倒数； 由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变； 变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y 。例:1.5 利用例1.4的结果计算图1.7(a)的节点导纳矩阵。图图1.7 例例1.5的附图的附图解:将3、4节点间用 形等值电路表示如图 1.7(b)则导纳矩阵的变化项只是Y 、Y (= Y ),其修改量分别为333

26、3. 36666. 300666. 32429. 80421. 13529. 25882. 08911. 14539. 003529. 25882. 07274. 40690. 14038. 24808. 008911. 14539. 04038. 24808. 02616. 49346. 0jjjjjjjjjjjjY所以导纳矩阵为 333443 Y =(K -1)Y=(1.1 -1) =-j0.7000332230. 01j Y =-(K-1)Y=-(1.1-1) =j0.33333430. 01j4.系统变更时的修正系统变更时的修正(1)增加新的节点和新的支路 如图1.8(a)所示，新节点

27、编号为j，节点i、j间支路阻抗为z。特点：导纳矩阵Y的阶次增加一阶；除节点i以外的原有节点和新增节点间 互导纳为零，节点i的自导纳由 变成 ，还要新增加互导纳 、节点j的自导纳为Yjj 。 iiYzYii1zYij1（2）在原有节点i和j 间增加阻 抗为 z的新支路，如图 1.8（b）所示。特点：导纳矩阵Y阶次不变，节点的自导纳Yii、Yjj和互导纳Yij分别变化为（3）在上式中把前面的互导纳Yij 置零，就是附加的新支路如图1.8（c）。zYYzYYzYYijijjjjjiiii111（1.31） 图图1.8 系统变更的几种情况系统变更的几种情况既不接负荷也不接发电机的节点，这样的节点称为浮

28、动节点（或称浮节点）。这样的节点既可以作为节点注入电流为零节点来处理，也可以不作为节点来处理，而归并到图1.2的输电系统Net中。如果不作为节点来处理，则节点导纳矩阵可降低阶次。zKKYYYYzKKYYijijjjjjiiii1)(1)(22（4）变压器变比由）变压器变比由K变成变成 K 时时 导纳矩阵的阶数等于电力系统网络的节点数； 导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数； 导纳矩阵的对角元素即，各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和。 导纳矩阵非对角元素Yij 等于节点i与节点j之间的导纳的负数。网络接线由节点及连结两个节点的支路确定的，只要输入了各支路

29、两端的节点号，就相当于输入了系统的接线图。一条支路一般需要输入六个数据支路一般需要输入六个数据,即即i,j,z,bc,t,it，其中i,j是支路两端节点号， z为支路的阻抗， bc为线路电纳， t 为变压器支路的变比。在程序中用矩阵用矩阵B来进行输入来进行输入(其中矩阵的行数为支路数，列数为上述六个数据) 。当支路为变压器支路时， t为实际的变比值，当支路为线路时t为1 ，当支路为接地支路时， t为0。程序根据t是否为零作为区分接地支路与不接地支路的标志，或者把接地支路作为节点注入电流源的已知量来输入。矩阵X是由各节点的节点号与该节点的接地阻抗构成。图图1.9 形成节点导纳矩阵的程序框图形成节

30、点导纳矩阵的程序框图由框图可编写程序如下： %本程序的功能是形成节点导纳矩阵n=input(请输入节点数:n=);nl=input(请输入支路数:nl=);B=input(请输入由支路参数形成的矩阵:B=);X=input(请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=);Y=zeros(n); %形成n阶的零矩阵for i=1:n if X(i,2)=0; %检查各节点号及其对地阻抗是否满足要求 p=X(i,1); Y(p,p)=1./X(i,2); end endfor i=1:nl %求出各节点之间的自导纳和互导纳 if B(i,6)=0 %检查该线路是否有变压器 p=B(i,1); q=B

31、(i,2); else %有变压器则跳到该处 p=B(i,2); q=B(i,1); %得到p、q对应的节点号 end %结束对支路是否有变压器的检查 Y(p,q)=Y(p,q)-1./(B(i,3)*B(i,5); Y(q,p)=Y(p,q); Y(q,q)=Y(q,q)+1./(B(i,3)*B(i,5)2)+B(i,4)./2; Y(p,p)=Y(p,p)+1./B(i,3)+B(i,4)./2;enddisp(导纳矩阵Y=:);disp(Y)例 1.6 用节点导纳矩阵的程序求图1.10所示的节点网络的导纳矩阵。图图1.10 例例1.6的附图的附图解：解：输入数据：输入数据：请输入节点数

32、请输入节点数:n=5请输入支路数请输入支路数:nl=5请输入由支路参数形成的矩阵请输入由支路参数形成的矩阵:B=1 2 0.03i 0 1.05 0; 2 3 0.08+0.3i 0.5i 1 0; 3 4 0.015i 0 1.05 1; 2 5 0.1+0.35i 0 1 0; 3 5 0.04+0.25i 0.5i 1 0请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=1 0;2 0;3 0;4 0;5 0结果：结果：导纳矩阵导纳矩阵Y=0 -33.3333i 0 +31.7460i 0 0 0 0+31.7460i 1.5846 -35.7379i -0.

