第三章晶体振动和晶体的热学性质

1、1第三章第三章 晶体振动和晶体的热学性质晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动一、晶体振动1.晶体振动晶体振动 晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是为绕其平衡位置作振动。而是为绕其平衡位置作振动。2.振动的特点振动的特点 晶体中各原子的振动是相互联系的。晶体中各原子的振动是相互联系的。3.振动模式振动模式 用格波表述原子的各种振动模式。用格波表述原子的各种振动模式。2二、晶体振动的分类二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类根据振动的剧烈程度分类)1.晶格振动晶格振动 原子在平衡位置附近的微振动。原子在平衡位置附近的微振动。2.空位或

2、间隙原子空位或间隙原子 少数原子脱离其格点的振动。少数原子脱离其格点的振动。3.熔解熔解 温度相当高，整个晶体瓦解，即长程序解体。温度相当高，整个晶体瓦解，即长程序解体。三、晶格振动的特点三、晶格振动的特点1.当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。独立的简谐振动。2.由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不是连续由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。的，而是分立的。33.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子分立

3、的振动模式。简谐振子的能量用能量量子 (称称为声子为声子, 由爱因斯坦引入由爱因斯坦引入, 微振动模式的角频率微振动模式的角频率) )描述。描述。 振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持不便。换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持不便。不能把能量传递给其它频率的声子。不能把能量传递给其它频率的声子。4.如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简谐如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简谐效应效应声子间发生能量的交换。声子间发生能量的交换。5.晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导等晶体的宏观性质，

4、例如，比热、热膨胀和热传导等都与晶格振动有关。都与晶格振动有关。43.1 一维原子链的振动一维原子链的振动一、一维布喇菲晶格的振动一、一维布喇菲晶格的振动1.原子的运动方程原子的运动方程(1)振动示意图振动示意图 m为原子质量；为原子质量；xn为位移。为位移。 n-2 n-1 n n+1 n+2nx1 nx2 nx1 nx2 nxnnxx 1 第第n个原子和第个原子和第n+1个原子间的相对位移。个原子间的相对位移。5(2)两原子间的相互作用力两原子间的相互作用力U(a)：平衡时两原子间的互作用势能；：平衡时两原子间的互作用势能；U(a+ )：产生相对位移：产生相对位移 后的互作用势能。后的互作

5、用势能。把把U(a+ )在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得：在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得： 22221 aadrUddrdUaUaU项项。泰泰勒勒展展开开式式中中只只保保留留到到很很小小，所所以以，且且当当振振动动很很微微弱弱时时，由由于于20 adrdU 22221 adrUdaUaU简谐近似简谐近似 振动很振动很微弱，势能展式中微弱，势能展式中只保留到二阶项只保留到二阶项。6 aadrUddrUdddUf2222221恢复力：恢复力：rramrUfOO 0间距增大间距增大 0间距缩小间距缩小f f a)f 0斥力斥力(r m。 大、小原子等间距排列，原子间距为大、小原子等间距排列，原

6、子间距为a, 晶格常数晶格常数为为2a。 大原子大原子M排在偶数位置，小原子排在偶数位置，小原子 m排在奇数位置。排在奇数位置。如图所示：如图所示： 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4Mma2Mm18(2)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析n222 n12 n22 nfnf2正方向正方向m(2n+1)原子受力分析原子受力分析 nnnxxf2122 122222 nnnxxf 22212 nnnfffm(2n+1)原子受合力原子受合力 122222 nnnxxx 19M(2n+2)受力分析受力分析 122212 nnnxxf 223232

7、 nnnxxf 321222 nnnfff22 n12 n32 nf12 nf正方向正方向32 nM(2n+2)所受合力：所受合力： 2212322 nnnxxx 20(3)运动方程运动方程 Nn xxxdtxdmnnnn, 3 , 2 , 12122222122 Nn xxxdtxdMnnnn, 3 , 2 , 122212322222 tanqintanqinBexAex 22221212(3)位移表达式位移表达式(运动方程的解运动方程的解)m(2n+1)运动方程运动方程M(2n+2)运动方程运动方程 12222122 nnnnxxxf 221232222 nnnnxxxf 212. 和和

8、q的关系的关系 色散关系色散关系(振动频谱振动频谱)。把位移表达式代入相应的运。把位移表达式代入相应的运动方程，通过整理，可以得到动方程，通过整理，可以得到 和和q的色散关系。的色散关系。(1)m(2n+1)原子原子: tnqinAex 1212 0cos222 BqaAm Nn xxxdtxdmnnnn, 3 , 2 , 12122222122 22(2)M(2n+2)原子原子 02cos22 BMAqa Nn xxxdtxdMnnnn, 3 , 2 , 122212322222 tanqinBex 2222 02cos2 0cos2 2 22BMAqaBqaAm 方程组：方程组：23 02

