高中数学新课标人教A版必修四平面向量课件

1、平 面 向 量 复 习学校：教师：平 面 向 量 复 习平 面 向 量 表示 运算 实数与向量的积 向量加法与减法 向量的数量积 平行四边形法那么向量平行的充要条件平面向量的根本定理三 角 形 法 那么向量的三种表示向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：1零向量：长度为0的向量，记作0.2单位向量：长度为1个单位长度的向量.3平行向量： 也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.4相等向量：长度相等且方向相同的向量.5相反向量：长度相等且方向相反的向量.几何表示 : 有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，y)假设 A(x1,y1), B(x2,y2)那么 AB = (x2 x

2、1 , y2 y1)平 面 向 量 复 习向量的模长度1. 设 a = ( x , y ),那么2. 假设表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，那么向量a=5，m的长度是13，求m.答案： m = 12三、向量的运算一向量的加法ABC三角形法那么：ABCD平行四边形法那么：ab2、坐标运算：1、作图二向量的减法2、坐标运算：1、作图平行四边形法那么：abab+ab+OAB3.加法减法运算律a+b=b+aa+b)+c=a+(b+c)1交换律：2结合律：例1 化简1AB + MB+ BO + OM 2 AB + DA + BD BCCA分析利用加法减法运算

3、法那么，借助结论AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0进行变形.解：原式=AB +BO + OM + MB= AB + 0= AB12原式=AB + BD + DA BC + CA= 0BA = AB练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、 AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC. AFEDCB答案：AD=2 bBE=2 cBF= caFC=2 a思考： a、b、c 有何关系？b =a + c平 面 向 量 小 复 习练习3 点A2，1、B1，3、C2，5求 1AB、AC的坐标；2AB+AC的坐标； 3 ABAC的坐标.答案： 1 AB=3，4，

4、 AC =4， 4 2AB+AC= 7，0 3 ABAC= 1，8实数与向量 a 的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！a是一个向量.它的长度 |a| =| |a|；它的方向(1) 当0时,a 的方向与a方向相同；(2) 当0时,a 的方向与a方向相反.假设a = (x , y), 那么a = (x , y)= ( x , y)(3)=0呢?非零向量平行共线的充要条件aba=b R且b0向量表示：坐标表示：设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，那么abx1y2x2y1=0平 面 向 量 复 习平面向量的根本定理 设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量

5、，那么对该平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数1、2 使a =1 e1 +2 e2 不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有向量 的一组基底1 e1 +1 e2 =2 e1 +2 e21= 2 1=2 向量相等的充要条件 例2 a=(1, 2), b=(3, 2), 当k为何值时, ka+b与a3b平行? 平行时它们是同向还是反向?分析 先求出向量ka+b 和a3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向.解: ka+b=k(1, 2)+(3, 2)=思考: 此题还有没有其它解法?(k3,2k+2)a3b=(1, 2)3(3

6、, 2)=(10, 4)(ka+b)(a3b)4(k3)10(2k+2)=0K= ka+b=(a3b)它们反向练习4 n为何值时, 向量a=n，1与b=(4,n)共线且方向相同?答案： n= 2思考: 何时 n=2 ?平 面 向 量 复 习例3设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。 要证A、B、D三点共线，可证AB=BD关键是找到解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD且AB与BD有公共点B A、B、D 三点共线AB BD平 面 向 量 小 复 习练习5a=1，0，b=1，1，c =10求和，使 c

7、 =a +b.答案： =1， = 01、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABB1(四) 数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定)向量表示坐标表示向量表示坐标表示六、向量的长度七、向量的夹角向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立： ；（2）消去律不成立 不能得到（3） =0不能得到 = 或 =(4)但是乘法公式成立： ； ABDC练习解： 同理可得 =1205.在ABC中 求C；又 cosC= 1解 且c为ABC-内角 C= 典例讲解例4：如下图，ABCD是菱形，AC和BD是它的