33、8299 + 3.1120i 0 -0.7547 + 2.6415i0 -0.8299 + 3.1120i 1.4539 -66.9808i 0 +63.4921i -0.6240 + 3.9002i0 0 0 +63.4921i 0 -66.6667i 0 0 -0.7547 + 2.6415i -0.6240 + 3.9002i 0 1.3787 - 6.2917i1.4.1 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵1.4.2 自阻抗和互阻抗自阻抗和互阻抗1.4.3 阻抗矩阵的计算方法阻抗矩阵的计算方法a) a) 线性方程组的求解是电网仿真计算中的基本技术，几乎贯穿所有仿真线性方程组的求解是电网仿真计算中

34、的基本技术，几乎贯穿所有仿真计算，提高计算效率、减小内存对于大规模、超大规模电网仿真计算计算，提高计算效率、减小内存对于大规模、超大规模电网仿真计算具有十分重要的工程意义。具有十分重要的工程意义。b) b) 通过优化节点编号、运用稀疏技术等手段，可以在网络方程求解时提通过优化节点编号、运用稀疏技术等手段，可以在网络方程求解时提高计算效率、节约内存高计算效率、节约内存电力系统网络方程求解时应注意的基本问题电力系统网络方程求解时应注意的基本问题将式（1.18）展开写成nnnnnnnnnnUIZIZIZUIZIZIZUIZIZIZ22112222212111212111（1.38） 或缩写为： =

35、（i=1, 2, 3, n）iUjnjijIZ1(1.39) 式中系数矩阵为节点阻抗矩阵:nnnnnnZZZZZZZZZZ212222111211(1.40) 自阻抗和互相抗之间的关系，可以形象地用图来表示，把总阻抗看成是Zii ，而互阻抗Zij则 是其中抽出的一部分。图图1.11 自阻抗和互阻抗的关系自阻抗和互阻抗的关系ikIIUZikIIUZkijjikiiii, 0, 0(1.42) 在节点i上注入一单位电流，而其他各节点均开路(即注入电流为零)时，节点i上的电压即是，而节点j ( j=1,2,n ,ji)上的电压即是节点j和节点i之间的。即阻抗矩阵是对称矩阵；阻抗矩阵是满矩阵；迭代计算

36、时收敛性能较好；阻抗矩阵不能从系统网络接线图直观地求出，因此必须寻找其他求阻抗矩阵的方法。1.4.3 1.4.3 节节点阻抗矩阵的形成方法点阻抗矩阵的形成方法一、一、Y Y 求逆法求阻抗矩阵求逆法求阻抗矩阵11jn Z Z ZTjnjjjjZZZZZ1 0 1 0TjnjYZIIIIYZYZj j=I=Ij j Y=LDLY=LDLT T：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵；：一种是用导纳矩阵求逆，间接求出阻抗矩阵； 另一种是用支路追加法，直接形成节点阻抗矩阵。另一种是用支路追加法，直接形成节点阻抗矩阵。1.4 1.4 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵节节点阻抗矩阵的形成方法点阻抗矩阵的形成方法一

37、、一、Y Y 求逆法求阻抗矩阵求逆法求阻抗矩阵应用举例应用举例0 0 1 0 0 -1 0 0TI对于对于 YV=I YV=I ，令，令12 TnVVVVij-ijijij-klkl ijklZ=VVZ= ZVV1.4 1.4 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵节节点阻抗矩阵的形成方法点阻抗矩阵的形成方法二、二、支路追加法求阻抗矩阵支路追加法求阻抗矩阵基本思路：基本思路：从网络中某一节点的接地支路开始，形成一从网络中某一节点的接地支路开始，形成一 1 1阶阶 Z Z ， 以此为基础，逐一追加其它支路并修改已形成以此为基础，逐一追加其它支路并修改已形成 Z Z ， 直至追加完网络中所有支路，即得网络的直至

38、追加完网络中所有支路，即得网络的 Z Z 矩阵矩阵简例：简例：5 5节点系统节点系统1.4 1.4 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵节节点阻抗矩阵的形成方法点阻抗矩阵的形成方法二、二、支路追加法求阻抗矩阵支路追加法求阻抗矩阵5 5节电系统简例节电系统简例方案方案II:II:方案方案I: I:1.支路追加法支路追加法 ：矩阵形成的规律性很强， 易于理解和记忆，且编程方便。 ：追加接地树支，追 加树支，追加接地连支，追加连支。 假设网络有三个独立节点，节点的 电压、电流关系为： 321333231232221131211321IIIZZZZZZZZZUUU图图1.12 原始网络原始网络（1）追加接地树支(