9、cos2 0cos2 2 22BMAqaBqaAm (3) 和和q的关系的关系色散关系色散关系(振动频谱振动频谱) 此方程组中，此方程组中，A、B若有异于零的解，其系数行列若有异于零的解，其系数行列式必须等于零。式必须等于零。 02cos2cos2222 M qaqa m 0sin422224 qamMMm 24 0sin422224 qamMMm 212222cos2qaMmmMmMMm qaMmmMmMMm2cos22221 qaMmmMmMMm2cos22222 (4)结果分析结果分析 由于由于 和和q存在两种不同的色散关系，即存在两种存在两种不同的色散关系，即存在两种独立的格波，所以一

10、维复式晶格中存在则两种不同的格独立的格波，所以一维复式晶格中存在则两种不同的格波，分别有着各自的色散关系。波，分别有着各自的色散关系。声声学学波波光光学学波波253. 2的周期性的周期性 由于由于 是是q的周期函数，为了保证的周期函数，为了保证 和和q的一一对的一一对应关系，把应关系，把q的取值范围定在：的取值范围定在： aa 2,2 qaMmmMmMMm2cos22221 qaMmmMmMMm2cos22222 aqqa , 0202cos的的变变化化范范围围为为，：周周期期为为即：即：26274. 1和和 2简析简析(1) 1极小值与极大值极小值与极大值 2122212cos2qaMmmM

11、mMMm 0, 021 则则有有：如如果果qMaq 222max1 ，则则有有如如果果0min1 M 2max1 28 2122222cos2qaMmmMmMMm MmmMq 2, 02max2则则有有：如如果果(2) 2极小值与极大值极小值与极大值mMMm ；2max2maq 222min2 ，则则有有如如果果m 2min2 29 2max2 m 2min2 0min1 M 2max1 max1min2 所所对对应应的的格格波波的的频频率率。于于小小所所对对应应的的格格波波的的频频率率恒恒21 (3)结论结论Oqa2 a2 m 2 M 2 21 2 光光学学波波声声学学波波30声学波声学波

12、1支格波可以用声波来支格波可以用声波来激发，称为声频支格波。激发，称为声频支格波。简称简称声学波声学波。光学波光学波 2支格波可以用光波来支格波可以用光波来激发，称为光频支格波。激发，称为光频支格波。简称简称光学波光学波。(光学波也光学波也可以用超声波激发可以用超声波激发)Oqa2 a2 m 2 M 2 21 2 光光学学波波声声学学波波31三、声学波和光学波的物理意义三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系(1) 和和q的关系的关系 2122212cos2qaMmmMmMMm 2122cos2211mMqaMmMmmMMm

13、2122sin212211mMqaMmMmmMMm 2122sin411mMqaMmmMMm 32 。，如如果果，利利用用12111sin422 xxxmMqaMm 2221sin42111mMqaMmmMMm qamMsin21 2sin221qam 212221sin411mMqaMmmMMm qamM2sin2 33(2)结论结论一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形；波在形式上是相同的。具有相似的波形；一维布喇菲晶格中只有声学波一维布喇菲晶格中只有声学波, 没有光学波。没有光学波。 qamMsin2

14、1 2sin221qam 晶格常数晶格常数: 2a晶格常数晶格常数: a342.声学波的物理意义声学波的物理意义(1)声学波中，相邻两原子声学波中，相邻两原子(M和和m)的振动情况的振动情况 可可得得：由由方方程程： BqaAm0cos2221 2112cos2 mqaBA 0cos qa一般情况下有：一般情况下有： 222max121 Mmmm ,2,2:,2,2: qaaaq0221 m 221 m0 mM 35结论结论 相邻原子相邻原子是沿着是沿着同一方向同一方向振动的。当波长很长时，振动的。当波长很长时，声学波实际上是代表原子质心的振动。声学波描述的是声学波实际上是代表原子质心的振动。

15、声学波描述的是晶体中晶体中不同原胞之间不同原胞之间的振动情况。的振动情况。n)(横横波波图图声声学学波波中中原原子子振振动动示示意意 02cos2211 mqaBA36(2)两种特殊振动两种特殊振动时时：0q体，其质心来回振动。体，其质心来回振动。原胞的振动如同一个刚原胞的振动如同一个刚n 12cos2211 mqaBA 37时：时：aq2 0/222cos21 MmaaBA 0 A原子振动。原子振动。原子保持不动，原子保持不动，原胞中原胞中)2()12(nMnm n38 可得：可得：由方程：由方程：02cos222 BMAqa 3.光学波的物理意义光学波的物理意义(1)光学波中，相邻两原子光

16、学波中，相邻两原子(M和和m)的振动情况的振动情况 qaMBAcos22222 , 0cos qa一般情况下：一般情况下：2min22222 MM 0222 M0122222min2 mMmMM 0 39结论结论 相邻两种不同的原子相邻两种不同的原子振动的方向是相反的。当波长振动的方向是相反的。当波长很长时，原胞质心保持不动。光学波描述的是同一原胞很长时，原胞质心保持不动。光学波描述的是同一原胞中各原子之间的相对振动情况。中各原子之间的相对振动情况。)(横横波波动动示示意意图图光光学学波波中中元元胞胞中中原原子子振振n40(2)两种特殊振动两种特殊振动 折折合合质质量量；时时： ,2021ma