8、两条对角线。求证 ：ACBD分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对 于这一条件的应用，可以考虑向量式 的形式，也可以考虑坐标 形式的充要条件。证法一： ， ， =0 证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标 系，设B(0，0)， A(a，b)，Cc，0 那么由ABBC得a2+b2=c2 c，0a，b)ca，b，a，bc，0ca，b c2 - a2 - b2 0 ，即 ACBD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，那么将给解 题 带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，表达了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合

9、解题思想的认识和掌握.例5 假设非零向量a和b满足abab,证明：ab分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多， 可以考虑两 向量垂直 的充要条件的应用，也可考虑面图形的几何性 质，下面给出此题的三 种证法:证法一： (根据平面图形的几何性质)设 a， b，由可得a与b不平行，由abab得以 为邻边的平行四边形OACB的对角 线 和 相等平行四边形OACB是矩形， ，ab证法二：abab (a+b)2=(a-b)2 a2+b2+2ab= a 2+b 2-2ab ab0，即ab证法三：设a，b，ab ，ab ， ， 化简得：0，ab0，ab例6 、向量a是以点A(3，1)为起点，且与向量b

10、3，4垂直的单位向量，求a的终点坐标。分析：此题假设要利用两向量垂直的充要条件，那么需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程解：设a的终点坐标为，那么a3，1由题意由得：313代入得 25m21502090 解得 a的终点坐标是评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆。上述例题，主要表达了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来。 用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为T,物体重量为G

11、,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角的关系？问题:F1F2建立数学模型:1 逐渐增大时， |F1|如何变化？2 为何值时， |F1|最小，最小值是多少？3 |F1|能等于|G|吗？为什么？4如果绳子的最大承受力恰与重物G的重量相等 ，在什么范围内，绳子才不会断？CBOAD探求|F1|与夹角之间的关系（5）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 N ， 在什么范围内，绳子才不会断？ 3F1FG F2cos2 F1解：不妨设 = ，由向量的 平行四边形法那么，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道： = 通过上面的式子，有：当由0到180逐渐变大时， 由0到90逐渐变大， 的值由大逐渐

12、变小，因此 ： 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1F2F1FG F2cos2探究：（1）为何值时， 最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于 吗？为什么？ F1 G= F1 Gcos22答：在式中，当 =0时， 最大， 最小且等于cos2 F1 G2答：在（*）中，当 = 即=120时， = cos212 F1 GF2小结： 1、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！2、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法那么解决问题！3、

13、用数学的结果解决物理问题，答复相关的物理现象。情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?夹角越小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力?求：1）F1，F2随角 的变化而变化的情况；2）当F1 2G时，求 的取值范围。练习：如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为 G物体，绳子与垂直方向的夹角为绳子所受的拉力为F1 ，GF2F1 O问题延伸：解:1如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形 法那么知：G = F1 + F2OF2F1 GF2G解直角三角形得F1G，F1，F2皆逐渐增大；2令F1G2G，得例4：如图，一条河流的两岸平行，河的

14、宽度d = 500m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流的速度 = 2km/h。 问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？ （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ v1 v2分析：1因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向即合运动方向是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。 2小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶小船自身的速度，方向指向河对岸

15、，小船过河所用时间才最短。500mA把物理问题转化为数学模型为：解（1） = = 所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。 v- v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1v （1）如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是。12010N如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸

16、平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？PQ瀑布Q，60mPQ瀑布V船V水V合的方向PQ从图上看，哪个速度向量的模最小？分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速和它们的合速度为 、 和 ，由题意，船的实际速度为向量其方向为临界方向 ，船只要朝着这个方向行驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：PQ V船V水V合=+V船V水V合解：由题意知： 其方向为临界方向 ，设 和 夹角为，则最小划速为： sin = =所以：最小的船速应为：V船V水V合=+PQV水V合 v船= v水sin v船= 5 sin =5 =3（m/s）提问:表示划船速度的向量怎