39、0,4)4321UUUUzZZZZZZZZZ0000003332312322211312114321IIII=(1.43 ）结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素均为零，只有新增的对角元素为z。：原网络矩阵增加一阶，新增了一个方程 ，其中z是新增支路的阻抗。44I zU图图1.14 追加树支追加树支 ：矩阵增加一阶，节点2的注入电流变为 ，且新增了一个方程： 42II424IzUU111 1122413 311 112213 3124()UZ IZIIZ IZ IZ IZ IZ I221 1222423 321 122223 3224()UZ IZIIZ IZ IZ IZ IZ I33

40、1 1322433 331 132233 3324()UZ IZIIZ IZ IZ IZ IZ I42421 122223 3224()UUzIZ IZ IZ IZz I写成矩阵形式为4321UUUU zZZZZZZZZZZ223332312322211312110000004321IIII=结论：结论：原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素分别等于树支所接原有矩阵的各元素均不变，新增的行、列元素分别等于树支所接的原网络节点的原网络节点2所对应的行、列元素，新对角元素等于树支所结所对应的行、列元素，新对角元素等于树支所结的节点的节点2的对角元素加上新增支路的阻抗值。的对角元素加上新增支路的阻

41、抗值。图图1.15 追加接地连支追加接地连支：矩阵的阶次不变。对原网络来说， 节点2的注入电流变为 其它节点注入电流不变。III22则各节点电压方程变为：3132121111)(IZIIZIZUIZIZIZIZ123132121113232221212)(IZIIZIZUIZIZIZIZ223232221213332321313)(IZIIZIZUIZIZIZIZ32333232131I zU20IzZIZIZIZ)(22323222121写成矩阵形式为： 0321UUUzZZZZZZZZZZZZZZZZ22232221323332312223222112131211IIII321=（1.45

42、） 结论：矩阵可暂时增加一阶，原矩阵元素不变，暂时增加的行、列元素分别等于该追加连支的非零节点所对应的行、列元素的负值；新对角元素等于该点的自阻抗加上连支阻抗z。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消去矩阵的暂增行与列，原矩阵的元素 为：ijZ4422ZZZZZjiijij(i,j=1,2,3) (1.46) 图图1.16 追加连支追加连支：矩阵阶次不变，设连支电流由节点3流向 节点2 ，节点2的注入电流变为 ( )，节点3的注入电流变为 ( )。则节点电压方程的矩阵形式为：II2II3 0321UUU)()()()(3223332233233222312133323332312

43、3222322211312131211zZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZIIII321=（1.47） 矩阵可暂时增加一阶，原矩阵的元素不变，暂时增加的行、列元素分别等于该追加连支的两个节点所对应的行元素之差和列元素之差；新增对角元为这两个节点的自阻抗之和减去相互间的互阻抗之和再加上该连支阻抗。 形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵之后，用高斯消去法消去暂增行、列，即得追加连支的节点阻抗矩阵，消元公式同公式(1.46) 。对于变压器支路,若变压器变比等于1，则与一般支路的处理方法相同；若变压器变比不等于1时，如果采用变压器的形等值电路当成三条支路进行追加，显然是增加了运算量。下面讨

44、论一种不用变压器型等值电路，直接追加变压器支路的方法。：追加变压器树支，追加变压器连支。（1）追加变压器树支）追加变压器树支图图1.17 追加变压器树支追加变压器树支节点2的注入电流为( +k )2I4I11111 1122413 3()UZ IZIKIZ I221 1222423 3()UZ IZIKIZ I331 1322433 3()UZ IZIKIZ I整理后有:4321UUUU )(222232221323332312223222112131211zZKKZKZKZKZZZZKZZZZKZZZZ4321IIII=另外还有 =K( +Kz ,)4U2U4I =K(Z + Z ( +K

45、) + Z )+Kz 4U211I222I4I233I4I结论：追加变压器树支和追加普通树支支路相似，只是在新增行、列的元素，分别乘以变比K，新对角元乘以变比K2 。图图1.18 追加变压器连支追加变压器连支 （2）追加变压器连支）追加变压器连支 节点2的注入电流变为( )，节点3的注入电流变为( )，则:IKI2II3另有: 即:32()Uk UzKI2230KUUzK I111 1122133()()UZ IZIKIZII221 1222233()()UZ IZIKIZII331 1322333()()UZ IZIKIZII把 、 代入整理后得:2U3U222131122322233332