17、x2q。而而大大原原子子振振动动的的幅幅度度小小小小原原子子振振动动的的幅幅度度大大，原原胞胞的的质质心心保保持持不不动动， mMqaMBA cos2222 0 MBmAn41 21min222m aq 时：时：。0 B;2cos2222 aamMBA 原子振动。原子振动。原子保持不动，原子保持不动，原胞中原胞中)12()2( nmnMn42四、周期性边界条件四、周期性边界条件(波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件) 1.波恩波恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件 对于有限的对于有限的(N个原子组成个原子组成)原子链，晶体两端原子原子链，晶体两端原子的受力情况和内部的有所不同。的受力情况和内

18、部的有所不同。 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 N-1 N(1)各原子受力分析即运动方程各原子受力分析即运动方程n号原子：号原子：n1 nf1 nf nnnnnnnnnnxxxdtxdmxxxfff2211221111 运动方程：运动方程：431号原子号原子 122121221xxdtxdmxxff 运动方程：运动方程：N号原子号原子同理可得：同理可得：2f12 NNNxxdtxdm 122 运动方程：运动方程：结论结论 由于所有原子的方程都是联立的，由于所有原子的方程都是联立的，1号原子和号原子和N号原号原子运动方程的差异将会使方程组的求解十分复杂，为了子运动方程的差异将会使方程组的

19、求解十分复杂，为了解决这一问题，波恩解决这一问题，波恩-卡门提出了如下的模型卡门提出了如下的模型波恩波恩-卡卡门边界条件门边界条件。44(2)波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件 假设对于给定的有限长为假设对于给定的有限长为Na(a为晶格常数，为晶格常数，N为原为原子个数子个数)的晶体的边界之外，仍然有无穷多个和该晶体完的晶体的边界之外，仍然有无穷多个和该晶体完全相同的晶体，并且这些完全相同的晶体内相对应的原全相同的晶体，并且这些完全相同的晶体内相对应的原子的运动状况是一样的，即第子的运动状况是一样的，即第j(j=1,2,N)个原子和第个原子和第tN+j(t=1,2,)个原子的运动情况是一样的。

20、由于相互作个原子的运动情况是一样的。由于相互作用是用是短程的短程的，所以，晶体内的绝大数原子受此假想晶体，所以，晶体内的绝大数原子受此假想晶体的影响很弱，完全可以忽略。的影响很弱，完全可以忽略。 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j452.波恩波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用1号原子应和号原子应和N+1号原子的振动完全相同。即：号原子的振动完全相同。即： taNqiNtqaiNAexAexxx 11111； 22- 2 NlNNalq 个个分分立立的的值值。只只能能取取矢矢描描述述晶晶格格振振动

21、动状状态态的的波波Nq 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j iqNatqaitaNqitqaieAeAeAe 11 iqNae )(2为整数为整数l lqNa 46Nalq aqaaaq 2;, ；22111NlaNalq 22222NlaNalq ，22NlN- 为原胞数。为原胞数。个分立的值。个分立的值。只能取只能取NNq473.波恩波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用 设晶体有设晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的原子。由周期性边界条件可得：的原子。由周

22、期性边界条件可得：(2n+1)和和2N+(2n+1)完全相同。即：完全相同。即：12 nN2)12(2 nN12212 nNnxx12 Naiqe tanNqiNntanqinAexAex 1221)(21212； tanNqitanqiAeAe 12212 l lqNa)(22为整数为整数 22- NlNNalq 48 22- NlNNalq 个个分分立立的的值值。只只能能取取矢矢描描述述晶晶格格振振动动状状态态的的波波NqNalq aqaaaq ;222,2。；2222222111NlaNalqNlaNalq 为原胞数。为原胞数。个分立的值。个分立的值。也只能取也只能取，NNqNlN-22

23、 494.原胞数原胞数N和波矢和波矢q、角频率、角频率 的关系的关系(1)不管是布喇菲格子还是复式格子，波矢不管是布喇菲格子还是复式格子，波矢q数目等于晶数目等于晶体中原胞的数目体中原胞的数目N。(2)对于一维布喇菲格子，每个波矢对于一维布喇菲格子，每个波矢q对应于一个角频率对应于一个角频率 。总的角频率个数为总的角频率个数为N个。个。(3)对于一维复式格子，每个波矢对于一维复式格子，每个波矢q对应于对应于n(n每个原胞中每个原胞中包含的原子数包含的原子数)个角频率个角频率 。总的角频率个数为总的角频率个数为nN个。个。结论结论 (1)晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体原胞数晶体原胞数

24、； (2)晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目=晶体自由度数晶体自由度数。505.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系晶体有晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有个原胞组成，每个原胞中含有n个原子。个原子。(1)波矢波矢q数目数目N。(晶体原胞数目晶体原胞数目)(2)晶体自由度数目晶体自由度数目3nN。(3)晶体频率晶体频率 数目数目3nN。(4)格波数目格波数目3nN。(5)格波支数格波支数3n支支。每只对应。每只对应N个个 。(6)声学波支数声学波支数3支支。共有。共有3N个个 。(7)光学波支数光学波支数(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N个个

25、。 51例题例题 分别由分别由N个原胞组成的铝晶体个原胞组成的铝晶体(fcc)和金刚石晶体和金刚石晶体中，声学波、光学波的分布情况。中，声学波、光学波的分布情况。铝晶体：铝晶体：铝是面心立方结构，是布拉菲格子，因此格铝是面心立方结构，是布拉菲格子，因此格波中只有波中只有3支声学波，而没有光学波。声学波的个数为支声学波，而没有光学波。声学波的个数为3N个。个。金刚石：金刚石：金刚石是面心立方结构，但是复式格子，金刚石是面心立方结构，但是复式格子，n=2，格波支数共有，格波支数共有3n支支6支支，其中声学波其中声学波3支支，声，声学波的个数为学波的个数为3N个。光学波个。光学波(3n-3)=3支支

26、,光学波的个数光学波的个数为为3N个。个。526.波恩波恩-卡门边界条件的其它表述形式卡门边界条件的其它表述形式 N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点。等价的特点。N很大，原子运动近似为直线运动处理问很大，原子运动近似为直线运动处理问题时要考虑到环链的循环性题时要考虑到环链的循环性5354设第设第n个原子的位移为个原子的位移为nx再增加再增加N个原子之后，第个原子之后，第N+n个原子的位移为个原子的位移为nNx 则有：则有：nnNxx )(naqtiaqnNtiAeAe 要求：要求：1 iNaqelNaq 2 2, 12, 22, 0

27、, 32, 22, 12NNNNNNl lNaq 2波矢的取值范围波矢的取值范围aqa l为整数为整数22NlN l N个整数值，个整数值，qN个分立的值。个分立的值。55；a 2NNaa /2/2 (1)第一布里渊区包含第一布里渊区包含N个状态个状态;(2)每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度；Naq 2 (3第一布里渊区的线度第一布里渊区的线度(4)第一布里渊区状态数第一布里渊区状态数7.第一布里渊区第一布里渊区 aa , 2,2bb aa 2,2 Nalq 2 22NlN Nalq 22NlN 568.三维晶体波矢三维晶体波矢q 的取值范围的取值范围 NlN- N

28、alq 222 一维布拉菲格子一维布拉菲格子 NlN- Nalq 22 一维复式格子一维复式格子 bqbaqa;22 或或 bqbaqa;2222 或或 第一布里渊区第一布里渊区， 22bb57三维晶体原胞数三维晶体原胞数321NNNN 波矢波矢q 的取值范围的取值范围333222111bNhbNhbNhq ;22;22;22333222111NhN -NhN -NhN - ；222222333222111bqb bqb bqb 333322221111bNhq bNhq bNhq ； 第一布里渊区第一布里渊区， 1,2,322ibbii58第一布里渊区的体积第一布里渊区的体积状态密度状态密度

29、 33212 bbbNbNbNbNv3 32211111每个状态所占的体积每个状态所占的体积 3332221 VNNNN 0a a 2a 3a 4a- a- 2a- 3a- 4q一一二二二二三三三三四四四四一维晶体布里渊区划分一维晶体布里渊区划分59(3)如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？磁波波长在什么波段？kg1067. 1527 m4 mMN/m15 例题例题 一维复式格子中，如果一维复式格子中，如果计算：计算：Omin Amax Omax (1) 光学波频率的最大值光学波频率的最大值 和最小值和最小值 ，声学波频率

30、的最大值声学波频率的最大值 ；OEmaxOEminAEmax(2) 相应声子的能量相应声子的能量 , 和和 ；60(1) 声学波的最大频率声学波的最大频率MA 2max rad/s10314max A 光学波的最大频光学波的最大频率率 2max OMMmmM2 . 0 光学波的最小频光学波的最小频率率4 mMmN15 srad107 . 6214max Osrad106214min mO 61OOEmaxmax eV442. 0max OEOOEminmin eV396. 0min OEAAEmaxmax eV198. 0max AE(2)相应声子的能量相应声子的能量eV442. 0max O

31、Em8 . 2 (4)如果用电磁波激发光学波，要激发如果用电磁波激发光学波，要激发 的声子所用的电的声子所用的电磁波波长在什么波段？磁波波长在什么波段？Omax Omax 对应电磁波的能量和波长对应电磁波的能量和波长要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段。要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段。623.2 晶格振动的量子化晶格振动的量子化 声子声子1.格波格波 描述晶格振动的波。对于微弱的晶格振动，在简谐近似描述晶格振动的波。对于微弱的晶格振动，在简谐近似的情况下，的情况下，格波可以看成简谐波。格波可以看成简谐波。每个格波都是一个独立的每个格波都是一个独立的模式。可以用独立简谐振子来描

32、述格波的独立模式。模式。可以用独立简谐振子来描述格波的独立模式。2.声子声子( ) 简谐振子的能量量子。声子具有简谐振子的能量量子。声子具有能量能量、动量动量。声子不声子不是真正的粒子，而是表示状态的是真正的粒子，而是表示状态的“准粒子准粒子”。晶格振动的能。晶格振动的能量是以量是以 为单元来增、减能量的。格波与物质的相互作用为单元来增、减能量的。格波与物质的相互作用可以理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。声子可与可以理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。声子可与电子或光子发生作用。电子或光子发生作用。63一、一维布喇菲晶格振动时能量的计算一、一维布喇菲晶格振动时能量的计算1.位移位移x