46、2332332()()()()0KZZIKZZIKZZIK ZZKZKZK z I所以得:0321UUU1112131213212223222331323332332221312232233322332332()()()()ZZZKZZZZZKZZZZZKZZKZZKZZKZZK ZZKZKZK zIIII321=前面我们讨论的都是变压器的漏抗归算至低压侧，如果变压器的漏抗归算至高压侧，则只需将变比变为1/k即可，即在程序中令 TN =T(K)或令:TN=1/T(K)图图1.19 用支路追加法形成节点阻抗矩阵框图用支路追加法形成节点阻抗矩阵框图程序中: n-为独立节点数nl-为支路数p-追加支

47、路的起始节点q-追加支路的终止节点B-由支路参数形成的矩阵输入数据如下输入数据如下: 请输入节点数请输入节点数:n=a 请输入支路数请输入支路数:nl=b 请输入由支路参数形成的矩阵请输入由支路参数形成的矩阵: B=i j z bc t it .其中其中ij为支路端点，为支路端点，z为支路阻抗，为支路阻抗，bc为对地电容，为对地电容，t为变压器变比，为变压器变比，it表示表示i端点是否与变压器直接相连。端点是否与变压器直接相连。 %本程序的功能是用支路追加法求阻抗矩阵n=input(请输入节点数:n=);nl=input(请输入支路数:nl=);B=input(请输入由支路参数形成的矩阵:B=

48、);m=0;Z=zeros(n);for k1=1:nl p=B(k1,1); q=B(k1,2); if B(k1,6)=0 l=1./B(k1,5); else l=B(k1,5); end if p=0 if qm %追加接地树支 Z(q,q)=B(k1,3); m=m+1; else %追加接地连支 for k=1:m, Z(k,m+1)=-Z(k,q); Z(m+1,k)=-Z(q,k); end Z(m+1,m+1)=Z(q,q)+B(k1,3); for l1=1:m for k=1:m Z(l1,k)=Z(l1,k)-Z(l1,m+1)*Z(m+1,k)./Z(m+1,m+1)

49、; end Z(l1,m+1)=0; end for k=1:m+1 Z(m+1,k)=0; end end else if qm %追加不接地树支 for k=1:m Z(k,q)=Z(k,p)*l; Z(q,k)=Z(p,k)*l; end Z(q,q)=l2*Z(p,p)+l2*B(k1,3); m=m+1; else for k=1:m %追加不接地连支 Z(k,m+1)=l*Z(k,p)-Z(k,q); Z(m+1,k)=l*Z(p,k)-Z(q,k); end Z(m+1,m+1)=l2*Z(p,p)+Z(q,q)-2*l*Z(p,q)+l2*B(k1,3); for l1=1:m

50、 for k=1:m Z(l1,k)=Z(l1,k)-Z(l1,m+1)*Z(m+1,k)./Z(m+1,m+1); end Z(l1,m+1)=0; end for k=1:m+1 Z(m+1,k)=0; end end endenddisp(阻抗矩阵Z=);disp(Z)解：输入数据如下输入数据如下:请输入节点数:n=3请输入支路数:nl=6请输入由支路参数形成的矩阵:B=0 1 2i 0 1 0;0 2 4i 0 1 0;1 2 2i 0 1 0; 0 3 20i 0 1 0;2 3 8i 0 1 0;1 3 5i 0 1 0结果：结果：阻抗矩阵Z= 0 + 1.4124i 0 + 0.

51、9605i 0 + 1.0734i 0 + 0.9605i 0 + 1.8531i 0 + 1.1299i 0 + 1.0734i 0 + 1.1299i 0 + 3.6158i 例 1.7 形成如图1.20所示网络的阻抗阵。图图1.20 例例1.6的附图的附图1.节点编号顺序优化节点编号顺序优化三种方案:静态优化：节点关联度少的编号在前，多的在后，一次完成编号顺序。半动态优化：节点关联度少的优先编号，并消去该节点；消去后,重新统计节点的关联度，再取关联度少的编号，并消去之，反复进行。动态优化：按消元后增加新支路数（从星网变换看问题）最少的节点优先编号，并消去该节点，消去后，重新选取增加新支路数最少的节点， 再消去之，反复进行。在这三种节点编号顺序优化方案中静态优化法最简单，但优化的效果很粗糙；动态优化法优化的效果最好，但计算工作量也最大，所以一般都采用半动态节点编号优化的方法。一般都采用半动态节点编号优化的方法。2. 半动态节点编号优化的程序清单及打印结果：for k=1:n-1 low=in(k);k2=k;nbb=k+1; for l=nbb if in(l)low low=in(l);k2=l; end end for l=1:nl if A(l,1)=k A(l,1)