33、n(t)的计算的计算(1)位移位移xn(t)是对所有状态的求和是对所有状态的求和 由于周期性边界条件使波矢由于周期性边界条件使波矢q只能取分离的不同值。只能取分离的不同值。而一个而一个q对应于一个独立的模式，所以，每一个原子的对应于一个独立的模式，所以，每一个原子的振动是这些独立模式的叠加。振动是这些独立模式的叠加。 tqnainAex 振幅振幅A和和q有关，有关， xn(t)可表示为可表示为: qqnaiqnetAtx qnaiqqnait-iqt-iqnaiqnetAeeAeeAx t-iqqeAtA 64 Nl2N- Nalq 22 其中：其中： 的的正正交交性性证证明明iqnae2 n

34、n nn NNenn,qan-niq0 Nee ,nnqqaiqqan-niq则则有有：如如果果 10q可以取可以取N个值个值 NN-lNn-nliNN-lNalan-niqan-niqeee122122 由于周期性，对于由于周期性，对于 l 从从(-N/2)+1到到N/2求和，相当于求和，相当于对对 l 从从0到到N-1求和。求和。nn 如如果果65 102122NNn-nliNN-lNn-nliee 该式为一等比数列。该式为一等比数列。 n-nNieP P 2为为：公公比比P-Pa-aS N11 等等比比数数列列求求和和公公式式： 10201 Nn-nilea Nn-ni -Nn-ni -

35、NNn-ni-NNn-ni1-NlNeeeea 2221266 P-Pa-aeSNqan-niq11 Nn-niNn-niNn-ni -e-ee- 22211 01112 Nn-nie- nn nn NNenn,qan-niq0 结论结论是是正正交交的的。iqnae67同理可证同理可证 qq qq NNeqq,nnaq-qi0 nn nn NNenn,qan-niq0 正正交交性性的的物物理理意意义义iqnae3 的的物物理理意意义义nn,qan-niqNe 如果按状态如果按状态(波矢波矢q)求和，只要看一个格点即可。求和，只要看一个格点即可。每个格点的状态数为每个格点的状态数为N。即原胞数。

36、即原胞数。68 如果按格点求和，只要看一个状态即可。格点数如果按格点求和，只要看一个状态即可。格点数为为N。即原胞数。即原胞数。 物物理理意意义义qq,nnaq-qiNe 2. xn(t)的正则坐标表示方法的正则坐标表示方法qq,nnaq i -iqnaeNeN 11nn,qaniq-iqnaeNeN 11 qq,nnaq-qiNe nn,qan-niqNe 69(1)本征矢本征矢即即为为本本征征矢矢。iqna-eN21(2)本征矢组成的新坐标系中位移表示式本征矢组成的新坐标系中位移表示式qq,nnaq i -iqnaeNeN 11nn,qaniq-iqnaeNeN 11 qqnaiqnetw

37、Ntx1xn(t)在状态空间在状态空间的傅里叶展开式的傅里叶展开式wq(t)位位移分量移分量 qqnaiqnetAtx70 qqnai -qnetwNtx1 证证明明 twtwq-q 3 txxxnnn 是是位位移移， twtwq-q qqnaiqnetwNtx1 qqnai -qqqnaiqetwNetwN11 qqnai -qqqnai -q-etwNetwN1171 nnnnntxtxtx2 的的证证明明 twtxqqnn 224 nqnaqi -qqqnaiqetwNetwN11 nqqnaq-qiqqetwtwN1 qqnnaq-qiqqetwtwN1 q2qqqqtwtwtNwN1

38、72(5) xn(t)的正则坐标表示方法的正则坐标表示方法 qqnaiqnetQNmtx1Qq(t)正则坐标或称为简正坐标。正则坐标或称为简正坐标。 qqnaiqnetwNtx1733.能量计算能量计算(1)势能势能 221 aUU nnnx-xU2121 xn可以看成是可以看成是N个独立振动的叠加。个独立振动的叠加。 qqnaiqnetQNmtx1221 U 是是常常数数，略略去去。aUnnx-x1 74 nnnx-xU2121 nqqnaiqqanq iqetQ-etQNm212 nqq,naq iqnaiqqqq,qnaianq iqqqq,naq ianq iqqqq,anq ianq

39、 iqqeeQQeeQQ-eeQQ-eeQQNm 211112 nqq,naqqiqqqq,aq inaqqiqqqq,qainaqqiqqqq,aqqinaqqiqqeQQeeQQ-eeQQ-eeQQNm22 qq,aq iqaiaqqiqqnnaqqie-e-eQQeNm12 先对先对n求和，再对求和，再对q,q求和。求和。75 。q-q ,q-q N,Neqq,-nnaqqi0 因为：因为： qq,qq,-aq iqaiaqqiqqe-e-eQQm 12 qq,aq iqaiaqqiqqnnaqqie-e-eQQeNmU12 qq-qqaQQmcos-1 qqai -qaiq-qe-eQ

40、Qm-112 qq-qqaiqa-qai -qaQQmsincossincos-22 76 qa-mqcos122 qq-QQ qqqqqqqQQQU2222121 (2)动能动能 qq,-qq,qqqq,n,naqqiqqnnNQQNeQQNxmT 2121212 qq-QQ qq-q2qqq-qQQqaQQmU 21cos-1 qqqqqqq-qQQQQQ221212177(3)总能量总能量 qqqqqQQUTH2222121 其中，每个单项其中，每个单项 22221qqqaQQH 代表一个谐代表一个谐振子的能量。共包括振子的能量。共包括N项，总的能量是项，总的能量是N个独立的谐个独立的谐

41、振子能量之和。振子能量之和。 qqqqQQ22221 78 qqnEnNiii 3121 二、晶格振动的总能量二、晶格振动的总能量1.三维晶格振动的总能量三维晶格振动的总能量 零零点点振振动动能能。格格波波的的频频率率；:21:q qii 1.声子声子(1)声子声子 i(q): 晶格振动能量量子，称为声子。声子不是真晶格振动能量量子，称为声子。声子不是真实的粒子实的粒子, 只是一种准粒子。具有能量只是一种准粒子。具有能量 i(q),动量动量。q79(3)声子和晶体的相互作用声子和晶体的相互作用 格波在晶体中传播受到散射可以看成声子和晶体中格波在晶体中传播受到散射可以看成声子和晶体中的原子、电子

42、发生碰撞。的原子、电子发生碰撞。(4)声子和其它粒子的相互作用声子和其它粒子的相互作用 电子、中子、光子与晶格的相互作用都可用这些粒电子、中子、光子与晶格的相互作用都可用这些粒子与晶体中声子的相互作用来描述。它们吸收或产生声子与晶体中声子的相互作用来描述。它们吸收或产生声子改变粒子本身的能量和动量。子改变粒子本身的能量和动量。(2)声子的分布声子的分布 声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温度声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温度T处于处于热平衡晶格中，声子热平衡晶格中，声子 i(q)的平均数目为：的平均数目为： 11-eqnTkqB 803.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系三维晶体原胞数

43、、波矢、模式数之间的关系晶体有晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有个原胞组成，每个原胞中含有n个原子。个原子。(1)波矢波矢q数目数目N。(晶体原胞数目晶体原胞数目)(2)晶体自由度数目晶体自由度数目3nN。(3)晶体频率晶体频率 数目数目3nN。(4)格波数目格波数目3nN。(5)格波支数格波支数3n支支。每只对应。每只对应N个个 。(6)声学波支数声学波支数3支支。共有。共有3N个个 。(7)光学波支数光学波支数(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N个个 。 81例题例题 分别由分别由N个原胞组成的铝晶体个原胞组成的铝晶体(fcc)和金刚石晶体和金刚石晶体中，声学波、光学波的分布情况。中

44、，声学波、光学波的分布情况。铝晶体：铝晶体：铝是面心立方结构，是布拉菲格子，因此格铝是面心立方结构，是布拉菲格子，因此格波中只有波中只有3支声学波，而没有光学波。声学波的个数为支声学波，而没有光学波。声学波的个数为3N个。个。金刚石：金刚石：金刚石是面心立方结构，但是复式格子，金刚石是面心立方结构，但是复式格子，n=2，格波支数共有，格波支数共有3n支支6支支，其中声学波其中声学波3支支，声，声学波的个数为学波的个数为3N个。光学波个。光学波(3n-3)=3支支,光学波的个数光学波的个数为为3N个。个。824.三维晶体波矢三维晶体波矢q 的取值范围的取值范围 NlN- Nalq 222 一维布

45、拉菲格子一维布拉菲格子 NlN- Nalq 22 一维复式格子一维复式格子 bqbaqa;22 或或 bqbaqa;2222 或或 第一布里渊区第一布里渊区， 22bb83三维晶体原胞数三维晶体原胞数321NNNN 波矢波矢q 的取值范围的取值范围333222111bNhbNhbNhq ;22;22;22333222111NhN -NhN -NhN - ；222222333222111bqb bqb bqb 333322221111bNhq bNhq bNhq ； 第一布里渊区第一布里渊区， 1,2,322ibbii84第一布里渊区的体积第一布里渊区的体积状态密度状态密度 33212 bbbN

46、bNbNbNv3 32211111每个状态所占的体积每个状态所占的体积 3332221 VNNNN 0a a 2a 3a 4a- a- 2a- 3a- 4q一一二二二二三三三三四四四四一维晶体布里渊区划分一维晶体布里渊区划分853.3 长波近似长波近似一、长声学波一、长声学波体体，其其质质心心来来回回振振动动。原原胞胞的的振振动动如如同同一一个个刚刚n时时：0q 12cos2211 mqaBA 86872.长声学波波速长声学波波速vp的计算的计算 当波长很长时，当波长很长时，q很小。很小。 qamMqamM 2sin21q 2 为为晶晶格格常常数数。为为原原子子质质量量；、晶晶体体恢恢复复力力

47、常常数数；其其中中：amMdrUda222 常常数数； amMqp 21vqpv 88893.物理意义物理意义 相邻原胞中原子振动的位相差趋于零，而且振幅也相邻原胞中原子振动的位相差趋于零，而且振幅也趋于相等。趋于相等。4.原因原因 这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线度，在这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线度，在半个波长内就包含了许多原胞，这些原胞都整体的沿同半个波长内就包含了许多原胞，这些原胞都整体的沿同一方向运动。一方向运动。因此整个晶格可以近似地看成连续介质，因此整个晶格可以近似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地被认为是而长声学波也就可以近似地被认为是弹性波弹性波。n90二

48、、一维连续晶体中弹性波波速的计算二、一维连续晶体中弹性波波速的计算1.受力分析受力分析 应变。应变。恢复力；恢复力；弹性模量；弹性模量；处质点振动的位移；处质点振动的位移；处质点振动的位移；处质点振动的位移； dxxudxxuxF c dxxdxxu xxu dxxducdxxudxxucxF dxdx-xducdxxF,dx-x恢复力为：恢复力为：同理，在同理，在912.运动方程运动方程 根据牛顿第二定律，其运动方程为：根据牛顿第二定律，其运动方程为： 22222222dxtx,ducdttx,dudxtdx,-xdu-dxtx,ducdttx,dudxdx-xF-xFdttx,dudx 2

49、222xtx,ucttx,u 923.运动方程的解及结果分析运动方程的解及结果分析(1)运动方程的解运动方程的解 (2)弹性波波速弹性波波速(相速度相速度) 把运动方程的解代入运动方程可得：把运动方程的解代入运动方程可得： t-qxieutx,u 0 介介质质中中弹弹性性波波的的波波矢矢。；介介质质中中弹弹性性波波的的角角频频率率q 22qc cq 弹弹v934.一维复式格子波速的计算一维复式格子波速的计算 。原原子子间间的的距距离离晶晶格格常常数数个个原原子子的的位位移移；第第个个原原子子的的位位移移；第第 a mu mum1m1 dxxducauucFmm 恢复力：恢复力：1由由m+1原子

50、的位移而引起的对第原子的位移而引起的对第m各原子的恢复力还可以表示为：各原子的恢复力还可以表示为： mmu-uF1 ac aMm2 adrUd 22 aMmaMmac212122 弹弹v amMp 2v94三、长光学波三、长光学波1.长光学波振动的特点长光学波振动的特点 光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动。光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动。 波长波长a(原胞的线度原胞的线度)时，声学波代表原胞质心的时，声学波代表原胞质心的振动振动; 光学波表示原胞中原胞的质心保持不动，相邻原光学波表示原胞中原胞的质心保持不动，相邻原子做反位相振动。对于正负离子组成的晶体，长光学波子做反位相振动。对于

51、正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化。使晶格出现宏观极化。 。而而大大原原子子振振动动的的幅幅度度小小小小原原子子振振动动的的幅幅度度大大，时时： MBmA mMqaMBA q0;cos2/2202 95962. 长光学波长光学波(1)两种正负离子组成的复式格子两种正负离子组成的复式格子立方晶体。立方晶体。(2)半波长内，正离子组成的布喇菲原胞同向位移，负离半波长内，正离子组成的布喇菲原胞同向位移，负离子组成的布喇菲子组成的布喇菲原胞反向位移。原胞反向位移。(3)晶体中出现宏晶体中出现宏观的极化。观的极化。(4)长光学波又称长光学波又称为为 极化波。极化波。E E97负离子质量。负离

52、子质量。正离子质量；正离子质量；mM负离子位移。负离子位移。正离子位移；正离子位移；uu位移参量。位移参量。 uVNW 折合质量。折合质量。 MmMm 3.长光学波的宏观方程长光学波的宏观方程(1)物理参量物理参量移的改变量。移的改变量。正离子和负离子相对位正离子和负离子相对位uuu起的宏观电场强度。起的宏观电场强度。正、负离子相对位移引正、负离子相对位移引E E宏观极化强度。宏观极化强度。P98(2)黄昆方程黄昆方程 )()(22211211b bWbPa bWbWE EE E 1221bb 其中：其中：E E 1211bWbW 离子相对运动的动力学方程。离子相对运动的动力学方程。准弹性恢准

53、弹性恢复力复力电场电场 E E 附附加的恢复力加的恢复力E E2221bWbP 正负离子相对位移正负离子相对位移产生的极化产生的极化电场电场E E 产生的产生的附加极化附加极化99(3)黄昆方程的物理意义黄昆方程的物理意义 黄昆方程的解具有如下形式：黄昆方程的解具有如下形式：无无旋旋。与与波波矢矢相相平平行行的的部部分分，纵纵波波，位位移移无无散散；与与波波矢矢相相垂垂直直的的部部分分，横横波波，位位移移WWWWLT 00TLLTWWWWW t-rqi exp其中其中q为波矢。为波矢。100(4)电介质中无自由电荷时的极化电场电介质中无自由电荷时的极化电场E E无无散散，即即电电位位移移D 0

54、0 PDE E E E2221bWbP 0022210 E EE EE E bWb022210E EE EbWb 只讨论无旋电场只讨论无旋电场WL可得：可得：LWbb22021- E E极化电场极化电场E E 是纵向场，它趋于减少纵向位移，增加了是纵向场，它趋于减少纵向位移，增加了纵向振动的恢复力，提高了光学波的纵向频率纵向振动的恢复力，提高了光学波的纵向频率 L0。101LWbb22021- E ELTWWW E E 1211bWbW (5)电介质中无自由电荷时的振动方程电介质中无自由电荷时的振动方程把把和和代入代入可得：可得：纵向振动方程纵向振动方程横向振动方程横向振动方程 LLTTWbb

55、b-bW WbW 22021121111 22021122022021121120201120bbbbbb-b-bTLT 102(6)静电场下晶体的介电极化静电场下晶体的介电极化 静电场下静电场下0 W E EE E20121112 bbbW E EE E1)(02021222-bbPs E E 1211bWbW 由由可得：可得：E E2221bWbP 代入代入可得：可得：数数。代代表表晶晶体体的的静静电电介介电电系系其其中中s 103电场的频率远远高于晶格振动的频率电场的频率远远高于晶格振动的频率0 W(7)光频电场光频电场(高频高频)下晶体的介电极化下晶体的介电极化 E E2221bWbP

56、 E EE E1022 bP数数。代代表表晶晶体体的的光光频频介介电电系系其其中中 021021120222020111;TsT-bbb -b 代入代入22021122020bbbTL sLT 2020LST关系关系1044.结论结论(2)晶体中存在长光学纵波晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波和长光学横波(TO)。(3)长光学纵波声子称为极化声子长光学纵波声子称为极化声子(LO)，长光学纵波伴，长光学纵波伴随有宏观的极化电场，极化声子随有宏观的极化电场，极化声子纵光学声子。纵光学声子。(4)长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，长光学横波声长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，长光学横波声子称为

57、电磁声子子称为电磁声子(TO)，长光学横波具有电磁性，可以和，长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合。光场发生耦合。 ；恒大于恒大于，恒大于恒大于001TLs 1053.4 固体比热固体比热一、经典理论对定容比热的描述一、经典理论对定容比热的描述1.比热表达式比热表达式VVTEC 当温度不太低时，电子运动能量的变化对比热的贡当温度不太低时，电子运动能量的变化对比热的贡献较小献较小(约占约占1%左右左右)，可以忽略。，可以忽略。2.杜隆杜隆-珀替定律珀替定律原原子子个个数数。势势能能。动动能能和和包包括括。每每一一个个自自由由度度能能量量均均为为；采采用用能能量量均均分分原原理理， NTkTk

58、TkTkTNkEBBBBB21213molKJ9 .241038. 110023. 6332323 BVVNkTEC动动能能量量晶晶格格振振动动能能量量和和电电子子运运括括：是是固固体体的的平平均均内内能能，包包E1063.杜隆杜隆-珀替定律的局限性珀替定律的局限性(1)杜隆杜隆-珀替定律只是在温度比较高珀替定律只是在温度比较高(300K以上以上)时和实验时和实验相符。相符。(2)当温度较低时，杜隆当温度较低时，杜隆-珀替定律和实验不符。定容比珀替定律和实验不符。定容比热不再是常数，而是随温度降低而降低。热不再是常数，而是随温度降低而降低。绝缘体的比热按绝缘体的比热按 T 3 趋于零；导体的比

59、热按趋于零；导体的比热按 T 趋于零。趋于零。4.原因原因 低温时，能量均分的经典理论已不再适用，必须用低温时，能量均分的经典理论已不再适用，必须用晶格振动的量子理论重新计算晶体的平均内能。晶格振动的量子理论重新计算晶体的平均内能。107二、量子理论对定容比热的描述二、量子理论对定容比热的描述1.平均内能的计算平均内能的计算(1)振子能量振子能量(量子化量子化) 21nEn为为贡贡献献，可可以以略略去去。不不随随温温度度变变化化，对对比比热热由由于于 21 故故能能量量： nEn 108(2)温度为温度为T时，频率为时，频率为 的振子的平均能量的振子的平均能量 根据波尔兹曼统计理论根据波尔兹曼

60、统计理论, 第第n个量子态个量子态(En=n )在在温度温度T出现的概率为：出现的概率为： 000nTknnTknnnnBBeenEE w 0nTknTknnBBee w状状态态和和： enTknB 0 109 00nTknnTknBBeenE ； 00nnxnnxene TkxB 1111ln000 xxnnxnnxnnxeedxdedxdene式中：式中：平均能量为：平均能量为： 1 TknBeE NiTkiNiiBieEE31311 (3)晶体的平均能量晶体的平均能量110(4)晶体平均能量的积分表示晶体平均能量的积分表示 之之间间的的格格波波数数，到到表表示示角角频频率率在在设设 dd